エクスナー方程式

エクスナー方程式は、水路の底にある堆積物と運搬される堆積物の間の質量保存則を記述する。 ^[1]この方程式は、運搬から外れる堆積物の量に比例して 底質が上昇し（底質が堆積し）、逆に流れに巻き込まれる堆積物の量に比例して底質が減少する（底質が堆積しなくなる）ことを述べている。この方程式はオーストリアの気象学者で堆積学者のフェリックス・マリア・エクスナーによって考案され、彼女にちなんで名付けられた。^{[2]この方程式は主に、}川などの河川系の堆積物 に適用されます。

エクスナー方程式によれば、時間の経過に伴う河床高の変化は、粒子の充填密度の1/1に堆積物のフラックスの負の発散を乗じたもの に等しい。${\displaystyle \eta}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \varepsilon _{o}}$${\displaystyle \mathbf {q_{s}} }$

${\displaystyle {\frac {\partial \eta }{\partial t}}=-{\frac {1}{\varepsilon _{o}}}\nabla \cdot \mathbf {q_{s}} }$

は と表すこともできることに注意してください。ここで はベッドの空隙率に等しいです。 ${\displaystyle \varepsilon _{o}}$${\displaystyle (1-\lambda _{p})}$${\displaystyle \lambda _{p}}$

自然系におけるの適切な値は0.45 から 0.75 の範囲です。^[3]球状粒子の典型的な値は、ランダム最密充填で与えられる 0.64 です。最密充填された球状粒子の上限は 0.74048 です (詳細については球状充填を参照)。この充填度は自然系では非常にあり得ないことであるため、ランダム最密充填が粒子充填密度のより現実的な上限となります。 ${\displaystyle \varepsilon _{o}}$

多くの場合、計算の利便性やデータ不足などの理由から、エクスナー方程式は1次元形式で使用されます。これは通常、下流方向に関して行われます。これは、河川区間を通じた 侵食と堆積の下流分布に関心がある場合によく使用されます。${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {\partial \eta }{\partial t}}=-{\frac {1}{\varepsilon _{o}}}{\frac {\partial {q_{s}}}{\partial x}}}$

ここで、下流方向のスカラー堆積物フラックスです。 ${\displaystyle q_{s}}$