放射伝達

放射伝達（放射輸送とも呼ばれる）は、電磁放射の形でエネルギーが伝達される物理現象です。媒体を通じた放射の伝播は、吸収、放出、散乱のプロセスによって影響を受けます。放射伝達方程式は、これらの相互作用を数学的に記述します。放射伝達方程式は、光学、天体物理学、大気科学、リモートセンシングなど、さまざまな分野に応用されています。放射伝達方程式（RTE）の解析解は単純なケースでは存在しますが、複雑な多重散乱効果を持つより現実的な媒体では、数値的手法が必要です。本記事では、主に放射平衡の条件に焦点を当てています。^{[1] [2]}

放射場を表す基本量は、放射測定用語ではスペクトル放射輝度と呼ばれます (他の分野では、しばしば比強度と呼ばれます)。放射場内の非常に小さな面積要素の場合、あらゆる空間方向で両方の方向に電磁放射が通過する可能性があります。放射測定用語では、通過は、単位時間あたり、放射源通過面の単位面積あたり、距離での受信の単位立体角あたり、考慮される単位波長間隔あたり (偏光は現時点では無視します)、各空間方向で 2 つの方向のそれぞれに放射されるエネルギー量によって完全に特徴付けることができます。

スペクトル放射輝度の観点から、周波数間隔から方向の立体角で時間にある面積の面積要素を横切って流れるエネルギーは、 ${\displaystyle I_{\nu}}$${\displaystyle da\,}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle dt\,}$${\displaystyle d\Omega }$${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$${\displaystyle \nu \,}$${\displaystyle \nu +d\nu \,}$

${\displaystyle dE_{\nu }=I_{\nu }(\mathbf {r} ,{\hat {\mathbf {n} }},t)\cos \theta \ d\nu \,da\,d\オメガ \,dt}$

ここで、単位方向ベクトルが面積要素の法線となす角度です。スペクトル放射輝度の単位は、エネルギー/時間/面積/立体角/周波数です。MKS 単位では、W·m ⁻² ·sr ⁻¹ ·Hz ⁻¹ (ワット/平方メートル/ステラジアン/ヘルツ) となります。 ${\displaystyle \theta}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$

放射伝達の方程式は、放射線ビームが移動すると、吸収によってエネルギーを失い、放出プロセスによってエネルギーを獲得し、散乱によってエネルギーを再分配することを単純に示しています。放射伝達の方程式の微分形式は次のとおりです。

${\displaystyle {\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}I_{\nu }+{\hat {\Omega }}\cdot \nabla I_{\nu }+(k_{\nu ,s}+k_{\nu ,a})\rho I_{\nu }=j_{\nu }\rho +{\frac {1}{4\pi }}k_{\nu ,s}\rho \int _{\Omega }I_{\nu }d\Omega }$

ここで、は光の速度、は放出係数、は散乱不透明度、は吸収不透明度、は質量密度であり、項は表面への他の方向からの散乱放射を表します。 ${\displaystyle c}$${\displaystyle j_{\nu }}$${\displaystyle k_{\nu ,s}}$${\displaystyle k_{\nu ,a}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}k_{\nu ,s}\int _{\Omega }I_{\nu }d\Omega }$

放射伝達方程式の解は膨大な研究成果を生んでいます。しかし、その違いは基本的に、放射係数と吸収係数のさまざまな形式によるものです。散乱を無視すると、放射係数と吸収係数に関する一般的な定常解は次のように表すことができます。

${\displaystyle I_{\nu }(s)=I_{\nu }(s_{0})e^{-\tau _{\nu }(s_{0},s)}+\int _{s_{0}}^{s}j_{\nu }(s')e^{-\tau _{\nu }(s',s)}\,ds'}$

ここで、位置と位置の間の媒体の光学的な深さは、 ${\displaystyle \tau _{\nu }(s_{1},s_{2})}$${\displaystyle s_{1}}$${\displaystyle s_{2}}$

${\displaystyle \tau _{\nu }(s_{1},s_{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{s_{1}}^{s_{2}}\alpha _{\nu }(s)\,ds}$

放射伝達方程式の特に有用な簡略化は、局所熱力学的平衡(LTE) の条件下で行われます。局所平衡は、システム内の特定の粒子のサブセットにのみ適用される可能性があることに注意することが重要です。たとえば、LTE は通常、質量の大きい粒子にのみ適用されます。放射ガスでは、LTE が存在するために、ガスによって放出および吸収される光子が互いに、またはガスの質量の大きい粒子と熱力学的平衡にある必要はありません。

この状況では、吸収/放出媒体は互いに局所的に平衡状態にある質量粒子で構成され、したがって定義可能な温度を持ちます (熱力学の第 0 法則)。ただし、放射場は平衡状態ではなく、質量粒子の存在によって完全に駆動されます。LTE の媒体の場合、放出係数と吸収係数は温度と密度のみの関数であり、次の式で関連付けられます。

