シュテファン・ボルツマンの法則

シュテファン・ボルツマンの法則は、シュテファンの法則とも呼ばれ、物質から放出される熱放射の強度をその物質の温度で表したものです。この法則は、経験的にこの関係を導き出したヨーゼフ・シュテファンと、理論的にこの法則を導き出した ルートヴィヒ・ボルツマンにちなんで名付けられました。

理想的な吸収体/放射体、つまり黒体の場合、シュテファン・ボルツマンの法則によれば、単位時間あたり単位表面積あたりに放射される総エネルギー（放射発散度とも呼ばれる）は黒体の温度Tの 4 乗に正比例します。 $${\displaystyle M^{\circ}=\sigma \,T^{4}.}$$

比例定数は、シュテファン・ボルツマン定数と呼ばれ、その値は ${\displaystyle \sigma}$

一般的な場合、放射発散に関するシュテファン・ボルツマンの法則は次の形式をとります。 ここで、は放射を発する表面の放射率です。放射率は一般に 0 から 1 の間です。放射率 1 は黒体に対応します。 $${\displaystyle M=\varepsilon \,M^{\circ }=\varepsilon \,\sigma \,T^{4},}$$${\displaystyle \epsilon }$

放射発散度（以前は放射放射率と呼ばれていた）は、エネルギー束（単位時間あたり単位面積あたりのエネルギー）の次元を持ち、 SI単位はジュール毎秒毎平方メートル（J⋅s −1 ^⋅m −2 ^）、または同等のワット毎平方メートル（W⋅m ⁻²）である。^[2]絶対温度TのSI単位はケルビン（K）である。 ${\displaystyle M}$

物体から放射される全電力 を求めるには、放射発散度に物体の表面積 を掛けます。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle P=A\cdot M=A\,\varepsilon \,\sigma \,T^{4}.}$$

入射する放射をすべて吸収しない物質は、黒体よりも総エネルギーが少なく放射します。放射は係数 だけ減少します。ここで、放射率 は、ほとんどの物質で を満たす物質特性です。放射率は一般に、波長、方向、偏光に依存します。しかし、シュテファン・ボルツマンの法則の非方向性形式で現れる放射率は、半球全放射率であり、これはすべての波長、方向、偏光にわたって放射を合計したものを反映します。^{[3] : 60}${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle 0\leq \varepsilon \leq 1}$

放射率を含むシュテファン・ボルツマンの法則の形は、物質が局所熱力学的平衡（LTE）状態にあり、その温度が明確に定義されている限り、すべての物質に適用できます。^{[3] : 66n, 541}（放射率 は、この式を有効にする量として定義されているため、これは自明な結論です。自明でないのは、 という命題であり、これはキルヒホッフの熱放射の法則の結果です。^{[4] : 385}） ${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \varepsilon \leq 1}$

いわゆる灰色物体とは、分光放射率が波長に依存せず、全放射率が一定となる物体のことである。 ^{[3] : 71}より一般的な（そして現実的な）場合では、分光放射率は波長に依存する。 シュテファン・ボルツマンの法則に当てはまる全放射率は、黒体放射スペクトルを重み関数として、分光放射率の加重平均として計算することができる。従って、分光放射率が波長に依存する場合、全放射率は温度に依存する、すなわち となる。[ ^{3] : 60}ただし、波長への依存性が小さければ、温度への依存性も小さくなる。 ${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon (T)}$

波長およびサブ波長スケールの粒子^[5]、 メタマテリアル^[6]、およびその他のナノ構造^[7]は光線光学的制限を受けず、放射率が1を超えるように設計される場合があります。

国内および国際規格文書では、記号は放射出射率を表すのに推奨されています。上付きの円 (°) は黒体に関連する用語を示します。^[2] (エネルギー量(放射測定) の放射出射率を、人間の視覚 (測光) の類似量である光出射率( と表記) と区別することが重要な場合は、下付きの「e」が追加されます。^[8] ) 一般的な用法では、放射出射率 (放射発散度と呼ばれることが多い) を表す記号は、テキストや分野によって異なります。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle M_{\mathrm {e} }}$${\displaystyle M_{\mathrm {v} }}$

シュテファン・ボルツマンの法則は、温度の関数としての放射輝度の式として表すことができます。放射輝度は、ワット/平方メートル/ステラジアン（W⋅m ⁻² ⋅sr ⁻¹）で測定されます。黒体の放射輝度に関するシュテファン・ボルツマンの法則は次のとおりです。^{[9] : 26  [10]} $${\displaystyle L_{\Omega }^{\circ }={\frac {M^{\circ }}{\pi }}={\frac {\sigma }{\pi }}\,T^{4}.}$$

