堆積物の輸送

堆積物の輸送とは、固体粒子（堆積物）の移動であり、通常は堆積物に作用する重力と堆積物が巻き込まれる流体の動きとの組み合わせによって生じます。堆積物の輸送は、粒子が砕屑岩（砂、砂利、玉石など）、泥、または粘土であり、流体が空気、水、または氷であり、重力の力が粒子をその上にある傾斜面に沿って移動させる自然システムで発生します。流体の動きによる堆積物の輸送は、川、海洋、湖、海、その他の水域で海流や潮汐によって発生します。輸送は、流れる氷河によっても引き起こされ、風の影響下にある陸地の表面でも発生します。重力のみによる堆積物の輸送は、丘陵斜面、断崖、崖、大陸棚（大陸棚境界）などの傾斜面全体で一般的に発生します。

堆積物の輸送は、堆積地質学、地形学、土木工学、水理工学、環境工学の分野で重要です(以下のアプリケーションを参照)。堆積物の輸送に関する知識は、侵食や堆積が発生するかどうか、この侵食や堆積の規模、および発生する時間と距離を判断するために最もよく使用されます。

風成または風力（ æの構文解析による）は、風による堆積物の輸送を指す用語です。このプロセスにより、波紋と砂丘が形成されます。通常、輸送される堆積物のサイズは細砂（<1 mm）以下です。これは、空気が密度と粘性の低い流体であるため、空気床に大きなせん断力を加えることができないためです。

ベッドフォームは、陸地の表層付近の環境における風成堆積物輸送によって生成されます。波紋^[1]と砂丘^[2]は、堆積物輸送に対する自然な自己組織化反応として形成されます。

風による堆積物の運搬は、世界中の海岸や乾燥地域でよく見られます。これは、これらの環境では植生が砂地の存在と移動を妨げないためです。

風に運ばれた非常に細かい粒子の塵は上層大気に入り、地球を横切って移動する可能性がある。サハラ砂漠の塵はカナリア諸島やカリブ海の島々に堆積し^[3]、ゴビ砂漠の塵は米国西部に堆積している^[4]。この堆積物はいくつかの島の土壌収支と生態系にとって重要である。

風で運ばれた細かい粒子の氷河堆積物の堆積物は、黄土と呼ばれます。

沿岸堆積物の輸送は、波や流れの動きにより沿岸環境で発生します。河口では、沿岸堆積物と河川堆積物の輸送プロセスが絡み合って河川デルタを形成します。

沿岸堆積物の輸送により、ビーチ、バリアー島、岬などの特徴的な沿岸地形が形成されます。 ^[9]

氷河が氷床上を移動するとき、あらゆる大きさの物質を巻き込んで移動させます。氷河は最大の堆積物を運ぶことができ、氷河堆積地域には多数の氷河漂石が含まれることが多く、その多くは直径が数メートルに及びます。また、氷河は岩石を「氷河粉」に粉砕します。これは非常に細かいため、風によって運ばれ、数千キロ離れた場所に黄土堆積物を形成します。氷河に巻き込まれた堆積物は、氷河の流れに沿って移動することが多く、その結果、融解帯の表面に現れます。

丘陵斜面の堆積物の輸送では、さまざまなプロセスによってレゴリスが斜面下方に移動します。これには次のものが含まれます。

• 土壌の変形
• 木投げ
• 穴を掘る動物による土壌の移動
• 斜面の崩落と地滑り

これらのプロセスが組み合わさって、丘陵斜面は拡散方程式の解のような形状になります。ここで、拡散率は特定の丘陵斜面における堆積物の輸送のしやすさに関連するパラメータです。このため、丘陵の頂上は一般に凹状の放物線状のプロファイルを持ち、谷の周りでは凸状のプロファイルに変化します。

しかし、斜面が急峻になると、断続的な地滑りやその他の土砂崩れが発生しやすくなります。そのため、斜面のプロセスは、緩やかな斜面では古典的な拡散が支配的であり、斜面が臨界安息角に達すると侵食率が無限大になるという非線形拡散方程式でより適切に説明されます。^[10]

土石流は、泥、岩塊ほどの大きさの岩片、水が超高濃度に混合したもので、大量の物質が移動します。土石流は、急峻な山間の谷や川床を粒状流として流れます。土石流は堆積物を粒状混合物として運ぶため、その運搬メカニズムと能力は河川システムとは規模が異なります。

堆積物の輸送は、多くの環境、土質、地質の問題の解決に利用されています。したがって、沿岸工学では堆積物の輸送や侵食を測定または定量化することが重要です。堆積物の侵食を定量化するために、いくつかの堆積物の侵食装置が設計されています（例：粒子侵食シミュレータ（PES））。そのような装置の1つであるBEAST（底生環境評価堆積物ツール）は、堆積物の侵食速度を定量化するために較正されています。^[11]

堆積物の移動は、川の魚やその他の生物に生息地を提供する上で重要です。したがって、ダムのせいで堆積物が不足していることが多い、規制の厳しい川の管理者は、河床材料をリフレッシュして砂州を再建するために、短時間の洪水を起こすようアドバイスされることがよくあります。これは、たとえばコロラド川のグランドキャニオンで、キャンプ場としても使用される海岸の生息地を再建するためにも重要です。

