複素ラメラベクトル場

ベクトル解析において、複素ラメラベクトル場は、面族に直交するベクトル場です。微分幾何学のより広い文脈では、複素ラメラベクトル場は、超曲面直交ベクトル場と呼ばれることが多いです。複素ラメラベクトル場は、さまざまな方法で特徴付けることができますが、その多くは回転を伴います。ラメラベクトル場は、回転がゼロのベクトル場によって与えられる特殊なケースです。

形容詞「lamellar」は、薄い層を意味する名詞「lamella」に由来する。 「lamellar ベクトル場」が指すラメラは、定電位面、または複雑な場合にはベクトル場に対して直交する面である。^[1]

ベクトル解析において、複素ラメラベクトル場は、自身の回転に直交する3次元のベクトル場である。^[2]つまり、

${\displaystyle \mathbf {F} \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )=0.}$

ラメラベクトル場という用語は、非回転ベクトル場の特殊なケースの同義語として使用されることもあり、^[3]

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\mathbf {0} .}$

複素ラメラベクトル場は、まさに面族に垂直なベクトル場です。非回転ベクトル場は局所的には関数の勾配であり、したがって、平面（等電位面）族に直交します。^[4]任意のベクトル場は、非回転ベクトル場と複素ラメラ場の和として分解できます。^[5]

より一般的には、擬リーマン多様体上のベクトル場F は、任意の点を通る滑らかに埋め込まれた超曲面が存在し、そのすべての点でベクトル場と直交する場合、超曲面直交であるという。フロベニウスの定理によれば、これはFに直交する任意の滑らかなベクトル場のリー括弧がFに直交していることを要求することと同等である。^[6]

超曲面直交性の条件は、Fの双対である微分 1 形式 ωの観点から言い換えることができます。前述のリー括弧条件は、Fに直交する任意の 2 つの接ベクトルについて評価されたときに外微分dωがゼロになることを要求するように書き直すことができます。^{[6]これは、} ωとのウェッジ積がdωに等しい滑らかな 1 形式が存在するという要件として表現することもできます。^[7]

あるいは、これは微分3形式 ω ∧ dωがゼロであるという条件として書くこともできる。これは、計量​​によって定義されるレヴィ-チヴィタ接続の観点から、3次元テンソル場ω _i ∇ _j ω _kの完全に反対称な部分がゼロであることを要求するものとして表現することもできる。^[8]フロベニウスの定理の別の定式化を使用すると、ω がいくつかの関数λとuに対して局所的にλ d uとして表現可能であることを要求することも同等である。^[9]

3次元ユークリッド空間上のベクトル場という特殊なケースでは、超曲面直交条件は複素ラメラ条件と等価であり、ω ∧ dω をホッジスター演算子で∗⟨ω, ∗dω⟩と書き直すことでわかる。ここで、∗dω は回転ベクトル場の1形式双対である。^[10]

超曲面直交ベクトル場は一般相対論において特に重要であり、そこでは（他の理由の中でも）超曲面直交であるキリングベクトル場の存在が静的時空の要件の1つとなっている。^[11]この文脈では、超曲面直交性は非回転性と呼ばれることもあるが、これは3次元における標準的な用法と矛盾している。^[12]別名は回転自由性である。^[13]

パフィアンシステムの言語におけるさらに一般的な概念は、完全に積分可能な1形式 ωの概念であり、これは上記で与えられた条件ω∧dω=0に相当します。 ^[14]この文脈では、計量が存在しないため、「直交性」の概念は存在しません。

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