空間群

数学、物理学、化学において、空間群は、通常3次元の空間における繰り返しパターンの対称群である。^[1]空間群の要素（対称操作）は、パターンを変更しない剛体変換である。3次元では、空間群は219の異なるタイプに分類され、カイラルコピーが異なると見なされる場合は230のタイプに分類される。空間群は、任意の次元数の向き付けられたユークリッド空間の等長写像の離散ココンパクト群である。3次元以外の次元では、ビーベルバッハ群と呼ばれることもある。

結晶学では、空間群は結晶学群またはフェドロフ群とも呼ばれ、結晶の対称性の記述を表します。3 次元空間群に関する決定的な情報源は、国際結晶学表Hahn (2002) です。

歴史

2次元の空間群は、数世紀にわたって知られてきた17の壁紙群であるが、リストが完全であるという証明は、はるかに困難な空間群の分類がほぼ完了した後の1891年に初めて与えられた。^[2]

1879年、ドイツの数学者レオンハルト・ゾンケは、要素がキラリティーを保存する65の空間群（ゾンケ群と呼ばれる）をリストしました。^[3]より正確には、彼は66のグループをリストしましたが、ロシアの数学者で結晶学者のエフグラフ・フェドロフとドイツの数学者アルトゥール・モーリッツ・シェーンフリースの両者は、そのうちの2つが実際には同じであることに気づきました。3次元の空間群は、1891年にフェドロフ^[4]（彼のリストには2つの省略（I 4 3dとFdd2）と1つの重複（Fmm2）がありました）によって最初に列挙され、その後まもなく1891年にシェーンフリース^[5]（彼のリストには4つの省略（I 4 3d、Pc、Cc、？）と1つの重複（P 4 2 ₁ m）がありました）によって独立に列挙されました。 230の空間群の正しいリストは、1892年までにフェドロフとシェーンフリースの間の書簡の中で発見されました。^[6]ウィリアム・バーロウ（1894）は後に異なる方法で群を列挙しましたが、フェドロフとシェーンフリースから230の群の正しいリストをすでに持っていたにもかかわらず、4つの群（Fdd2、I 4 2d、P 4 2 ₁ d、およびP 4 2 ₁ c）を省略しました。バーロウが彼らの研究を知らなかったという一般的な主張は誤りです。^[^要出典^] Burckhardt（1967）は、空間群の発見の歴史を詳細に説明しています。

要素

3次元の空間群は、32の結晶点群と14のブラヴェ格子の組み合わせから作られ、ブラヴェ格子はそれぞれ7つの格子系のいずれかに属しています。つまり、与えられた空間群のどの要素の作用も、適切な点群の要素の作用と、それに続くオプションの並進として表現できます。したがって、空間群は、単位格子の並進対称性（格子の中心化を含む）、点群対称操作である反射、回転、および不正回転（回転反転とも呼ばれる）、およびらせん軸とすべり面の対称操作の組み合わせです。これらすべての対称操作を組み合わせると、考えられるすべての結晶対称性を記述する合計230の異なる空間群が得られます。

したがって、単位セル内の非対称単位の複製数は、セル内の格子点の数に点群の順序を掛けた数になります。これは、空間群 P1 の場合は 1 で、 NaCl 構造のFm 3 mのような空間群の場合は 192 になります。

点を固定する要素

空間の点を固定する空間群の要素には、恒等元、反射、回転、および反転点を含む不正回転があります。

翻訳

平行移動は、ブラヴェ格子（フランスの物理学者オーギュスト・ブラヴェにちなんで名付けられた）と呼ばれる階数3の正規アーベル部分群を形成します。ブラヴェ格子には14種類あります。空間群をブラヴェ格子で割った商は有限群であり、32の可能な点群の1つです。

滑空機

すべり面とは、平面内での反射の後に、その平面と平行な移動が続くものです。すべりがどの軸に沿っているかによって、、、のいずれかで示されます。また、面の対角線の半分に沿ったすべりであるすべりや、単位格子の面または空間の対角線の 4 分の 1 に沿ったすべりであるすべりもあります。後者はダイヤモンド構造に特徴があるため、ダイヤモンドすべり面と呼ばれます。17 の空間群では、セルの中心合わせにより、2 つの垂直方向で同時にすべりが発生します。つまり、同じすべり面をbまたはc、aまたはb、aまたはcと呼ぶことができます。たとえば、グループ Abm2 は Acm2 とも呼ばれ、グループ Ccca は Cccb とも呼ばれます。1992 年には、このような平面に記号e を使用することが提案されました。5 つの空間群の記号が変更されました。 $a$ $b$ $c$ $n$ $d$