ダムによって形成された貯水池に堆積物が排出されると、貯水池デルタが形成されます。このデルタは流域を埋め尽くし、最終的には貯水池を浚渫するか、ダムを撤去する必要があります。堆積物の輸送に関する知識は、ダムの寿命を延ばすための適切な計画に活用できます。

地質学者は輸送関係の逆解を使用して、堆積岩や沖積物質の若い堆積物からの流れの深さ、速度、方向を理解することができます。

暗渠、ダム、橋脚の周りの流れは、河床の浸食を引き起こす可能性があります。この浸食は環境にダメージを与え、構造物の基礎を露出させたり、不安定にしたりする可能性があります。したがって、土木技術者や水理技術者にとって、構築環境における堆積物の輸送の仕組みに関する十分な知識は重要です。

人間の活動により浮遊土砂の移動が増加し、水路の埋没などの環境問題が発生すると、そのプロセスを支配する粒度の割合にちなんで シルト化と呼ばれます。

流体が現在表面上で静止している堆積物を輸送し始めるには、流体によって及ぼされる境界（または底）せん断応力 が底の粒子の動きを開始するための臨界せん断応力を超えている必要があります。この動きを開始するための基本基準は、次のように記述できます。 ${\displaystyle \tau _{b}}$${\displaystyle \tau _{c}}$

${\displaystyle \tau _{b}=\tau _{c}}$。

これは通常、無次元せん断応力と無次元臨界せん断応力の比較によって表されます。無次元化は、粒子運動の駆動力（せん断応力）と、粒子を静止させる抵抗力（粒子密度とサイズ）を比較するためです。この無次元せん断応力は、シールドパラメータと呼ばれ、次のように定義されます。^[12]${\displaystyle \tau _{b}*}$${\displaystyle \tau _{c}*}$${\displaystyle \tau *}$

${\displaystyle \tau *={\frac {\tau }{(\rho _{s}-\rho _{f})(g)(D)}}}$。

そして、解くべき新しい方程式は次のようになります。

${\displaystyle \tau _{b}*=\tau _{c}*}$。

ここで紹介する方程式は、砕屑性堆積物、つまり粒状堆積物の堆積物輸送について説明しています。粘土や泥には適用できません。これらの種類の凝集性堆積物は、方程式の幾何学的簡略化に適合せず、静電力によって相互作用するからです。方程式は、河川、運河、その他の開水路などの液体の流れに運ばれる粒子の河川堆積物輸送についても設計されています。

この式では、粒子の大きさは 1 つだけ考慮されています。しかし、河床はさまざまな大きさの堆積物が混ざって形成されることがよくあります。堆積物混合物の一部だけが移動する部分的な動きの場合、小さな堆積物が洗い流されるにつれて、河床は大きな砂利で豊かになります。この大きな砂利の層の下にある小さな堆積物は移動する可能性が低くなり、堆積物の総輸送量は減少します。これをアーマーリング効果と呼びます。^[13]堆積物のアーマーリングまたは堆積物の侵食速度の低下の他の形態は、有機物負荷が高い条件下で微生物マットのカーペットによって引き起こされる可能性があります。^[14]

シールズ図は、無次元臨界せん断応力（つまり、運動の開始に必要な無次元せん断応力）が、粒子レイノルズ数の特定の形式、または粒子に関連するレイノルズ数の関数であることを経験的に示しています。これにより、運動開始の基準を、と呼ばれる粒子レイノルズ数の特定のバージョンの解として書き直すことができます。 ${\displaystyle \mathrm {Re} _{p}}$${\displaystyle \mathrm {Re} _{p}*}$

${\displaystyle \tau _{b}*=f\left(\mathrm {Re} _{p}*\right)}$

これを経験的に導いたシールズ曲線を使って解くと、境界レイノルズ数と呼ばれる粒子レイノルズ数の特定の形の関数が見つかる。この方程式の数学的解はデイによって与えられた。^[15]${\displaystyle \tau _{c}*}$

一般に、粒子のレイノルズ数は次の形式になります。

${\displaystyle \mathrm {Re} _{p}={\frac {U_{p}D}{\nu }}}$

ここで、は特性粒子速度、は粒径（特性粒子サイズ）、 は動粘度であり、動粘度 を流体の密度 で割って求められます。 ${\displaystyle U_{p}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle {\rho _{f}}}$

${\displaystyle \nu ={\frac {\mu }{\rho _{f}}}}$

対象となる特定の粒子レイノルズ数は境界レイノルズ数と呼ばれ、粒子レイノルズ数の速度項をせん断速度に置き換えることによって形成されます。これは、せん断応力を速度で書き直す方法です。 ${\displaystyle u_{*}}$

${\displaystyle u_{*}={\sqrt {\frac {\tau _{b}}{\rho _{f}}}}=\kappa z{\frac {\partial u}{\partial z}}}$

