シュテファン・ボルツマンの法則

ステファンは自身の法則によって太陽表面の温度も決定した。 ^{[ 22 ]}彼はジャック＝ルイ・ソレ（1827年- 1890年）^{[ 23 ]}のデータから、太陽からのエネルギー束密度は、ある温められた金属薄板（薄い板）のエネルギー束密度の29倍であると推測した。円形の薄板は、太陽と同じ角度直径で見えるように測定装置から離れた場所に置かれた。ソレは薄板の温度を約1900 ℃から2000  ℃と推定した。ステファンは、太陽からのエネルギー束の1/3が地球の大気に吸収されると推測し、太陽の正しいエネルギー束としてソレの値の3/2倍、すなわち29 × 3/2 = 43.5という値を取った。

大気吸収の正確な測定は1888年と1904年まで行われなかった。ステファンが得た温度は、以前の値の中央値である1950  ℃と絶対熱力学的値2200Kであった。2.57 ⁴  = 43.5であることから、太陽の温度はラメラの温度の2.57倍であるという法則が導き出され、ステファンは5430 ℃または5700Kという値を得た。これは太陽の温度の最初の妥当な値であった。これ以前は、1800 ℃から   13,000,000 °C  ^{[ 24 ]}が主張された。1800 °C という低い値は、1838年にクロード・プイエ(1790–1868)がデュロン・プティの法則 を使用して決定した。^{[ 25 ] [ 26 ]}プイエはまた、太陽の正しいエネルギー束の値の半分だけを採用した。

太陽以外の恒星の温度は、放出されるエネルギーを黒体放射として扱うことで、同様の方法で近似することができる。^{[ 27 ]}したがって、 $${\displaystyle L=4\pi R^{2}\sigma T^{4}}$$ ここで、Lは光度、σはステファン・ボルツマン定数、Rは恒星半径、Tは有効温度である。この式を変形すると、温度を計算できる。 $${\displaystyle T={\sqrt[{4}]{\frac {L}{4\pi R^{2}\sigma }}}}$$ または、半径： $${\displaystyle R={\sqrt {\frac {L}{4\pi \sigma T^{4}}}}}$$

同じ式を簡略化して、太陽に対する相対的なパラメータを計算することもできます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {L}{L_{\odot }}}&=\left({\frac {R}{R_{\odot }}}\right)^{2}\left({\frac {T}{T_{\odot }}}\right)^{4}\\[1ex]{\frac {T}{T_{\odot }}}&=\left({\frac {L}{L_{\odot }}}\right)^{1/4}\left({\frac {R_{\odot }}{R}}\right)^{1/2}\\[1ex]{\frac {R}{R_{\odot }}}&=\left({\frac {T_{\odot }}{T}}\right)^{2}\left({\frac {L}{L_{\odot }}}\right)^{1/2}\end{aligned}}}$$ どこ${\displaystyle R_{\odot }}$は太陽半径などです。これらは表面積Aと放射発散度を用いて書き直すこともできます。$\displaystyle M^{\circ }}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}L&=AM^{\circ }\\[1ex]M^{\circ }&={\frac {L}{A}}\\[1ex]A&={\frac {L}{M^{\circ }}}\end{aligned}}}$$ どこ${\displaystyle A=4\pi R^{2}}$そして${\displaystyle M^{\circ }=\sigma T^{4}.}$

ステファン・ボルツマンの法則を用いることで、天文学者は恒星の半径を容易に推定することができる。この法則は、いわゆるホーキング放射におけるブラックホールの熱力学においても成り立つ。

同様に、黒体近似（地球自身のエネルギー生成は無視できるほど小さい）の下で、太陽から受け取るエネルギーと地球から放射されるエネルギーを等しくすることで、地球の実効温度T _⊕を計算できます。太陽の光度L _☉は次のように与えられます 。$${\displaystyle L_{\odot }=4\pi R_{\odot }^{2}\sigma T_{\odot }^{4}}$$

地球では、このエネルギーは半径a ₀の球体を通過し、その放射照度（単位面積あたりの受信電力）は次のように表されます。 $${\displaystyle E_{\oplus }={\frac {L_{\odot }}{4\pi a_{0}^{2}}}}$$

地球の半径はR _⊕であり、したがって断面積は${\displaystyle \pi R_{\oplus }^{2}}$地球が吸収する 放射束（すなわち太陽エネルギー）は、次のように表される。$${\displaystyle \Phi _{\text{abs}}=\pi R_{\oplus }^{2}\times E_{\oplus }}$$