スクリュー軸

ねじ軸は、軸の周りの回転と、それに続く軸の方向に沿った平行移動です。これらは回転の度合いを表す数値nで示されます。この数値は、1 回転を完了するために必要な操作の数です (たとえば、3 は、1 回に軸の周りを 1/3 回転することを意味します)。次に、平行格子ベクトルの一部として、平行移動が軸に沿ってどのくらいの距離であるかを示す下付き文字として平行移動の度合いが追加されます。したがって、2 _{1 は}、2 回転の後に格子ベクトルの 1/2 の平行移動が続くことを意味します。

一般式

空間群の要素の作用の一般式は

y = M . x + D

ここで、 Mはその行列、Dはそのベクトル、要素は点xを点yに変換します。一般に、D = D (格子) + D ( M ) であり、D ( M ) はMの一意の関数であり、 Mが単位元である場合は 0 になります。行列Mは、空間群の基底となる点群を形成します。格子はその点群の下で対称でなければなりませんが、結晶構造自体は、特定の点に適用された場合 (つまり、変換なしの場合)、その点群の下で対称ではない場合があります。たとえば、ダイヤモンド立方構造には、立方点群が適用される点はありません。

格子次元は全体の次元よりも小さくなる場合があり、その結果「準周期的」空間群になります。 (全体の次元、格子次元) の場合:

(1,1): 1次元直線群
(2,1): 2次元線群:フリーズ群
(2,2):壁紙グループ
（3,1）：3次元線群；3次元結晶点群では棒群
（3,2）：レイヤーグループ
（3,3）：この記事で議論されている空間群

キラリティー

65 個の「ゾンケ」空間群には、鏡像、反転点、不適切な回転、または滑空面が含まれず、鏡像と同一ではないキラル結晶が生成されます。一方、これらのうち少なくとも 1 つを含む空間群では、アキラル結晶が生成されます。アキラル分子はキラル結晶を形成することもありますが、キラル分子は、これを許可する空間群の 1 つでは常にキラル結晶を形成します。

65 個のゾンケ群の中には、11 個のエナンチオモルフィックペアで構成される 22 個があります。

組み合わせ

空間群では、対称要素の特定の組み合わせのみが可能です。並進は常に存在し、空間群 P1 には並進と単位元のみがあります。ミラーの存在は、すべり面も意味し、回転軸の存在は、ねじ軸も意味しますが、逆は当てはまりません。反転とミラーは、2 倍のねじ軸を意味します。

表記

空間群に名前を付ける方法は少なくとも 10 種類あります。これらの方法の中には、同じ空間群に複数の異なる名前を割り当てることができるものもあり、合計すると何千もの異なる名前が存在します。

番号: 国際結晶学連合は、すべての空間群タイプの表を公開し、それぞれに 1 から 230 までの一意の番号を割り当てています。番号の付け方は任意ですが、同じ結晶系または点群を持つグループには連続した番号が与えられます。

国際記号表記

ヘルマン・モーギャン記法

ヘルマン・モーギャン（または国際）表記法は、格子と群のいくつかの生成元を記述する。国際短縮記号と呼ばれる短縮形があり、結晶学で最も一般的に使用され、通常は4つの記号のセットで構成される。最初の記号は、ブラヴェ格子（P、A、C、I、RまたはF）の中心化を記述する。次の3つは、結晶の高対称方向の1つに沿って投影されたときに見える最も顕著な対称操作を記述する。これらの記号は、点群で使用されるものと同じであり、上で説明したように、すべり面とらせん軸が追加されている。例として、石英の空間群はP3 ₁ 21であり、モチーフの原始的な中心化（つまり、単位セルあたり1回）を示し、3倍のらせん軸と2倍の回転軸を示している。結晶系は各空間群に固有ですが、明示的には含まれていないことに注意してください（ P 3 ₁ 21の場合は三方晶系です）。

国際略号では、最初の記号 (この例では 3 ₁ ) は主軸 (三方晶系の場合は c 軸) に沿った対称性を示し、2 番目の記号 (この例では 2) は二次的に重要な軸 (a 軸と b 軸) に沿った対称性を示し、3 番目の記号は別の方向の対称性を示します。三方晶系の場合、空間群 P3 ₁ 12 も存在します。この空間群では、2 倍の軸は a 軸と b 軸に沿っておらず、30° 回転した方向にあります。