ここで、は床せん断応力（下記参照）、はフォン・カルマン定数であり、 ${\displaystyle \tau _{b}}$${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle \kappa ={0.407}}$。

したがって、粒子のレイノルズ数は次のように表されます。

${\displaystyle \mathrm {Re} _{p}*={\frac {u_{*}D}{\nu }}}$

境界レイノルズ数はシールド図とともに使用して、経験的に方程式を解くことができる。

${\displaystyle \tau _{c}*=f\left(\mathrm {Re} _{p}*\right)}$、

これは方程式の右側の部分を解く。

${\displaystyle \tau _{b}*=\tau _{c}*}$。

左辺を解くには、次のように展開する。

${\displaystyle \tau _{b}*={\frac {\tau _{b}}{(\rho _{s}-\rho _{f})(g)(D)}}}$、

河床せん断応力を求める必要があります。河床せん断応力を求めるにはいくつかの方法があります。最も簡単な方法は、流れが一定かつ均一であると仮定し、到達平均深度と勾配を使用することです。現場でせん断応力を測定することは難しいため、この方法は最も一般的に使用される方法の 1 つでもあります。この方法は、深度勾配積として知られています。 ${\displaystyle {\tau _{b}}}$

ほぼ一定の水深hと傾斜角 θを持ち、対象範囲にわたってほぼ一定の安定した均一な平衡流が発生し、幅が水深よりもはるかに大きい河川の場合、河床せん断応力は、流れ方向の重力成分が摩擦力と正確に等しいことを示す運動量考慮によって与えられます。^[16]幅の広い水路の場合、次の式が得られます。

${\displaystyle \tau _{b}=\rho gh\sin(\theta )}$

ほとんどすべての自然の低地河川に見られる緩やかな傾斜角の場合、小角度の公式はがにほぼ等しいことを示しています。これは傾斜 で与えられます。次のように書き直すと: ${\displaystyle \sin(\theta )}$${\displaystyle \tan(\theta )}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle \tau _{b}=\rho ghS}$

定常ケースでは、深さ-傾斜積とせん断速度の式を外挿すると次のようになります。

${\displaystyle \tau _{b}=\rho ghS}$

${\displaystyle u_{*}={\sqrt {\left({\frac {\tau _{b}}{\rho }}\right)}}}$、

深さ-傾斜積は次のように書き直すことができます。

${\displaystyle \tau _{b}=\rho u_{*}^{2}}$。

${\displaystyle u*}$は、一般化ダルシー・ワイスバッハ摩擦係数を介して平均流速 と関連しており、これはダルシー・ワイスバッハ摩擦係数を8で割った値（数学的便宜上）に等しい。^[17]この摩擦係数を挿入すると、 ${\displaystyle {\bar {u}}}$${\displaystyle C_{f}}$

${\displaystyle \tau _{b}=\rho C_{f}\left({\bar {u}}\right)^{2}}$。

単一勾配の無限チャネルとして簡略化できないすべての流れ（上記の深さ-勾配積のように）については、流れ内の加速度を考慮した 連続性のサン・ヴナン方程式を適用することによって、床せん断応力を局所的に求めることができます。

先に確立された運動開始の基準は、

${\displaystyle \tau _{b}*=\tau _{c}*}$。

この式では、

${\displaystyle \tau *={\frac {\tau }{(\rho _{s}-\rho )(g)(D)}}}$、したがって

${\displaystyle {\frac {\tau _{b}}{(\rho _{s}-\rho )(g)(D)}}={\frac {\tau _{c}}{(\rho _{s}-\rho )(g)(D)}}}$。

${\displaystyle \tau _{c}*}$境界レイノルズ数、特定の種類の粒子レイノルズ数の関数です。

${\displaystyle \tau _{c}*=f\left(\mathrm {Re} _{p}*\right)}$。

特定の粒子のレイノルズ数は、シールド曲線または別の実験データ セットによって与えられる実験定数になります (粒子のサイズが均一かどうかによって異なります)。 ${\displaystyle \tau _{c}*}$

したがって、解くべき最終的な方程式は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {\tau _{b}}{(\rho _{s}-\rho )(g)(D)}}=f\left(\mathrm {Re} _{p}*\right)}$。

いくつかの仮定により、上記の方程式を解くことができます。

最初の仮定は、リーチ平均せん断応力の近似値は深さと傾斜の積で与えられるというものです。この式は次のように書き直すことができます。

${\displaystyle {\rho ghS}=f\left(\mathrm {Re} _{p}*\right){(\rho _{s}-\rho )(g)(D)}}$。

項を移動して再結合すると、次のようになります。

${\displaystyle {hS}={{\frac {(\rho _{s}-\rho )}{\rho }}(D)}\left(f\left(\mathrm {Re} _{p}*\right)\right)=RD\left(f\left(\mathrm {Re} _{p}*\right)\right)}$

ここで、R は堆積物の 水中比重です。

2番目の仮定は、粒子のレイノルズ数が高いというものです。これは通常、小川の砂利サイズ以上の粒子に適用され、臨界せん断応力が一定であることを意味します。シールド曲線は、均一な粒子サイズの床では、

