シールドの公式

シールズ式は、流水中の 粒状物質（砂、砂利）の安定性を計算する式です。

流動中の粒状物質の安定性は、シールズ式またはイズバッシュ式によって決定できます。前者は細粒物質（砂や砂利など）に適しており、イズバッシュ式はより大きな石に適しています。シールズ式は、アルバート・F・シールズ（1908-1974）によって開発されました。実際、シールズ法は、土質物質が移動するかどうかを判定します。したがって、シールズパラメータは、動きの始まりがあるかどうかを決定します。^{[1] [2]}

（緩い粒子の）土質物質の移動は、水が土に及ぼすせん断圧力が土の抵抗よりも大きい場合に発生します。この無次元比（シールドパラメータ）は、アルバート・シールドによって初めて説明され、次のように表されます。

${\displaystyle \Psi _{c}*={\frac {load}{strength}}={\frac {\tau _{c}d^{2}}{(\rho _{s}-\rho _{w})gd^{3}}}}$、

どこ：

• ${\displaystyle \tau _{c}}$臨界底部せん断応力です。
• ${\displaystyle \rho _{s}}$堆積物の密度です。
• ${\displaystyle \rho _{w}}$水の密度です。
• ${\displaystyle g}$重力の加速度です。
• ${\displaystyle d}$堆積物の直径です。

底面に働くせん断応力（斜面に沿った通常の均一な流れの場合）は次のとおりです。

${\displaystyle \tau =\rho _{w}ghI}$、

どこ：

• ${\displaystyle \tau }$流れによって床上に加えられるせん断張力である。
• ${\displaystyle h}$水深です。
• ${\displaystyle I}$勾配（＝電流の傾き）です。

は流れによって及ぼされるせん断応力（つまり、流れの特性）であり、は粒子が移動するせん断応力（つまり、粒子の特性）であること を認識することが重要です。${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau _{c}}$

せん断応力の代わりにせん断応力速度がよく使用されます。

${\displaystyle u_{*}={\sqrt {\tau /\rho _{w}}}}$

せん断応力速度は速度 (m/s) の次元を持ちますが、実際にはせん断応力の表現です。そのため、せん断応力速度は速度計で測定することはできません。

せん断応力速度を使用すると、Shields パラメータは次のように表すこともできます。

${\displaystyle \Psi _{c*}={\frac {load}{strength}}={\frac {u_{*c}^{2}}{\Delta gd}}}$

どこ：

• ${\displaystyle \Delta }$無次元の粒子サイズ${\displaystyle {\frac {(\rho _{s}-\rho _{w})}{\rho _{w}}}}$

Shields は、パラメータ がの関数であることを発見しました。ここで は動粘性です。このパラメータは粒状レイノルズ数とも呼ばれます。 ${\displaystyle \Psi _{c*}}$${\displaystyle {\frac {u_{*c}d}{\nu }}}$${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle Re_{*}={\frac {u_{*c}d}{\nu }}}$

Shieldsは異なる密度の粒子でテストを行い、 の値を の関数としてプロットしました。これにより上記のグラフが得られました。^[1]${\displaystyle \Psi _{c*}}$${\displaystyle Re_{*}}$

ヴァン・ラインは、粒状レイノルズ数の代わりに無次元粒径を使用できることを発見した。^[3]

${\displaystyle {d_{*}}=d{\left({\frac {\Delta g}{\nu ^{2}}}\right)}^{1/3}}$

通常、 の値は極めて一定であるため、真の粒径も水平軸上に設定できます (右図 b を参照)。つまり、 の値は粒径の関数のみであり、直接読み取ることができます。 ${\displaystyle \Delta ,g,\nu }$${\displaystyle \Psi _{c*}}$

。

このことから、5 mm を超える粒子の場合、Shields パラメータは 0.055 という定数値になります。

川の勾配（I ）はシェジーの式で求めることができる。

${\displaystyle u=C{\sqrt {hI}}}$

ここで = シェジー係数 ( ⁠${\displaystyle C}$メートル^1/2/s⁠ ); これは多くの場合50（⁠メートル^1/2/s⁠）。平らな床（つまり波紋がない床）の場合、C は次のように近似できます。

${\displaystyle C=18\log _{10}{\frac {12h}{2d}}}$^[4]

これを安定性の式に導入すると、与えられた流量における臨界粒径の式が見つかります。

${\displaystyle d_{c}={\frac {u^{2}}{\Psi _{c}\Delta C^{2}}}}$

この形式では、安定性の関係は通常「Shields 式」と呼ばれます。

グラフ中のシールズ（およびファン・ライン）の線は、「動き」と「動きなし」の境界です。シールズは、ほぼすべての砂粒が底を動くことを「動き」と定義しました。これは、流れによる砂の移動の始まりを定義するのに便利な定義です。しかし、侵食から床を保護したい場合、砂粒はほとんど動かないことが条件となります。これを機能させるために、ブリューザーズは 1969 年に 7 つの動きの段階を定義しました。^[5]

1. 時々動く石
2. 一部の場所では移動が頻繁
3. 複数の場所での頻繁な移動
4. 多くの場所での頻繁な移動
5. あらゆる点での継続的な動き
6. すべての穀物を底に輸送

これらのフェーズは以下の図に示されています。

実際には、これは、ベッド保護（粒子が常に 5mm より大きい）の場合、Ψ = 0.03 の設計値を使用する必要があることを意味します。

質問：水深1mで0.2cmの砂はどのくらいの流速で動きますか？

すると、シェジー値はC = 62 になります (これは高い値なので、滑らかな土壌です。これは、尾根がないと想定しているためです)。これを入力すると、速度は 0.83 m/s になります。

質問: この土壌を 2 m/s の流れから守るには、どのくらいの大きさの石が必要ですか?

これは直接解くことはできません。まず、 dについて仮定を立てる必要があります。石のサイズを 5cm とします。これにより、Chézy 値は 37 になります。これを Shields の式に入力すると、石のサイズは 5.7cm になります。5cm は少し小さすぎます。試行錯誤した結果、最終的に 6.5cm の石のサイズが見つかりました。(この場合、Izbash の式では6.3cm になります)

シールドアプローチは、均一で永続的な流れと、底の粗さによって生成される乱流（つまり、プロペラ流などによる追加の乱流がない）に基づいています。浅瀬の粗い底の場合や異常な乱流の場合は、イズバッシュの式の方が推奨されます。^[6]