放射エネルギー密度の式として表されるシュテファン・ボルツマンの法則は、次の通りである: ^[11] ここで、は光速である。 $${\displaystyle w_{\mathrm {e} }^{\circ }={\frac {4}{c}}\,M^{\circ }={\frac {4}{c}}\,\sigma \,T^{4},}$$${\displaystyle c}$

1864年、ジョン・ティンダルは白金フィラメントによる赤外線放射の測定値とそれに対応するフィラメントの色を発表しました。^{[12] [13] [14] [15]} 絶対温度の4乗への比例関係は、 1877年にヨーゼフ・シュテファン（1835–1893）によって、ティンダルの実験測定に基づいて、ウィーン科学アカデミーの会報に掲載された論文「熱放射と温度の関係について」で導き出されました。 ^[16]

この法則は、アドルフォ・バルトリの研究を参考にして、1884年にルートヴィヒ・ボルツマン（1844–1906）によって理論的考察から導かれた。^{[17]バルトリは1876年に}熱力学の原理から放射圧 の存在を導き出していた。バルトリに倣って、ボルツマンは理想気体の代わりに電磁放射を作動物質として使用する 理想的な熱機関を考えた。

この法則はほぼ即座に実験的に検証された。 1888年にハインリヒ・ウェーバーは高温での偏差を指摘したが、1897年までに1535 Kの温度まで測定不確かさの範囲内で完全な精度が確認された。 ^[18] この法則は、光速の関数としてのシュテファン・ボルツマン定数、ボルツマン定数、プランク定数の理論的予測を含め、1900年に定式化されたプランクの法則の直接的な結果である。

シュテファン・ボルツマン定数σは、他の既知の物理定数から導かれる。 ここでkはボルツマン定数、hはプランク定数、cは真空中の光速である。^{[19] [4] : 388}$${\displaystyle \sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}}$$

2019年のSI改訂版では、 k、h、cの正確な固定値が定められており、シュテファン・ボルツマン定数は次の通りである。 したがって、^[20]$${\displaystyle \sigma =\left[{\frac {2\pi ^{5}\left(1.380\ 649\times 10^{-23}\right)^{4}}{15\left(2.997\ 924\ 58\times 10^{8}\right)^{2}\left(6.626\ 070\ 15\times 10^{-34}\right)^{3}}}\right]\,{\frac {\mathrm {W} }{\mathrm {m} ^{2}{\cdot }\mathrm {K} ^{4}}}}$$

これに先立ち、の値は気体定数の測定値から計算されていました。^[21]${\displaystyle \sigma}$

シュテファン・ボルツマン定数の数値は、下の表に示すように、他の単位系では異なります。

ステファンは彼の法則で太陽の表面温度も決定した。 ^[23]彼はジャック＝ルイ・ソレ（1827–1890）^[24]のデータから、太陽からのエネルギー流束密度が、ある温められた金属薄板（薄い板）のエネルギー流束密度の29倍であると推測した。円形の薄板が、太陽と同じ角度で見えるように測定装置から離れたところに置かれました。ソレは、薄板の温度がおよそ1900 ℃から2000℃であると推定しました。ステファンは、太陽からのエネルギー流束の1/3が地球の大気によって吸収されると推測し、正しい太陽のエネルギー流束としてソレの値の3/2倍、つまり29 × 3/2 = 43.5を採用しました。

大気吸収の正確な測定は1888年と1904年まで行われなかった。ステファンが得た温度は、それ以前の測定の中央値である1950℃と、絶対的な熱力学的温度である2200Kであった。2.57 ⁴ = 43.5なので、太陽の温度はラメラの温度の2.57倍であるという法則が導かれ、ステファンは5430℃または5700Kという値を得た。これが太陽の温度の最初の実用的な値であった。これ以前は、1800℃ほどの低い値から、1900℃ほどの高い値まで、太陽の温度は ...1300万 ℃ ^{[25]と主張された。1800℃}という低い値は、 1838年にクロード・プイエ（1790-1868）がデュロン・プティの法則を使って決定した。^{[26] [27]}プイエも太陽の正確なエネルギーフラックスの半分の値を採用した。

太陽以外の恒星の温度は、放出されたエネルギーを黒体放射として扱う同様の方法を使用して近似することができます。^[28] つまり、 Lは光度、σはシュテファン・ボルツマン定数、Rは恒星の半径、Tは有効温度です。この式を変形して温度を計算することができます。 または、代わりに半径を計算することもできます。 $${\displaystyle L=4\pi R^{2}\sigma T^{4}}$$$${\displaystyle T={\sqrt[{4}]{\frac {L}{4\pi R^{2}\sigma }}}}$$$${\displaystyle R={\sqrt {\frac {L}{4\pi \sigma T^{4}}}}}}$$