${\displaystyle \tau _{c}*=0.06}$。

その後の研究者^[18]は、この値が

${\displaystyle \tau _{c}*=0.03}$

より均一に整列したベッドのために。そのため、

${\displaystyle \tau _{c}*=f\left(\mathrm {Re} _{p}*\right)}$

両方の値を最後に挿入するために使用されます。

式は次のようになります。

${\displaystyle {hS}=RD\tau _{c}*}$

この最終的な式は、チャネルの深さと傾斜の積が、シールドの基準に粒子の水中比重と粒子の直径を乗じたものに等しいことを示しています。

水中の石英を多く含む堆積物などの典型的な状況では、水中の比重は 1.65 に等しくなります。 ${\displaystyle \left(\rho _{s}=2650{\frac {kg}{m^{3}}}\right)}$${\displaystyle \left(\rho =1000{\frac {kg}{m^{3}}}\right)}$

${\displaystyle R={\frac {(\rho _{s}-\rho )}{\rho }}=1.65}$

これを上の式に当てはめると、

${\displaystyle {hS}=1.65(D)\tau _{c}*}$。

シールドの基準は0.06 * 1.65 = 0.099であり、これは0.1の標準誤差範囲内です。したがって、均一なベッドの場合、 ${\displaystyle \tau _{c}*=0.06}$

${\displaystyle {hS}={0.1(D)}}$。

このような状況では、流れの深さと勾配の積は、中央粒径の直径の 10% になるはずです。

混合粒度ベッドの値は であり、最近の研究では、ほとんどの自然河川が混合粒度であるため、より広く適用可能であることが裏付けられています。^[18]この値を使用し、DをD_50（混合粒度ベッドの適切な値として、50パーセンタイルまたは平均粒度を表す「50」）に変更すると、式は次のようになります。 ${\displaystyle \tau _{c}*=0.03}$

${\displaystyle {hS}={0.05(D_{50})}}$

つまり、混合粒度ベッドの場合、深さ×傾斜は平均粒径の約 5% になるはずです。

流れに巻き込まれた堆積物は、滑って転がる粒子の形で河床堆積物として河床に沿って運ばれるか、または主流によって移流された懸濁物として懸濁状態で運ばれる。 ^{[16]一部の堆積物は上流域から来て、}洗浄負荷の形で下流に運ばれることもある。

粒子が流れの中でどの位置に巻き込まれるかは、堆積粒子の密度ρsと直径dによって決まるルース数によって_{決まり、流体の密度}ρと動粘性νによって、堆積粒子が流れのどの部分に運ばれるかが決まります。^[19]

${\displaystyle P={\frac {w_{s}}{\kappa u_{\ast }}}}$

ここで、ルース数はPで与えられます。分子の項は、（下向きの）堆積物、すなわち堆積物の沈降速度 w _{s であり、これについては後述します。粒子の上向きの速度は、}フォン・カルマン定数κ  = 0.4 とせん断速度u _∗の積として与えられます。

次の表は、底質輸送、懸濁物輸送、洗浄物輸送に必要なルース数の概算値を示しています。^{[19] [20]}

沈降速度（「落下速度」または「終端速度」とも呼ばれる）は、粒子レイノルズ数の関数である。一般に、小さな粒子（層流近似）の場合、ストークスの法則で計算できる。より大きな粒子（乱流粒子レイノルズ数）の場合、落下速度は乱流抗力法則で計算される。Dietrich （1982）は、大量の公開データをまとめ、沈降速度曲線を経験的に当てはめた。^[21] FergusonとChurch（2006）は、ストークスの流れと乱流抗力法則の式を解析的に組み合わせて、あらゆるサイズの堆積物に適用できる単一の方程式を作成し、Dietrichのデータに対してテストすることに成功した。^[22]彼らの方程式は次の通りである 。

${\displaystyle w_{s}={\frac {RgD^{2}}{C_{1}\nu +(0.75C_{2}RgD^{3})^{(0.5)}}}}$。

この式で、w _sは堆積物の沈降速度、gは重力加速度、D は堆積物の平均直径です。は水の動粘性で、20 °C の水の場合、約 1.0 x 10 ⁻⁶ m ² /s です。${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle C_{1}}$粒子の形状と滑らかさに関連する定数です 。${\displaystyle C_{2}}$

落下速度の式は、 Dについてのみ解けるように簡略化できます。天然粒子のふるい直径、および上記の値を使用します。これらのパラメータから、落下速度は次の式で与えられます。 ${\displaystyle g=9.8}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle R}$

${\displaystyle w_{s}={\frac {16.17D^{2}}{1.8\cdot 10^{-5}+(12.1275D^{3})^{(0.5)}}}}$

あるいは、堆積物の粒子の沈降速度は、定常状態の静止流体を仮定したストークスの法則を使用して導くことができる。沈降速度の結果として得られる定式化は、

${\displaystyle {\displaystyle w_{s}={\frac {g~({\frac {\rho _{s}-\rho }{\rho }})~d_{sed}^{2}}{18\nu }}},}$

