単位分数

任意の 2 つの単位分数を掛け合わせると、積は別の単位分数になります: ^{[ 2 ]}$$\displaystyle {\frac {1}{x}}\times {\frac {1}{y}}={\frac {1}{xy}}.}$$ しかし、 2つの単位分数を足したり、^{[ 3 ]}引いたり、^{[ 3 ]}割ったりすると、一般的に単位分数にならない結果が得られます。 $${\displaystyle {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}={\frac {x+y}{xy}}}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{x}}-{\frac {1}{y}}={\frac {yx}{xy}}}$$

$$\displaystyle {\frac {1}{x}}\div {\frac {1}{y}}={\frac {y}{x}}.}$$

これらの公式の最後が示すように、すべての分数は2つの単位分数の商として表すことができます。^{[ 4 ]}

モジュラー算術では、拡張ユークリッドアルゴリズムを用いて、任意の単位分数を等価な整数に変換できます。^{[ 5 ] [ 6 ]}この変換は、モジュラー除算、つまりある数で割る除算を実行するために使用できます。${\displaystyle x}$、モジュロ${\displaystyle y}$単位分数を変換することで実行できます${\displaystyle 1/x}$等価な整数モジュロに変換${\displaystyle y}$そしてその数を掛ける。^{[ 7 ]}

さらに詳しく言うと、${\displaystyle x}$比較的​​${\displaystyle y}$（そうでなければ、除算は${\displaystyle x}$は定義されていません${\displaystyle y}$)最大公約数を求める拡張ユークリッドアルゴリズムは、整数を求めるために使用できます。${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$ベズーの恒等式が満たされるように： $${\displaystyle \displaystyle ax+by=\gcd(x,y)=1.}$$ モジュロ-${\displaystyle y}$算術、用語${\displaystyle by}$ゼロモジュロであるため、削除できます。${\displaystyle y}$これによって残るのは $${\displaystyle \displaystyle ax\equiv 1{\pmod {y}}.}$$ つまり、${\displaystyle a}$は、${\displaystyle x}$を掛けると${\displaystyle x}$1つ生成する。同様に、^{[ 5 ] [ 6 ]}$${\displaystyle a\equiv {\frac {1}{x}}{\pmod {y}}.}$$ したがって、${\displaystyle x}$(モジュロ)${\displaystyle y}$) は、代わりに整数を乗算することによって実行できます。${\displaystyle a}$[ ^{7 ]​}

任意の正の有理数は、異なる単位分数の和として、複数の方法で表すことができます。たとえば、

${\displaystyle {\frac {4}{5}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{10}}.}$

これらの和は、古代エジプト文明がより一般的な有理数の表記として使用していたことから、エジプト分数と呼ばれています。分数の可能な表現の中から古代人が選択し、そのような表現で計算するために使用した方法を分析することには、今日でも関心があります。^{[ 8 ]}エジプト分数のトピックは、現代の数論でも関心を集めています。たとえば、エルデシュ・グラハム問題^{[ 9 ]}やエルデシュ・ストラウス予想^{[ 10 ]}は単位分数の和に関するものであり、オレの調和数の定義も同様です。^{[ 11 ]}

幾何学的群論では、三角形群は、関連する単位分数の和がそれぞれ 1 に等しいか、1 より大きいか、1 より小さいかに応じて、ユークリッド、球面、双曲のケースに分類されます。^{[ 12 ]}

多くの有名な無限級数には、単位分数となる項が含まれています。例えば、以下のようなものがあります。

• 調和級数とは、すべての正の単位分数の和のことです。この和は発散し、その部分和は$${\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}}$$自然対数に非常に近い値${\displaystyle n}$さらにオイラー・マスケローニ定数を加える。^{[ 13 ] 2つおきの加算を}減算に置き換えると、2の自然対数に合計される交代調和級数が得られる。 [ ^{14 ]}$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots =\ln 2.}$$
• π のライプニッツ公式は^{[ 15 ]}である。$${\displaystyle 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}.}$$
• バーゼル問題は、平方単位分数の和に関するものである。^{[ 16 ]}$${\displaystyle 1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}$$同様に、アペリー定数は無理数であり、単位分数の立方和である。^{[ 17 ]}
• 二進幾何級数は^{[ 18 ]}$${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots =2.}$$