同じ式を簡略化して、太陽に対するパラメータを計算することもできます。 ここで、は太陽の半径、などです。これらは、表面積Aと放射出射率で書き直すこともできます。 ここで、および$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {L}{L_{\odot }}}&=\left({\frac {R}{R_{\odot }}}\right)^{2}\left({\frac {T}{T_{\odot }}}\right)^{4}\\[1ex]{\frac {T}{T_{\odot }}}&=\left({\frac {L}{L_{\odot }}}\right)^{1/4}\left({\frac {R_{\odot }}{R}}\right)^{1/2}\\[1ex]{\frac {R}{R_{\odot }}}&=\left({\frac {T_{\odot }}{T}}\right)^{2}\left({\frac {L}{L_{\odot }}}\right)^{1/2}\end{aligned}}}$$${\displaystyle R_{\odot}}$${\displaystyle M^{\circ}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}L&=AM^{\circ }\\[1ex]M^{\circ }&={\frac {L}{A}}\\[1ex]A&={\frac {L}{M^{\circ }}}\end{整列}}}$$${\displaystyle A=4\pi R^{2}}$${\displaystyle M^{\circ}=\sigma T^{4}.}$

シュテファン・ボルツマンの法則により、天文学者は星の半径を簡単に推測することができます。この法則は、いわゆるホーキング放射におけるブラックホールの熱力学にも当てはまります。

同様に、黒体近似（地球自身のエネルギー生成は無視できるほど小さい）のもとで、太陽から受け取るエネルギーと地球が放射するエネルギーを等しくすることで、地球の有効温度T _⊕を計算することができます。太陽の光度L _⊙は次のように与えられます。 $${\displaystyle L_{\odot }=4\pi R_{\odot }^{2}\sigma T_{\odot }^{4}}$$

地球では、このエネルギーは地球と太陽の間の距離である半径a ₀の球を通過し、放射照度（単位面積あたりの受信電力）は次のように表されます。 $${\displaystyle E_{\oplus }={\frac {L_{\odot }}{4\pi a_{0}^{2}}}}$$

地球の半径はR _⊕なので、断面積は です。したがって、地球が吸収する 放射束（つまり太陽エネルギー）は次のように表されます。${\displaystyle \pi R_{\oplus }^{2}}$$${\displaystyle \Phi _{\text{abs}}=\pi R_{\oplus }^{2}\times E_{\oplus }}$$

シュテファン・ボルツマンの法則は 4 乗を使用するため、交換を安定化させる効果があり、地球から放出されるフラックスは吸収されるフラックスと等しくなり、次の定常状態に近くなります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}4\pi R_{\oplus }^{2}\sigma T_{\oplus }^{4}&=\pi R_{\oplus }^{2}\times E_{\oplus }\\&=\pi R_{\oplus }^{2}\times {\frac {4\pi R_{\odot }^{2}\sigma T_{\odot }^{4}}{4\pi a_{0}^{2}}}\\\end{aligned}}}$$

T _{⊕ は}次の式で求められます。 ここで、T _⊙は太陽の温度、R _{⊙ は}太陽の半径、a _{0 は}地球と太陽の距離です。地球がそれに当たるすべての放射を完全に吸収し、大気がないと仮定すると、地球表面の有効温度は 6 °C になります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}T_{\oplus }^{4}&={\frac {R_{\odot }^{2}T_{\odot }^{4}}{4a_{0}^{2}}}\\T_{\oplus }&=T_{\odot }\times {\sqrt {\frac {R_{\odot }}{2a_{0}}}}\\&=5780\;{\rm {K}}\times {\sqrt {6.957\times 10^{8}\;{\rm {m}} \over 2\times 1.495\ 978\ 707\times 10^{11}\;{\rm {m}}}}\\&\approx 279\;{\rm {K}}\end{aligned}}}$$

地球のアルベドは0.3で、これは地球に当たる太陽放射の30%が吸収されずに宇宙空間に散乱されることを意味する。アルベドが温度に与える影響は、吸収されるエネルギーが0.7倍になるが、地球は依然として黒体として放射していると仮定することで近似できる（後者は有効温度の定義によるもので、これが計算対象である）。この近似により温度は0.7 ^1/4倍に下がり、255 K（−18 °C、−1 °F）となる。^{[29] [30]}