一部の空間群の国際記号と国際短縮記号は 1935 年から 2002 年の間に若干変更されたため、いくつかの空間群では 4 つの異なる国際記号が使用されています。

7つの結晶系の視線方向は以下の通りです。

ホール記法^[7]: 明確な原点を持つ空間群表記。回転、平行移動、軸方向の記号は明確に区別され、反転中心は明示的に定義されています。表記の構成と形式は、対称性情報のコンピューター生成に特に適しています。たとえば、グループ番号 3 には、P 2y (P 1 2 1)、P 2 (P 1 1 2)、P 2x (P 2 1 1) の 3 つのホール記号があります。
シェーンフライス記法: 与えられた点群を持つ空間群は1、2、3、…（国際番号と同じ順序）で番号付けされ、この番号は点群のシェーンフライ記号に上付き文字として追加されます。たとえば、点群がC ₂であるグループ番号3から5には、シェーンフライ記号Cが付けられます。¹
₂、C²
₂、C³
₂。

フェドロフ記法

シュブニコフ記号

Strukturbericht 指定

結晶構造に関連する表記法には、文字とインデックスが付けられている。A元素（単原子）、B AB化合物、C AB ₂化合物、D A _m B _n化合物、（E、F、...、Kより複雑な化合物）、L合金、O有機化合物、Sケイ酸塩。一部の構造指定は同じ空間群を共有している。たとえば、空間群 225 は A ₁、 B ₁、および C ₁である。空間群 221 は A _h、および B ₂である。^[8] ただし、結晶学者は空間群を記述するために Strukturbericht 表記法を使用せず、特定の結晶構造（例：空間群 + 原子配置（モチーフ））を記述するために使用する。

オービフォールド記法(2D)

フィブリフォールド表記法（3D）

名前が示すように、オービフォールド記法は、空間群の生成元ではなく、ユークリッド空間を空間群で割った商で与えられるオービフォールドを記述します。これはコンウェイとサーストンによって導入されましたが、数学以外ではあまり使用されていません。一部の空間群には複数の異なるフィブリフォールドが関連付けられているため、複数の異なるフィブリフォールド記号があります。

コクセター記法: 純粋な反射コクセター群の修正として表される空間対称群と点対称群。
幾何記法^[9]: 幾何代数表記法。

分類システム

空間群をクラスに分類する方法は (少なくとも) 10 種類あります。これらのいくつかの関係を次の表に示します。各分類システムは、その下にある分類システムを改良したものです。ここでの説明を理解するには、次の分類システムを理解する必要があるかもしれません。

Conway、Delgado Friedrichs、Huson ら (2001) は、対応するオービフォールド上のフィブリフォールド構造に従って、フィブリフォールド表記法と呼ばれる空間群の別の分類を与えました。彼らは、219 個のアフィン空間群を、可約群と不可約群に分けました。可約群は、17 個の壁紙群に対応する 17 個のクラスに分類され、残りの 35 個の不可約群は3 次群と同じであり、別々に分類されます。

他の次元では

ビーベルバッハの定理

n次元では、アフィン空間群、またはビーベルバッハ群は、コンパクトな基本領域を持つn次元ユークリッド空間の等長写像の離散部分群です。ビーベルバッハ (1911、1912) は、そのような群の平行移動の部分群にはn 個の線形独立な平行移動が含まれ、有限指数の自由アーベル部分群であり、唯一の最大正規アーベル部分群でもあることを証明しました。彼はまた、任意の次元nでは、空間群の基礎となる群の同型類の可能性は有限個しかなく、さらに、ユークリッド空間への群の作用は、アフィン変換による共役を除いて一意であることも示しました。これは、ヒルベルトの第 18 の問題の一部に答えています。ザッセンハウス (1948) は、逆に、忠実に作用する有限群によるZ ⁿの拡張^{[として定義されている場合? ]である任意の群は、}アフィン空間群であることを示しました。これらの結果を組み合わせると、アフィン変換による共役までのn次元の空間群を分類することは、忠実に動作する有限群によるZ ⁿの拡張である群の同型類を分類することと本質的に同じであることがわかります。

ビーベルバッハの定理では、群が等長変換として作用することを仮定することが不可欠である。定理は、ユークリッド空間のアフィン変換の離散ココンパクト群には一般化されない。反例として、3 次元ユークリッド空間と同一視される実数のハイゼンベルク群に平行移動によって作用する整数の 3 次元ハイゼンベルク群があげられる。これは空間のアフィン変換の離散ココンパクト群であるが、サブグループZ ³を含まない。