ステファン・ボルツマンの法則は4乗を用いるため、熱交換を安定化させる効果があり、地球から放出されるフラックスは吸収されるフラックスと等しくなり、定常状態に近い状態となる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}4\pi R_{\oplus }^{2}\sigma T_{\oplus }^{4}&=\pi R_{\oplus }^{2}\times E_{\oplus }\\&=\pi R_{\oplus }^{2}\times {\frac {4\pi R_{\odot }^{2}\sigma T_{\odot }^{4}}{4\pi a_{0}^{2}}}\\\end{aligned}}}$$

T⊕_は次のように見つけることができます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}T_{\oplus }^{4}&={\frac {R_{\odot }^{2}T_{\odot }^{4}}{4a_{0}^{2}}}\\T_{\oplus }&=T_{\odot }\times {\sqrt {\frac {R_{\odot }}{2a_{0}}}}\\&=5780\;{\rm {K}}\times {\sqrt {6.957\times 10^{8}\;{\rm {m}} \over 2\times 1.495\ 978\ 707\times 10^{11}\;{\rm {m}}}}\\&\approx 279\;{\rm {K}}\end{aligned}}}$$ ここで、 T☉_は太陽の温度、R☉_は太陽の半径、a₀_は地球と太陽の間の距離です。地球が すべての放射を完全に吸収し、大気がないと仮定すると、地球表面の実効温度は6℃になります。

地球のアルベドは0.3であり、これは地球に当たる太陽放射の30%が吸収されずに宇宙空間に散乱されることを意味します。アルベドが温度に及ぼす影響は、吸収されるエネルギーが0.7倍になるが、地球は依然として黒体として放射すると仮定することで近似できます（後者は有効温度の定義によるもので、これが計算対象です）。この近似により温度は0.7 ^1/4倍になり、255 K（-18 °C、-1 °F）になります。^{[ 28 ] [ 29 ]}   

上記の温度は、地表温度ではなく、宇宙から見た地球の温度であり、地表から高高度までの地球上のすべての放射体の平均値です。温室効果のため、地球の実際の平均地表温度は約288 K (15 °C; 59 °F)であり、これは有効温度255 K (-18 °C; -1 °F)よりも高く、黒体の温度279 K (6 °C; 43 °F)よりもさらに高くなっています。         

上記の議論では、地球の表面全体が同じ温度であると仮定しました。もう一つ興味深い疑問は、地球上の黒体表面が、そこに当たる太陽光と平衡状態に達したと仮定した場合、その表面の温度はどうなるかということです。これはもちろん、表面に対する太陽の角度と、太陽光が通過した空気の量に依存します。太陽が天頂にあり、表面が水平な場合、放射照度は最大で 1120  W/m ²になります。^{[ 30 ]}ステファン・ボルツマンの法則によれば、温度は次のようになります。 $${\displaystyle T=\left({\frac {1120{\text{ W/m}}^{2}}{\sigma }}\right)^{1/4}\approx 375{\text{ K}}}$$ または102 °C (216 °F)です。(大気圏上ではさらに高く、394 K (121 °C; 250 °F)になります。) 地球の表面は、日中は平衡温度に達しようと「試み」ますが、大気によって冷却され、夜間は星明かりや場合によっては月明かりとの平衡に達しようと「試み」ますが、大気によって暖められると考えることができます。     

放射線を含む箱のエネルギー密度が比例するという事実${\displaystyle T^{4}}$熱力学を用いて導出することができる。^{[ 31 ] [ 15 ]}この導出では、放射圧pと内部エネルギー密度の関係を利用している。${\displaystyle u}$これは、電磁応力エネルギーテンソルの形式を用いて示すことができる関係である。この関係は次のとおりである。 $${\displaystyle p={\frac {u}{3}}.}$$

さて、基本的な熱力学的関係から$${\displaystyle dU=T\,dS-p\,dV,}$$ で割った後、次の式が得られます。${\displaystyle dV}$そして修理する${\displaystyle T}$: $${\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=T\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}-p=T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}-p.}$$

最後の等式は、次のマクスウェル関係式から導かれる。 $${\displaystyle \left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}=\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}.}$$

エネルギー密度の定義から、 $${\displaystyle U=uV}$$ 放射エネルギー密度は温度のみに依存するため、 $${\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=u\left({\frac {\partial V}{\partial V}}\right)_{T}=u.}$$

今、平等は $${\displaystyle u=T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}-p,}$$置換後${\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}.}$

一方、圧力は単位面積あたりの運動量変化率である。光子の運動量はエネルギーを光速で割った値と同じなので、 $${\displaystyle u={\frac {T}{3}}\left({\frac {\partial u}{\partial T}}\right)_{V}-{\frac {u}{3}},}$$ ここで、係数1/3は、運動量伝達を容器の壁面に対する法線に投影することによって得られる。