ヒルベルト行列は、​${\displaystyle i}$対角線はすべて単位分数に等しい${\displaystyle 1/i}$つまり、それは要素を持っている $${\displaystyle B_{i,j}={\frac {1}{i+j-1}}.}$$ 例えば、行列 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}\\{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}\end{bmatrix}}}$$これはヒルベルト行列です。逆行列 のすべての要素が整数であるという珍しい性質を持っています。^{[ 19 ]}同様に、リチャードソン（2001）は、分母がフィボナッチ数である単位分数を要素とする行列を定義しました。 $${\displaystyle C_{i,j}={\frac {1}{F_{i+j-1}}},}$$ どこ${\displaystyle F_{i}}$は${\displaystyle i}$フィボナッチ数列の1 番目。彼はこの行列をフィルバート行列と呼び、整数逆行列を持つという同じ性質を持っています。^{[ 20 ]}

2つの分数${\displaystyle a/b}$そして${\displaystyle c/d}$（最も簡単な用語では）隣接しているとは、$${\displaystyle ad-bc=\pm 1,}$$これは、両者の差が単位分数であることを意味する。 $${\displaystyle \left|{\frac {1}{a}}-{\frac {1}{b}}\right|={\frac {|ad-bc|}{bd}}={\frac {1}{bd}}.}$$ 例えば、${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$そして${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}}$隣接している:${\displaystyle 1\cdot 5-2\cdot 3=-1}$そして${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}-{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{10}}}$しかし、差が単位分数である分数のペアの中には、この意味で隣接していないものもあります。例えば、${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$そして${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$単位分数だけ異なるが、隣接していない。なぜなら、${\displaystyle ad-bc=3}$[ ^{21 ]​}

この用語はフォード円の研究から来ています。フォード円とは、与えられた分数で数直線に接し、その分数の分母の二乗を直径とする円の体系です。分数${\displaystyle a/b}$そして${\displaystyle c/d}$それらのフォード円が接円である場合に限り、それらは隣接している。^{[ 21 ]}

数学教育では、単位分数は全体に対する等しい部分として視覚的に説明しやすいため、他の種類の分数よりも早く導入されることが多い。^{[ 22 ] [ 23 ]}単位分数の一般的な実用的な用途は、食べ物を複数の人に均等に分けることであり、このような公平な分配を行う練習は、生徒に単位分数を扱うことを教える際の標準的な授業例となっている。^{[ 24 ]}

離散空間上の均一分布では、すべての確率は等しい単位分数になります。無差別原理により、このような形式の確率は統計計算で頻繁に現れます。^{[ 25 ]}

単位分数に関連する不均等な確率は、ジップの法則で発生します。これは、順序付けられたシーケンスから項目を選択する多くの観察された現象において、${\displaystyle n}$選択された項目は単位分数に比例します${\displaystyle 1/n}$[ ^{26 ]​}

組み合わせ最適化問題の研究において、ビンパッキング問題では、分数サイズのアイテムの入力シーケンスを、容量（各ビンに配置されるアイテムの合計サイズ）が1であるビンに配置する必要があります。これらの問題に関する研究には、アイテムのサイズが単位分数である制限付きビンパッキング問題の研究が含まれています。^{[ 27 ] [ 28 ]}

この動機の一つは、より一般的なビンパッキング方法のテストケースとして用いることです。もう一つは、ピンホイールスケジューリングの一種で、同じ長さのメッセージのコレクションをそれぞれ限られた数の通信チャネルで繰り返しブロードキャストする必要があり、各メッセージは繰り返しブロードキャストの開始時刻間に最大遅延を持ちます。遅延が${\displaystyle k}$メッセージの長さの倍は、少なくとも の分数を占める必要がある${\displaystyle 1/k}$割り当てられたチャネルのタイムスロットの 1 つなので、スケジューリング問題の解決策は、チャネルをビン、分数を単位分数ビンパッキング問題の解決策からのみ得られます。${\displaystyle 1/k}$アイテムのサイズとして。^{[ 27 ]}

任意のアイテムサイズを持つビンパッキング問題であっても、各アイテムサイズを次のより大きな単位分数に切り上げてから、単位分数サイズに特化したビンパッキングアルゴリズムを適用すると役立つ場合があります。特に、調和ビンパッキング法はまさにこれを行い、切り上げられた単一の単位分数サイズのアイテムのみを使用して各ビンをパッキングします。^{[ 28 ]}

水素原子が吸収または放出できる光子のエネルギーレベルは、リュードベリの公式によれば、2つの単位分数の差に比例します。この現象の説明はボーアモデルによって提供され、それによれば、水素原子の電子軌道のエネルギーレベルは単位分数の2乗に反比例し、光子のエネルギーは2つのレベルの差に量子化されます。 ^{[ 29 ]}

アーサー・エディントンは、微細構造定数は単位分数であると主張した。彼は当初それを1/136と考えていたが、後に1/137に理論を変更した。現在の微細構造定数の推定値は（6桁の有効数字で）1/137.036であるため、この主張は誤りであることが証明された。^{[ 30 ]}