${\displaystyle {\frac {j_{\nu }}{\alpha _{\nu }}}=B_{\nu }(T)}$

ここで、 は温度Tにおける黒体スペクトル放射輝度です。放射伝達方程式の解は次のようになります。 ${\displaystyle B_{\nu }(T)}$

${\displaystyle I_{\nu }(s)=I_{\nu }(s_{0})e^{-\tau _{\nu }(s_{0},s)}+\int _{s_{0}}^{s}B_{\nu }(T(s'))\alpha _{\nu }(s')e^{-\tau _{\nu }(s',s)}\,ds'}$

媒体の温度プロファイルと密度プロファイルがわかれば、放射伝達方程式の解を計算するのに十分です。

エディントン近似は、2ストリーム近似とは異なります。2ストリーム近似では、上半球では強度が角度に対して一定であり、下半球では異なる定数であると仮定します。エディントン近似では、強度が の線形関数であると仮定します。つまり、 ${\displaystyle \mu =\cos \theta }$

${\displaystyle I_{\nu }(\mu ,z)=a(z)+\mu b(z)}$

ここで、 は平板状媒体の法線方向です。 角度積分を で表すと、 が球座標の積分のヤコビアンに現れるため、物事が単純化されることに注意してください。 エディントン近似は、等方性周波数非依存散乱を伴う「平面平行」媒体（特性が垂直方向のみに変化する媒体）のスペクトル放射輝度を取得するために使用できます。 ${\displaystyle z}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle d\mu =-\sin \theta d\theta }$

収量 に関するスペクトル放射輝度の最初の数モーメントを抽出する${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle J_{\nu }={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}I_{\nu }d\mu =a}$

${\displaystyle H_{\nu }={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}\mu I_{\nu }d\mu ={\frac {b}{3}}}$

${\displaystyle K_{\nu }={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}\mu ^{2}I_{\nu }d\mu ={\frac {a}{3}}}$

したがって、エディントン近似は と設定することと同等です。エディントン近似の高次バージョンも存在し、強度モーメントのより複雑な線形関係で構成されます。この追加の方程式は、切断されたモーメント系の閉包関係として使用できます。 ${\displaystyle K_{\nu }=1/3J_{\nu }}$

最初の 2 つのモーメントは単純な物理的意味を持つことに注意してください。 は、ある点における等方性強度であり、 はその点を通る方向の流束です。 ${\displaystyle J_{\nu }}$${\displaystyle H_{\nu }}$${\displaystyle z}$

局所熱力学的平衡における散乱係数を持つ等方散乱媒体を通る放射伝達は次のように表される。 ${\displaystyle \sigma _{\nu }}$

${\displaystyle \mu {\frac {dI_{\nu }}{dz}}=-\alpha _{\nu }(I_{\nu }-B_{\nu })+\sigma _{\nu }(J_{\nu }-I_{\nu })}$

すべての角度を積分すると、

${\displaystyle {\frac {dH_{\nu }}{dz}}=\alpha _{\nu }(B_{\nu }-J_{\nu })}$

を乗じてすべての角度にわたって積分すると、 ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\frac {dK_{\nu }}{dz}}=-(\alpha _{\nu }+\sigma _{\nu })H_{\nu }}$

閉包関係を代入し、について微分すると、上記の2つの式を組み合わせて放射拡散方程式を形成することができる。 ${\displaystyle z}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}J_{\nu }}{dz^{2}}}=3\alpha _{\nu }(\alpha _{\nu }+\sigma _{\nu })(J_{\nu }-B_{\nu })}$

この式は、吸収不透明度が小さい場合、散乱が支配的なシステムにおける有効光学的厚さが散乱不透明度によって与えられるものと大きく異なる可能性があることを示しています。

• ランバート・ビールの法則
• キルヒホッフの熱放射の法則
• 大気放射伝達コードのリスト
• 光学的深さ
• プランクの法則
• 生物組織における光子輸送に関する放射伝達方程式と拡散理論
• 放射伝達に関するシュワルツシルト方程式
• ベクトル放射伝達

• イヴァン・フーベニー、ディミトリ・ミハラス（2015年）。 『恒星大気の理論、天体物理学的非平衡定量分光分析入門』プリンストン大学出版局、p.944。ISBN 9780691163291。
• スブラマニアン・チャンドラセカール(1960)。放射伝達。ドーバー出版、p. 393。ISBN 978-0-486-60590-6。
• ジャクリーン・ルノーブル（1985年）散乱および吸収大気における放射伝達：標準計算手順。A.ディーパック出版。583ページ。ISBN 978-0-12-451451-5。
• グラント・ペティ (2006)。『大気放射入門（第2版）』。サンドッグ・パブリッシング（ウィスコンシン州マディソン）。ISBN 978-0-9729033-1-8。
• ディミトリ・ミハラス、バーバラ・ワイベル・ミハラス（1984年）。放射流体力学の基礎。ドーバー出版、ISBN 978-0-486-40925-2。
• George B. Rybicki、Alan P. Lightman (1985)。天体物理学における放射過程。Wiley-Interscience。ISBN 978-0-471-82759-7。
• GE Thomas & K. Stamnes (1999)。大気と海洋における放射伝達。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-40124-1。
• C. ボーレン(2006)。大気放射の基礎: 400問の問題を解く入門書。ジョン・ワイリー・アンド・サンズ。ISBN 978-3-527-40503-9。
• RT Pierrehumbert (2010)。惑星気候の原理。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 9780521865562。