小さな次元での分類

この表は、さまざまなクラスの空間群の数を含む、小次元における空間群のタイプの個数を示しています。鏡像対の数は括弧内に表示されます。

^ 自明なグループ
^ 1つは整数群であり、もう1つは無限二面体群です。1次元の対称群を参照してください。
^ これらの2D 空間群は、壁紙群または平面群とも呼ばれます。
^ 3D では、230 種類の結晶学的空間群があるが、いくつかの種類は鏡像と異なるため、219 種類のアフィン空間群に減少する。これらは、エナンチオモルフ特性によって異なると言われている(例: P3 ₁ 12 と P3 ₂ 12)。通常、空間群は3D を指す。これらは、Barlow (1894)、Fedorov (1891a)、Schönflies (1891) によって独立に列挙された。
^ 4895 個の 4 次元群は、Harold Brown、Rolf Bülow、Joachim Neubüser ら (1978) によって列挙されました。Neubüser、Souvignier、Wondratschek (2002) は、エナンチオ同相群の数を 112 から 111 に修正したため、群の総数は4783 + 111 = 4894です。4 次元空間には 44 個のエナンチオ同相点群があります。エナンチオ同相群を異なるものと見なすと、点群の総数は227 + 44 = 271になります。
^ Plesken & Schulz (2000) は次元 5 のものを列挙した。Souvignier (2003) はエナンチオモルフを数えた。
^ Plesken & Schulz (2000) は次元 6 のものを数えたが、後に訂正された数字が見つかった。^[11] Plesken & Hanrath (1984) で最初に発表された 826 格子タイプの数は、Opgenorth、Plesken & Schulz (1998) で 841 に訂正された。Janssen et al. (2002) も参照。Souvignier (2003) はエナンチオモルフを数えたが、その論文は次元 6 の古い誤った CARAT データに依存していた。

磁気グループと時間反転

結晶学的空間群に加えて、磁気空間群（2色（白黒）結晶学的群またはシュブニコフ群とも呼ばれる）もある。これらの対称性には、時間反転と呼ばれる要素が含まれる。これらは時間を追加の次元として扱い、群要素にはその反射として時間反転を含めることができる。これらは、中性子回折によって研究される強磁性、フェリ磁性、または反強磁性構造など、整列した不対スピンを含む磁気構造において重要である。時間反転要素は、他のすべての構造をそのままにして磁気スピンを反転し、他の多くの対称要素と組み合わせることができる。時間反転を含めて、3Dには1651の磁気空間群がある（Kim 1999、p.428）。他の全体次元および格子次元の磁気バージョンを構築することも可能である（Daniel Litvinの論文、（Litvin 2008）、（Litvin 2005））。フリーズグループは磁気 1D ライングループであり、レイヤーグループは磁気壁紙グループであり、軸 3D ポイントグループは磁気 2D ポイントグループです。(全体、格子) 次元別のオリジナルグループと磁気グループの数:(Palistrant 2012)(Souvignier 2006)

2次元空間群の表（壁紙群）

2次元空間群の分類を使用した壁紙群の表:

各幾何クラスに対して、可能な算術クラスは次の通りである。

なし: 反射線なし
沿って: 格子方向に沿った反射線
中間: 格子方向の中間にある反射線
両方: 格子方向に沿った反射線と格子方向間の反射線

3次元空間群の表

注: e平面は二重すべり平面で、2 つの異なる方向にすべりを持つ平面です。これらは、すべて中心格子を持つ 7 つの斜方晶系、5 つの正方晶系、および 5 つの立方晶系空間群に存在します。記号eの使用は、Hahn (2002) によって正式に認められました。

格子系は次のようにして求められます。結晶系が三方晶でない場合は、格子系は同じタイプです。結晶系が三方晶の場合、空間群が、上の表にある R で始まる名前の 7 つの三方晶空間群で構成される菱面体格子系の 7 つのうちの 1 つでない限り、格子系は六方晶です。(菱面体系という用語は、三方晶系全体の別名としても使用されることがあります。)六方格子系は六方晶系よりも大きく、六方晶系と、R で始まる名前の 7 つを除く三方晶系の 18 のグループで構成されます。

空間群のブラベー格子は、格子系とその名前の頭文字によって決まります。非菱面体群の場合、頭文字は P、I、F、A、または C で、それぞれ主格子、体心格子、面心格子、A 面心格子、または C 面心格子を表します。頭文字が R の菱面体空間群は 7 つあります。

空間群からの結晶クラスの導出

ブラヴェ型は除外する
平行移動コンポーネントを持つすべての対称要素を、平行移動対称性のないそれぞれの対称要素に変換します (スライド面は単純なミラー面に変換され、ねじ軸は単純な回転軸に変換されます)
回転軸、回転反転軸、および鏡面は変更されません。