ここで、 は万有引力定数、 は堆積物の密度、 は水 の密度、 は堆積物の粒子径（通常は粒子の中央値とみなされ、 フィールド研究では とよく呼ばれる）、 は 水の分子粘性です。ストークスの沈降速度は、粒子の浮力（断面積に比例）と重力（質量に比例）のバランスから生じる終端速度と考えることができます。図に示すように、小さな粒子は重い粒子よりも沈降速度が遅くなります。これは、粒子が川でどのくらい下流に移流されるかなど、堆積物の輸送の多くの側面に影響を及ぼします。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle \rho _{s}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle d_{sed}}$${\displaystyle d_{50}}$${\displaystyle \nu }$

1935年、フィリップ・ヒュルストロームは、堆積物の大きさと、それを侵食（持ち上げる）、輸送、または堆積させるのに必要な速度の関係を示すグラフであるヒュルストローム曲線を作成しました。 ^[23]このグラフは対数です。

Åke Sundborgは後にHjulström曲線を修正し、境界せん断応力ではなく流速（Shields図のように）を流れの強さに使用する場合に必要となる、いくつかの水深に対応する移動閾値の別々の曲線を示しました。^[24]

この曲線は、そのシンプルさは今でも魅力的ですが、今日では歴史的な価値しかありません。この曲線の欠点としては、水深が考慮されていないこと、そしてさらに重要なことに、堆積は流速の減速によって起こり、侵食は流れの加速によって起こることを示していないことが挙げられます。無次元のシールド図は、現在、河川における堆積物の動きの開始について満場一致で受け入れられています。

流れのさまざまな部分で移動する堆積物に対して、堆積物輸送速度を計算するための公式が存在します。これらの公式は、多くの場合、掃流土砂、懸濁土砂、および洗浄土砂に分けられます。また、掃流土砂と洗浄土砂に分けられる場合もあります。

掃流土砂は、河床上を転がり、滑り、跳ね（跳びはね、跳びはねる）ことで移動し、流体の流速のわずかな割合で移動します。掃流土砂は一般に河川の総堆積物の 5～10% を占めると考えられているため、質量収支の観点からはそれほど重要ではありません。ただし、特に砂利河床の河川では、掃流土砂（掃流土砂と河床由来の物質からなる懸濁物の部分）は掃流土砂によって支配されることがよくあります。この掃流土砂は、堆積物の中で河床と積極的に相互作用する唯一の部分です。掃流土砂はその重要な要素であるため、河道の形状を制御する上で大きな役割を果たします。

河床荷重の移動速度は通常、過剰無次元せん断応力の指数として表されます。過剰無次元せん断応力は、動きの閾値付近の河床せん断応力の無次元的な測定値です。

${\displaystyle (\tau _{b}^{*}-\tau _{c}^{*})}$、

河床荷重の輸送速度は、河床せん断応力と臨界せん断応力の比率で表すこともできます。この比率は、次元の場合も無次元の場合も等しくなります。この比率は「輸送段階」と呼ばれ、河床せん断応力を運動開始の基準値の倍数として示す点で重要です。 ${\displaystyle (T_{s}{\text{ or }}\phi )}$

${\displaystyle T_{s}=\phi ={\frac {\tau _{b}}{\tau _{c}}}}$

堆積物の輸送式に使用する場合、この比率は通常累乗されます。

公表されている掃流土砂輸送関係のほとんどは、単位水路幅（「幅」）あたりの乾燥堆積物重量で示されています。 ${\displaystyle b}$

${\displaystyle q_{s}={\frac {Q_{s}}{b}}}$。

掃流砂の移動速度を推定することは難しいため、これらの方程式は通常、それが設計された状況にのみ適しています。

1948年に開発されたマイヤー・ペーターとミュラーの輸送式^[25]は、輸送段階が約8のよく選別された 細粒 砂利を対象に設計された。 ^[19]この式は、せん断応力に対して上記の無次元化を使用している。^[19]

${\displaystyle \tau *={\frac {\tau }{(\rho _{s}-\rho )(g)(D)}}}$、

ハンス・アインシュタインの単位幅あたりの堆積体積流量の無次元化^[19]

${\displaystyle q_{s}*={\frac {q_{s}}{D{\sqrt {{\frac {\rho _{s}-\rho }{\rho }}gD}}}}={\frac {q_{s}}{Re_{p}\nu }}}$。

彼らの公式は次の通りです:

${\displaystyle q_{s}*=8\left(\tau *-\tau *_{c}\right)^{3/2}}$. ^[19]

彼らが実験的に決定した値は0.047 であり、これは (パーカーの 0.03 とシールドの 0.06 に加えて) 3 番目によく使用される値です。 ${\displaystyle \tau *_{c}}$

この式は広く使用されているため、長年にわたっていくつかの改訂が行われ、左側の係数（上記の「8」）は輸送段階の関数であることが示されています。^{[19] [26] [27] [28]}

${\displaystyle T_{s}\approx 2\rightarrow q_{s}*=5.7\left(\tau *-0.047\right)^{3/2}}$^[26]