上記の温度は宇宙から見た地球の温度であり、地上の温度ではなく、地表から高高度まで地球上のすべての放射物体の平均です。温室効果により、地球の実際の平均表面温度は約 288 K (15 °C、59 °F) で、実効温度の 255 K (-18 °C、-1 °F) よりも高く、黒体の温度である 279 K (6 °C、43 °F) よりもさらに高くなります。

これまでの議論では、地球の表面全体が同じ温度であると仮定してきました。もう一つの興味深い疑問は、地球上の黒体表面が太陽光と平衡状態に達したと仮定した場合、その表面の温度はどうなるかということです。これはもちろん、表面に対する太陽の角度と太陽光がどれだけの空気を通過したかによって異なります。太陽が天頂にあり、表面が水平の場合、放射照度は1120 W/m ²にも達することがあります。^[31]シュテファン・ボルツマンの法則によれば、温度は 102 °C (216 °F) になります。 (大気圏上では、温度はさらに高くなり、394 K (121 °C、250 °F) になります。) 地球の表面は、日中は平衡温度に到達しようと「試み」ますが、大気圏によって冷却され、夜間は星の光や月の光で平衡温度に到達しようと「試み」ますが、大気圏によって温められると考えられます。 $${\displaystyle T=\left({\frac {1120{\text{ W/m}}^{2}}{\sigma }}\right)^{1/4}\approx 375{\text{ K}}}$$

放射を含んだ箱のエネルギー密度が に比例するという事実は、熱力学を用いて導くことができる。^{[32] [15]この導出は、}放射圧pと内部エネルギー密度の関係を使用しており、この関係は電磁応力エネルギーテンソルの形式を使用して示すことができる。この関係は次の通りである。 ${\displaystyle T^{4}}$ ${\displaystyle u}$$${\displaystyle p={\frac {u}{3}}.}$$

さて、基本的な熱力学関係 から、 を で割ってを固定する と、次の式が得られます。 $${\displaystyle dU=T\,dS-p\,dV,}$$${\displaystyle dV}$${\displaystyle T}$$${\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=T\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}-p=T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}-p.}$$

最後の等式は次のマクスウェルの関係から導かれます。 $${\displaystyle \left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}=\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}.}$$

エネルギー密度の定義から、 放射のエネルギー密度は温度のみに依存するため、 $${\displaystyle U=uV}$$$${\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=u\left({\frac {\partial V}{\partial V}}\right)_{T}=u.}$$

さて、等式は 次の置換後に得られる。$${\displaystyle u=T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}-p,}$$${\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}.}$

一方、圧力は単位面積あたりの運動量の変化率です。光子の運動量はエネルギーを光速で割った値と同じなので、 係数 1/3 は運動量移動を容器の壁の法線に投影することから生じます。 $${\displaystyle u={\frac {T}{3}}\left({\frac {\partial u}{\partial T}}\right)_{V}-{\frac {u}{3}},}$$

偏微分は、（等式の片側で分離した場合） とのみの関係として表すことができるため、偏微分は通常の微分で置き換えることができます。微分を分離した後、等式は となり 、直ちに となり、 は何らかの積分定数となります。 ${\displaystyle \left({\frac {\partial u}{\partial T}}\right)_{V}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle T}$$${\displaystyle {\frac {du}{4u}}={\frac {dT}{T}},}$$${\displaystyle u=AT^{4}}$${\displaystyle A}$

この法則は、半球状に広がる小さな平らな黒体表面を考えることで導き出すことができます。この導出では、天頂角をθ 、方位角をφ とする球面座標を使用します。また、小さな平らな黒体表面は xy 平面上にあり、θ = ^π / ₂です。

黒 体表面から放射される光の強度はプランクの法則で与えられ、 $${\displaystyle I(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{h\nu /(kT)}-1}},}$$

• ${\displaystyle I(\nu ,T)}$は、温度Tの黒体によって周波数で放射される単位表面積、単位立体角、単位周波数あたりの電力量です。${\displaystyle \nu }$
• ${\displaystyle h}$プランク定数
• ${\displaystyle c}$は光の速度であり、
• ${\displaystyle k}$はボルツマン定数です。

この量は、νからν + dνまでの周波数範囲で、面積 A の表面から立体角d Ωを通して放射される電力です。 ${\displaystyle I(\nu ,T)~A\cos \theta ~d\nu ~d\Omega }$

シュテファン・ボルツマンの法則は、放射体の単位面積あたりに放射される電力を規定する。 $${\displaystyle {\frac {P}{A}}=\int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \int \cos \theta \,d\Omega }$$