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外部リンク

国際結晶学連合
点群とブラベー格子 2012-07-16 にWayback Machineでアーカイブ
[1]ビルバオ結晶学サーバー
スペースグループ情報（旧）
スペースグループ情報（新規）
結晶格子構造: 空間群による索引
230 個の結晶学的空間群の完全なリスト
230 個の結晶学的空間群すべてをインタラクティブな 3D で視覚化 2021-04-18 にWayback Machineでアーカイブ
Huson, Daniel H. (1999)、3D 空間群のフィブリフォールド表記法と分類(PDF)^{[永久リンク切れ‍ ]}
幾何学センター: 2.1 直交座標系における対称性の公式 (2 次元)
幾何学センター: 10.1 直交座標における対称性の公式 (3 次元)

[11] 自明なグループ

[12] 1つは整数群であり、もう1つは無限二面体群です。1次元の対称群を参照してください。

[13] これらの2D 空間群は、壁紙群または平面群とも呼ばれます。

[14] 3D では、230 種類の結晶学的空間群があるが、いくつかの種類は鏡像と異なるため、219 種類のアフィン空間群に減少する。これらは、エナンチオモルフ特性によって異なると言われている(例: P3 ₁ 12 と P3 ₂ 12)。通常、空間群は3D を指す。これらは、Barlow (1894)、Fedorov (1891a)、Schönflies (1891) によって独立に列挙された。

[15] 4895 個の 4 次元群は、Harold Brown、Rolf Bülow、Joachim Neubüser ら (1978) によって列挙されました。Neubüser、Souvignier、Wondratschek (2002) は、エナンチオ同相群の数を 112 から 111 に修正したため、群の総数は4783 + 111 = 4894です。4 次元空間には 44 個のエナンチオ同相点群があります。エナンチオ同相群を異なるものと見なすと、点群の総数は227 + 44 = 271になります。

[16] Plesken & Schulz (2000) は次元 5 のものを列挙した。Souvignier (2003) はエナンチオモルフを数えた。

[18] Plesken & Schulz (2000) は次元 6 のものを数えたが、後に訂正された数字が見つかった。^[11] Plesken & Hanrath (1984) で最初に発表された 826 格子タイプの数は、Opgenorth、Plesken & Schulz (1998) で 841 に訂正された。Janssen et al. (2002) も参照。Souvignier (2003) はエナンチオモルフを数えたが、その論文は次元 6 の古い誤った CARAT データに依存していた。

[1] Hiller, Howard (1986). 「結晶学と群のコホモロジー」.アメリカ数学月刊誌. 93 (10): 765–779. doi :10.2307/2322930. JSTOR 2322930. 2022年9月29日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2015年1月31日閲覧。

[FOOTNOTEFedorov1891b-2] フェドロフ（1891b）。

[3] ゾンケ、レオンハルト (1879)。 Die Entwicklung einer Theorie der Krystallstruktur [結晶構造理論の発展] (ドイツ語)。ライプツィヒ、ドイツ: BG Teubner。

[FOOTNOTEFedorov1891a-4] フェドロフ（1891a）。

[5] シェーンフライズ、アーサー M. (1891)。Krystallsysteme und Krystallstruktur [結晶システムと結晶構造] (ドイツ語)。ライプツィヒ、ドイツ: BG Teubner。

[6] フォン・フェドロフ、E. (1892)。「Zusammenstellung der kirstallographischen Resultate des Herrn Schoenflies und der meinigen」[シェーンフライス氏と私の結晶学的結果をまとめたもの]。Zeitschrift für Krystallographie und Mineralogie (ドイツ語)。20：25～75。

[7] Sydney R. Hall; Ralf W. Grosse-Kunstleve. 「簡潔な空間群記号」。

[8] “Strukturbericht - ウィキメディア・コモンズ”. commons.wikimedia.org。

[9] David Hestenes、Jeremy Holt (2007 年 1 月)。「幾何代数における結晶学的空間群」(PDF)。Journal of Mathematical Physics。48 ( 2 ): 023514。Bibcode : 2007JMP....48b3514H。doi :10.1063/1.2426416。

[10] ^ JCH Spenceおよび JM Zuo (1994)。「X 線および電子回折におけるエナンチオモルフの識別に必要なビームの最小数について」。Acta Crystallographica Section A。50 ( 5): 647–650。Bibcode :1994AcCrA..50..647S。doi : 10.1107 /S0108767394002850。

[17] 「CARATホームページ」。 2015年5月11日閲覧。