${\displaystyle T_{s}\approx 100\rightarrow q_{s}*=12.1\left(\tau *-0.047\right)^{3/2}}$^{[27] [28]}

この係数の変化は後に無次元せん断応力の関数として一般化された：^{[19] [29]}

${\displaystyle {\begin{cases}q_{s}*=\alpha _{s}\left(\tau *-\tau _{c}*\right)^{n}\\n={\frac {3}{2}}\\\alpha _{s}=1.6\ln \left(\tau *\right)+9.8\approx 9.64\tau *^{0.166}\end{cases}}}$^[29]

2003年、ピーター・ウィルコックとジョアンナ・クロウ（現ジョアンナ・カラン）は、砂と砂利の範囲全体で複数の粒径に適用できる堆積物輸送式を発表しました。^{[30]彼らの式は、地下の粒径分布を使用する（したがって暗黙的に表面の粒子の}選別を推測する）古いモデルとは対照的に、表面の粒径分布に適用されます。

これらの式は、複数の粒径を考慮しているため、基本的な堆積物輸送規則 (Meyer-Peter や Müller の規則など) よりも複雑です。これには、各粒径の基準せん断応力、各粒径クラスに該当する総堆積物供給量の割合、および「隠蔽関数」を考慮する必要があります。

「隠蔽機能」は、小粒子は本質的に大粒子よりも移動性が高いが、混合粒子サイズの河床では、大粒子間の深いポケットに閉じ込められる可能性があるという事実を考慮に入れている。同様に、小粒子の河床にある大粒子は、同じサイズの粒子の河床にある場合よりもはるかに小さなポケットに閉じ込められる。砂利河床の川では、これが「均等な移動性」を引き起こし、小粒子が大粒子と同じくらい簡単に移動できる。^[31]砂がシステムに追加されると、隠蔽機能の「均等な移動性」部分から、再び粒子サイズが重要になる部分へと移行する。^[30]

彼らのモデルは輸送段階、つまり粒子運動開始のための床せん断応力と臨界せん断応力の比に基づいています。彼らの式は複数の粒径に同時に作用するため、各粒径クラスの臨界せん断応力を「基準せん断応力」と等しく定義しています。[ ^30]${\displaystyle \tau _{c,D_{i}}}$${\displaystyle \tau _{ri}}$

彼らは、方程式を無次元輸送パラメータで表現します（「」は無次元であることを示し、「」はそれが粒径の関数であることを示します）。 ${\displaystyle W_{i}^{*}}$${\displaystyle *}$${\displaystyle _{i}}$

${\displaystyle W_{i}^{*}={\frac {Rgq_{bi}}{F_{i}u*^{3}}}}$

${\displaystyle q_{bi}}$は、単位水路幅あたりのサイズクラスの掃流砂の容積輸送率です。は、河床上に存在する サイズクラスの割合です。${\displaystyle i}$${\displaystyle b}$${\displaystyle F_{i}}$${\displaystyle i}$

彼らは 輸送段階に応じて 2 つの方程式を導き出しました。${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi <1.35}$

${\displaystyle W_{i}^{*}=0.002\phi ^{7.5}}$

そして： ${\displaystyle \phi \geq 1.35}$

${\displaystyle W_{i}^{*}=14\left(1-{\frac {0.894}{\phi ^{0.5}}}\right)^{4.5}}$。

この方程式は、 が大きくなるにつれて漸近的に の一定値に達します。 ${\displaystyle W_{i}^{*}}$${\displaystyle \phi }$

2002年、ピーター・ウィルコックとTAケンワーシーは、ピーター・ウィルコック（1998）に続いて^[32] 、砂と砂利の2つの堆積物成分のみで機能する堆積物掃流土砂輸送式を発表しました。^[33] 2つの成分のみを使用する混合サイズの堆積物掃流土砂輸送モデルは、砂利床中の砂の存在が両方の成分の掃流土砂輸送速度に与える非線形効果を考慮に入れることにより、計算モデリングと概念モデリングの両方の点で実用的な利点を提供します。実際、2成分掃流土砂輸送式には、マイヤー・ピーターとミュラーの式に関して、下付き文字が砂（s）または砂利（g）成分を表す、床表面の成分の割合という新しい要素が登場します。砂含有量の関数としてのこの割合は、岩片支持砂利床からマトリックス支持砂利床への変化に関連する、砂と砂利の輸送を制御するメカニズムの相対的な影響を物理的に表します。さらに、は 0 から 1 の間を変動するため、 によって変化する現象には、細粒の「隠蔽」と粗粒の「露出」を生み出す相対的なサイズ効果が含まれます。 「隠蔽」効果は、小さな粒子は大きな粒子よりも本質的に移動しやすいものの、混合粒度ベッドでは、大きな粒子の間の深いポケットに閉じ込められる可能性があるという事実を考慮に入れています。 同様に、小さな粒子のベッド上の大きな粒子は、同じサイズの粒子のベッド上にある場合よりもはるかに小さなポケットに閉じ込められます。これは、マイヤー-ピーターとミュラーの式で言及されています。 砂利床の川では、これが「均等な移動性」を引き起こし、小さな粒子が大きな粒子と同じくらい簡単に移動できるようになります。^[31]システムに砂が追加されると、隠蔽関数の「均等な移動性」部分から、再び粒度が重要になる部分に移動します。^[33]${\displaystyle F_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle _{i}}$${\displaystyle F_{i}}$${\displaystyle f_{s}}$${\displaystyle f_{s}}$${\displaystyle f_{s}}$