偏微分は${\displaystyle \left({\frac {\partial u}{\partial T}}\right)_{V}}$は、${\displaystyle u}$そして${\displaystyle T}$（等式の片側に偏微分を分離すると）偏微分を通常の微分に置き換えることができます。微分を分離すると、等式は次のようになります。 $${\displaystyle {\frac {du}{4u}}={\frac {dT}{T}},}$$ これはすぐに${\displaystyle u=AT^{4}}$、 と${\displaystyle A}$積分定数として。

この法則は、半球状に放射状に広がる小さな平らな黒体表面を考えることで導き出すことができる。この導出では、天頂角をθ 、方位角をφとする球面座標を使用する。また、小さな平らな黒体表面はxy平面上にあり、θ = ^π / ₂となる。

黒体表面から放出される光の強度はプランクの法則によって与えられ、 $${\displaystyle I(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{h\nu /(kT)}-1}},}$$ どこ

• ${\displaystyle I(\nu ,T)}$は、単位表面積、単位立体角、単位周波数あたりで放出される電力の量です。${\displaystyle \nu }$温度Tの黒体によって。
• ${\displaystyle h}$プランク定数は
• ${\displaystyle c}$は光速であり、
• ${\displaystyle k}$はボルツマン定数です。

数量${\displaystyle I(\nu ,T)~A\cos \theta ~d\nu ~d\Omega }$は、面積 A の表面から立体角d Ωを通して周波数範囲νとν + dνで放射される電力です。

シュテファン・ボルツマンの法則は、放射体の単位面積あたりに放出される電力を与える。 $${\displaystyle {\frac {P}{A}}=\int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \int \cos \theta \,d\Omega }$$

黒体はランバート体（つまりランバートの余弦法則に従う） であるため、余弦が現れることに注意が必要です。これは、球面上で観測される強度が、実際の強度に天頂角の余弦を掛けたものになることを意味します。ステファン・ボルツマンの法則を導出するには、積分する必要があります。${\textstyle d\Omega =\sin \theta \,d\theta \,d\varphi }$半球全体にわたって積分する${\displaystyle \nu }$0から∞まで。

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {P}{A}}&=\int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \int _{0}^{2\pi }\,d\varphi \int _{0}^{\pi /2}\cos \theta \sin \theta \,d\theta \\&=\pi \int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \end{aligned}}}$$

次に、 Iに代入します。 $${\displaystyle {\frac {P}{A}}={\frac {2\pi h}{c^{2}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\nu ^{3}}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}\,d\nu }$$

この積分を評価するには、置換を行い、 $${\displaystyle {\begin{aligned}u&={\frac {h\nu }{kT}}\\[6pt]du&={\frac {h}{kT}}\,d\nu \end{aligned}}}$$ これにより、以下が得られます。 $${\displaystyle {\frac {P}{A}}={\frac {2\pi h}{c^{2}}}\left({\frac {kT}{h}}\right)^{4}\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{3}}{e^{u}-1}}\,du.}$$

右辺の積分は標準的なもので、様々な名称で呼ばれています。ボーズ＝アインシュタイン積分、多重対数関数、リーマンゼータ関数などです。${\displaystyle \zeta (s)}$積分の値は${\displaystyle \Gamma (4)\zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{15}}}$（どこ${\displaystyle \Gamma (s)}$はガンマ関数であり、完全な黒体表面の場合、次の結果が得られます。 $${\displaystyle M^{\circ }=\sigma T^{4}~,~~\sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}={\frac {\pi ^{2}k^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}.}$$

最後に、この証明は小さな平面のみを考慮して始まりました。しかし、任意の微分可能な曲面は、小さな平面の集合によって近似できます。曲面の形状によって黒体が自身の放射を再吸収しない限り、放射される総エネルギーは各面から放射されるエネルギーの合計に等しく、総表面積は各面の面積の合計に等しくなります。したがって、この法則は、表面全体が同じ温度である限り、すべての凸型黒体にも当てはまります。この法則は、黒体の凸包がそれ自体黒体であるかのように放射するという事実を利用することで、非凸型の物体からの放射にも拡張されます。

全エネルギー密度uも同様に計算できますが、積分範囲は球全体で、コサインは含まれません。エネルギー流束 (U c) を速度cで割ると、エネルギー密度uが得られます。 $${\displaystyle u={\frac {1}{c}}\int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \int \,d\Omega }$$ したがって${\textstyle \int _{0}^{\pi /2}\cos \theta \sin \theta \,d\theta }$に置き換えられます${\textstyle \int _{0}^{\pi }\sin \theta \,d\theta }$これにより、4倍の係数が加わります。

つまり、合計すると次のようになります。 $${\displaystyle u={\frac {4}{c}}\,\sigma \,T^{4}}$$ この製品は${\displaystyle {\frac {4}{c}}\sigma }$放射定数または放射密度定数と呼ばれることもある。^{[ 32 ] [ 33 ]}