黒体はランバート分布に従う（つまりランバートの余弦法則に従う） ため、余弦が現れることに注意してください。つまり、球面に沿って観測される強度は、実際の強度に天頂角の余弦を掛けたものになります。シュテファン・ボルツマンの法則を導くには、半球面上で積分し、0 から ∞ まで積分する必要があります。 ${\textstyle d\Omega =\sin \theta \,d\theta \,d\varphi }$${\displaystyle \nu }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {P}{A}}&=\int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \int _{0}^{2\pi }\,d\varphi \int _{0}^{\pi /2}\cos \theta \sin \theta \,d\theta \\&=\pi \int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \end{aligned}}}$$

次にIを代入します。 $${\displaystyle {\frac {P}{A}}={\frac {2\pi h}{c^{2}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\nu ^{3}}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}\,d\nu }$$

この積分を評価するには、次の 置換を実行します 。$${\displaystyle {\begin{aligned}u&={\frac {h\nu }{kT}}\\[6pt]du&={\frac {h}{kT}}\,d\nu \end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\frac {P}{A}}={\frac {2\pi h}{c^{2}}}\left({\frac {kT}{h}}\right)^{4}\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{3}}{e^{u}-1}}\,du.}$$

右辺の積分は標準的なもので、さまざまな名前で呼ばれています。ボーズ・アインシュタイン積分、多重対数、リーマンゼータ関数 の特殊なケースです。積分の値は(ここではガンマ関数) であり、完全な黒体表面の場合、次の結果が得られます。 ${\displaystyle \zeta (s)}$${\displaystyle \Gamma (4)\zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{15}}}$${\displaystyle \Gamma (s)}$$${\displaystyle M^{\circ }=\sigma T^{4}~,~~\sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}={\frac {\pi ^{2}k^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}.}$$

最後に、この証明は小さな平面のみを考慮することから始まりました。しかし、微分可能な表面はどれも小さな平面の集合で近似できます。表面の形状によって黒体が自身の放射を再吸収しない限り、放射されるエネルギーの合計は各表面から放射されるエネルギーの合計に等しく、全表面積は各表面の面積の合計に等しくなります。したがって、表面全体が同じ温度である限り、この法則はすべての凸型黒体にも当てはまります。この法則は、黒体の凸包がそれ自体が黒体であるかのように放射するという事実を利用して、非凸体からの放射にも適用されます。

総エネルギー密度U も同様に計算できますが、積分は球全体にわたって行われ、余弦はありません。また、エネルギー フラックス (U c) を速度cで割ってエネルギー密度U を求めます。 したがって、は に置き換えられ、追加の係数 4 が与えられます。 $${\displaystyle U={\frac {1}{c}}\int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \int \,d\Omega }$$${\textstyle \int _{0}^{\pi /2}\cos \theta \sin \theta \,d\theta }$${\textstyle \int _{0}^{\pi }\sin \theta \,d\theta }$

したがって、合計すると、 この積は放射定数または放射密度定数と呼ばれることもあります。^{[33] [34]}$${\displaystyle U={\frac {4}{c}}\,\sigma \,T^{4}}$$${\displaystyle {\frac {4}{c}}\sigma }$

ステファン・ボルツマンの法則は次のように表される^[35]。 ここで光子の流束は次のように表され 、光子あたりの平均エネルギーは次のように表される。 $${\displaystyle M^{\circ }=\sigma \,T^{4}=N_{\mathrm {phot} }\,\langle E_{\mathrm {phot} }\rangle }$$${\displaystyle N_{\mathrm {phot} }}$$${\displaystyle N_{\mathrm {phot} }=\pi \int _{0}^{\infty }{\frac {B_{\nu }}{h\nu }}\,\mathrm {d} \nu }$$ $${\displaystyle N_{\mathrm {phot} }=\left({1.5205\times 10^{15}}\;{\textrm {photons}}{\cdot }{\textrm {s}}^{-1}{\cdot }{\textrm {m}}^{-2}{\cdot }\mathrm {K} ^{-3}\right)\cdot T^{3}}$$${\displaystyle \langle E_{\textrm {phot}}\rangle }$$${\displaystyle \langle E_{\textrm {phot}}\rangle ={\frac {\pi ^{4}}{30\,\zeta (3)}}k\,T=\left({3.7294\times 10^{-23}}\mathrm {J} {\cdot }\mathrm {K} ^{-1}\right)\cdot T\,.}$$

マールとウィルキン（2012）は、学生にウィーンの変位法則を教える代わりにについて教えることを推奨し、上記の分解はシュテファン・ボルツマンの法則を教えるときに教えることを推奨している。^[35]${\displaystyle \langle E_{\textrm {phot}}\rangle }$

• 黒体放射
• レイリー・ジーンズの法則
• 佐久間・服部方程式