彼らのモデルは輸送段階、すなわち 、床せん断応力と粒子運動開始の臨界せん断応力の比 に基づいています。彼らの式は同時に 2 つの分率のみに作用するため、2 つの粒度クラスそれぞれに対して臨界せん断応力 を定義します。ここで、 は砂 (s) または砂利 (g) のいずれかの分率を表します。2 つの分率のそれぞれに対する初期運動を表す臨界せん断応力は、純粋な砂および砂利床の限界で確立された値と一致しており、砂礫床からマトリックス支持床への移行時に砂含有量が増加すると急激に変化します。^[33]${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \tau _{ri}}$${\displaystyle _{i}}$

彼らは、方程式を無次元輸送パラメータで表現します（「」は無次元であることを示し、「」はそれが粒径の関数であることを示します）。 ${\displaystyle W_{i}^{*}}$${\displaystyle *}$${\displaystyle _{i}}$

${\displaystyle W_{i}^{*}={\frac {Rgq_{bi}}{F_{i}u*^{3}}}}$

${\displaystyle q_{bi}}$は、単位水路幅あたりのサイズクラスの掃流砂の容積輸送率です。は、河床上に存在する サイズクラスの割合です。${\displaystyle i}$${\displaystyle b}$${\displaystyle F_{i}}$${\displaystyle i}$

彼らは 輸送段階に応じて 2 つの方程式を導き出しました。${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi <\phi ^{'}}$

${\displaystyle W_{i}^{*}=0.002\phi ^{7.5}}$

そして： ${\displaystyle \phi \geq \phi ^{'}}$

${\displaystyle W_{i}^{*}=A\left(1-{\frac {\chi }{\phi ^{0.5}}}\right)^{4.5}}$。

この方程式は、 が大きくなるにつれて漸近的に定数 に達し、記号は次の値を持ちます。 ${\displaystyle W_{i}^{*}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle A,\phi ^{'},\chi }$

${\displaystyle A=70,\phi ^{'}=1.19,\chi =0.908,{\text{laboratory}}}$

${\displaystyle A=115,\phi ^{'}=1.27,\chi =0.923,{\text{field}}}$

上記の定式化を適用するには、表層の砂部分と砂利部分の特徴的な粒径、表層における砂と砂利のそれぞれの分率と割合、堆積物の水中比重R、および表面摩擦に関連するせん断速度を指定する必要があります。 ${\displaystyle D_{s}}$${\displaystyle D_{g}}$${\displaystyle F_{s}}$${\displaystyle F_{g}}$${\displaystyle u_{*}}$

砂分が流れによって動かない砂利床の上および中を輸送される場合について、Kuhnle et al. (2013) ^{[34]は、Pellachini (2011) [35]}による理論的分析に従って、砂利粒子が静止している場合の砂分の掃流砂輸送に関する新しい関係式を示しています。Kuhnle et al. (2013) ^{[34] が}Wilcock and Kenworthy (2002) ^[33]の式を実験データに適用し、砂分の予測掃流砂速度は測定値の約 10 倍であり、砂の高さが砂利層の上部に近づくにつれて 1 に近づくことを発見したことは特筆に値します。^{[34]彼らはまた、予測された砂の掃流砂速度と測定値の不一致は、Wilcock and Kenworthy (2002) [33]}の式に使用された底せん断応力が、砂利粒子の遮蔽効果のために砂利床内での輸送に利用できるものよりも大きいという事実によるという仮説を立てました。^[34] この不一致を克服するために、ペラキーニ（2011）^[35]は、流れによって運ばれる砂に利用できる河床せん断応力の変動が、砂利河床の標高分布を表すいわゆる「粗度幾何関数」（RGF）^[36]の関数であると仮定した。したがって、砂の河床荷重の式は次のようになる：^[34]

${\displaystyle q_{s}^{*}=2.29*10^{-5}A(z_{s})^{2.14}\left({\frac {\tau _{b}}{\tau _{cs}}}\right)^{3.49}}$

どこ

${\displaystyle q_{s}^{*}={\frac {q_{s}}{[(s-1)gD_{s}]^{0.5}\rho _{s}D_{s}}}}$

下付き文字は砂の割合を示し、sは比率を表します。ここで、は砂の割合の密度、は砂利床内の 砂のレベルの関数としてのRGF 、は砂の移動に利用できる床せん断応力、は砂の割合の初期運動の臨界せん断応力であり、これはMillerら（1977）の更新されたShields型関係を使用してグラフで計算されました。^[37]${\displaystyle _{s}}$${\displaystyle \rho _{s}/\rho _{w}}$${\displaystyle \rho _{s}}$${\displaystyle A(z_{s})}$${\displaystyle z_{s}}$${\displaystyle \tau _{b}}$${\displaystyle \tau _{cs}}$${\displaystyle }$

