深さ-傾斜積

深さ勾配積は、安定した均一な流れを受けている流体を含む開水路の底のせん断応力を計算するために使用されます。これは、河川工学、河川修復、堆積学、河川地形学で広く使用されています。これは、水深と平均底勾配、および流体の 重力と密度による加速度の積です。

河床せん断応力の計算における水深と勾配の積の使用は、特に、自然の河川に広く当てはまる 2 つの仮定を指します。すなわち、水路の水平からの角度は十分に小さいため、小角の公式によって勾配として近似できること、および水路は深さよりも幅がはるかに広く、側壁の影響は無視できることです。局所的に不安定な河川システムでせん断応力を求めるには単純すぎるアプローチですが、数キロメートルの距離にわたって平均すると、これらの局所的な変動が平均化され、水深と勾配の積は、河川などの開水路でのせん断応力を理解するための便利なツールになります。

最初の仮定は、水路の幅が深さよりはるかに大きいということであり、方程式は水路が無限に広いかのように解くことができます。つまり、側壁効果は無視でき、水力半径 は水路の深さ と等しいと仮定できます。 ${\displaystyle R_{h}}$${\displaystyle h}$

${\displaystyle R_{h}={\frac {A}{P}}}$

ここで、は流れの断面積、 は濡れ周囲長です。半円形の水路の場合、水力半径は単に真の半径になります。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle P}$

ほぼ長方形のチャネルの場合（仮定を説明する数学的な簡略化のため）、

${\displaystyle A=bh}$、

ここで、チャネルの幅（広さ）は ${\displaystyle b}$

${\displaystyle P=b+2h}$。

b>>hの場合、

${\displaystyle P\rightarrow b}$、

そしてそれゆえ

${\displaystyle R_{h}\rightarrow {\frac {bh}{b}}=h}$。

正式には、この仮定は、幅が高さの約 20 倍を超える場合に一般的に当てはまるとみなされます。発生する誤差の正確な量は、高さと水力半径を比較することでわかります。幅と深さの比率が低いチャネルの場合、上記の簡略化の代わりに水力半径を使用すると、より適切な解決策を見つけることができます。

無限幅の開水路の床にかかる全応力は、床に作用する静水圧によって決まります。密度 の流体、重力加速度、流れの深さの場合、床にかかる圧力は、単に流体要素の重量と流れの深さ の積です。このことから、床に作用する全圧力 の式が得られます。 ${\displaystyle \rho}$ ${\displaystyle g}$${\displaystyle h}$${\displaystyle \rho g}$${\displaystyle h}$${\displaystyle P_{b}}$

${\displaystyle P_{b}=\rho gh\,}$

圧力をせん断応力に変換するには、床にせん断を与える圧力の成分を決定する必要があります。水平面から角度を成すチャネルの場合、床に作用する応力のせん断成分、つまり床に接線方向に作用する成分は、全圧力に角度の正弦を掛けたものに等しくなります。 ${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle /\left(\tau _{b}\right)}$${\displaystyle \alpha}$

${\displaystyle \tau _{b}=\rho gh\sin {\left(\alpha \right)}\,}$

自然の川では、角度は通常非常に小さいです。その結果、小さな角度の公式は次のようになります。 ${\displaystyle \alpha}$

${\displaystyle \sin {\left(\alpha \right)}\approx \tan {\left(\alpha \right)}}$

角度の正接は、定義により、チャネルの傾斜に等しくなります。 ${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle \tan {\left(\alpha \right)}\equiv S}$

これから、河床せん断応力と深さ・勾配積の関係の最終的な形に到達できます。

${\displaystyle \tau _{b}=\rho ghS\,}$

単一のよく混合された均質な流体と単一の重力加速度を想定すると (どちらも自然の川では適切な想定であり、2 番目は地球上または局所的な重力場に支配的な影響を与える惑星上のプロセスでは適切な想定です)、境界せん断応力を決定する唯一の 2 つの変数は深さと傾斜です。これが、式の名前の意味です。

${\displaystyle \tau _{b}\propto hS}$

自然の流れの場合、MKSまたはSIシステム (せん断応力の単位はパスカル) では、覚えておくと便利な典型的な関係は次のとおりです。

${\displaystyle \tau _{b}=10000\left[{\frac {\mathrm {kg} }{\mathrm {m} ^{2}\ \mathrm {s} ^{2}}}\right]hS }$

水の密度は 1000 kg/m ³で、重力加速度は 10 m/s ²と近似されます(この仮定による誤差は、通常、測定値による誤差よりもはるかに小さくなります)。

床せん断応力は、次のことを調べるために使用できます。

• 流体の流れ内の垂直速度プロファイル
• 流体が堆積物を運ぶ能力
• 汚染物質とトレーサーのせん断分散速度。

• 堆積物
• 流体力学

• Leopold、Wolman、Miller (1964)、「Fluvial Processes in Geomorphology」、 Dover Publications、Mineola、NY、USA、535 ページ。