浮遊物は流れの下流から中流にかけて運ばれ、流れの平均流速の大部分で移動します。

流れの中の浮遊性沈殿物の濃度の一般的な特徴は、ルース プロファイルによって表されます。この特徴は、河床上の特定の高さにおける沈殿物の濃度を定量化できる状況で有効です。これは次の式で表されます。 ${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle z_{0}}$

${\displaystyle {\frac {c_{s}}{c_{0}}}=\left[{\frac {z\left(h-z_{0}\right)}{z_{0}\left(h-z\right)}}\right]^{-P/\alpha }}$

ここで、は河床からの標高、はその標高における浮遊土砂の濃度、は流水深、はルース数であり、運動量の渦粘性係数と土砂の渦拡散係数を関連づけており、これはほぼ1に等しい。^[38]${\displaystyle z}$${\displaystyle c_{s}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle K_{m}}$

${\displaystyle \alpha ={\frac {K_{s}}{K_{m}}}\approx 1}$

実験では、砂とシルトの場合、0.93から1.10の範囲であることが示されています。^[39]${\displaystyle \alpha }$

ラウズ プロファイルは堆積物の濃度を特徴づけます。ラウズ数には乱流混合と粒子の重量による沈降の両方が含まれるためです。乱流混合の結果、高濃度領域から低濃度領域への粒子の正味の動きが生じます。粒子は下方に沈降するため、粒子が中性浮力を持たないか、沈降速度が無視できるほど十分に軽い場合を除き、流れが上向きになると正味の負の濃度勾配が生じます。したがって、ラウズ プロファイルは、堆積物の乱流混合 (正味の上向き) と各粒子の下向き沈降速度のバランスをとる濃度プロファイルを提供します。

河床物質荷重は、河床荷重と河床から発生する懸濁荷重の部分で構成されます。

^{河床物質の移動に関する一般的}な関係式は、「アッカーズ・ホワイト」、「エンゲルンド・ハンセン」、「ヤン」の3つである。最初の式は砂から粒度の砂利までを対象とし、2番目と3番目は砂を対象としている^[41]。ただしヤンは後に式を細粒砂利まで対象とした。これらの式はすべて砂のサイズの範囲をカバーしており、そのうち2つは砂のみを対象としているのは、砂河床の河川では堆積物が河床と懸​​濁物として同時に移動することが一般的だからである。

エンゲルンドとハンセンの河床物質負荷式は、堆積物の輸送開始に関する何らかの臨界値を含まない唯一の式です。その式は次のとおりです。

${\displaystyle q_{s}*={\frac {0.05}{c_{f}}}\tau *^{2.5}}$

ここで、は単位幅あたりの堆積物体積流量のアインシュタイン無次元化、は摩擦係数、 はシールド応力です。エンゲルンド・ハンセンの式は、閾値「臨界せん断応力」が存在しない数少ない堆積物輸送式の 1 つです。 ${\displaystyle q_{s}*}$${\displaystyle c_{f}}$${\displaystyle \tau *}$

ウォッシュ ロードは水柱内で流れの一部として運ばれるため、主流の平均速度とともに移動します。ウォッシュ ロードの濃度は水柱内でほぼ均一です。これは、ルーズ数が 0 に等しい (つまり、沈降速度が乱流混合速度よりはるかに小さい) エンド メンバー ケースによって説明され、物質の垂直方向の濃度プロファイルが完全に均一になることが予測されます。

水中に運ばれる土砂の総量を定式化しようとした研究者もいる。 ^{[42] [43]}これらの定式化は主に砂を対象にしているが、これは砂が（流れの状態に応じて）同じ河川や海岸面で底質と懸濁物の両方として運ばれることが多いためである。

給水、運河の転流、水冷却などに使われる河川沿いの取水構造物には、砂粒サイズの底質が巻き込まれることがあります。巻き込まれた底質は、取水能力の低下や閉塞、給水ポンプの羽根車の損傷や振動など、さまざまな悪影響を及ぼし、 下流のパイプラインや運河に底質が堆積します。これらの影響を軽減し、底質の流入を制限または防止するには、局所的な二次流を修正する構造物が有効です。^[44]

• 堆積学 – 天然堆積物とその形成過程の研究
• エクスナー方程式 – 堆積物の堆積の法則
• 水文学 – 地球上の水の動き、分布、水質に関する科学
• 堆積物の重力流 – 堆積物の輸送メカニズム
• 河川容量 – 河川が運搬できる土砂の総量

• Liu, Z. (2001)、土砂輸送。
• ムーア、A. 河川堆積物輸送講義ノート、ケント州立大学。
• ウィルコック、P. 土砂輸送セミナー、2004 年 1 月 26 ～ 28 日、カリフォルニア大学バークレー校
• サザード、JB（2007）、堆積物の輸送と堆積構造
• Linwood, JG、「西ロンドンの川における浮遊土砂の濃度と排出量」

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