潜在渦度

流体力学において、渦位（PV）は渦度と成層のドット積に比例する量です。空気または水の塊に続くこの量は、非断熱過程または摩擦過程によってのみ変化します。これは、特に極前線に沿ったサイクロンの発生（サイクロンの発生と発達）における渦度の発生を理解するのに役立つ概念であり、海洋の流れを分析する際にも役立ちます。

渦位（PV）は、現代気象学の重要な理論的成果の1つと見なされています。これは、地球の大気や海洋などの回転システムにおける流体の動きを理解するための簡略化されたアプローチです。その発展は、ケルビンの循環定理の特殊形である、1898年のビャークネスによる循環定理にまで遡ります。1985年のホスキンズらによる研究^[2]以来、 PVは、空気塊のダイナミクスの追跡や完全な流れ場の逆解析など、運用気象診断でより一般的に使用されています。計算能力の向上により、より細かいスケールでの詳細な数値気象予報が可能になった後も、PVの視点は学術界や日常の気象予報で依然として使用されており、予報官や研究者に総観スケールの特徴を明らかにしています。^[3]

傾圧不安定性には、サイクロン発生中に波が増幅される潜在的な渦度勾配の存在が必要です。

ヴィルヘルム・ビェルクネスはヘルムホルツの渦度方程式（1858）とケルビンの循環定理（1869）を非粘性流体、地衡流、傾圧流体^{[1] 、すなわち一定の角速度を持つ回転フレーム内の変化する密度の流体に一般化した。}循環を閉流体ループの周りの速度の接線成分の積分と定義し、流体塊の閉鎖の積分をとると、次の式が得られる。

${\displaystyle {\frac {DC}{Dt}}=-\oint {\frac {1}{\rho }}\nabla p\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} -2\Omega {\frac {DA_{e}}{Dt}},}$（１）

ここで、は回転系（慣性系ではない）における時間微分、は相対循環、は流体ループに囲まれた領域の赤道面への投影、は密度、は圧力、はフレームの角速度である。ストークスの定理を用いると、右辺第1項は次のように書き直すことができる 。${\textstyle {\frac {D}{Dt}}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle A_{e}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle p}$${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle {\frac {DC}{Dt}}=\int _{A}{\frac {\nabla \rho \times \nabla p}{\rho ^{2}}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} -2\Omega {\frac {DA_{e}}{Dt}},}$（２）

これは、循環の変化率が圧力座標における密度の変化とその面積の赤道投影によって決まり、右辺の第 1 項と第 2 項に対応することを示しています。第 1 項は「ソレノイド項」とも呼ばれます。投影面積が一定の順圧流体の条件下では、ビャクネス循環定理はケルビンの定理に簡約されます。ただし、大気力学の文脈では、このような条件は適切な近似ではありません。流体回路が赤道地域から温帯地域に移動する場合、は保存されません。さらに、物質回路アプローチの複雑な形状は、流体の動きについての議論を行うのに理想的ではありません。 ${\displaystyle A_{e}}$${\displaystyle A_{e}}$

カール・ロスビーは1939年に^[4]、完全な3次元渦度ベクトルの代わりに絶対渦度の局所的な鉛直成分が大規模な大気流にとって最も重要な成分であり、2次元非発散順圧流の大規模構造は保存されると仮定することでモデル化できると提唱した。1940年の彼の後の論文^[5]では、この理論を2次元流からベータ平面上の準2次元浅水方程式へと緩和した。このシステムでは、大気は互いに積み重ねられたいくつかの非圧縮層に分かれており、鉛直速度は水平流の収束を積分することで推定できる。外力や非断熱加熱のない1層の浅水システムでは、ロスビーは次のことを示した。 ${\displaystyle \zeta _{a}}$${\displaystyle \zeta _{a}}$

${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}\left({\frac {\zeta +f}{h}}\right)=0}$、（３）

ここで、は相対渦度、は層の深さ、 はコリオリのパラメータである。式（3）の括弧内の保存量は、後に浅水位渦度と名付けられた。各層の潜在温度が一定である複数の層を持つ大気の場合、上記の式は次のようになる。 ${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle h}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}\left({\frac {\zeta _{\theta }+f}{\Delta }}\right)=0,}$（4）

ここで、 は等エントロピー面（一定の潜在温度の表面）上の相対渦度であり、 は層内の個々の気柱の単位断面積の​​重さの尺度です。 ${\displaystyle \zeta _{\theta }}$${\displaystyle \Delta =-\delta p/g}$

式（3）は、大気における角運動量保存則に相当する。例えば、両腕を横に広げて回転するアイススケーターは、両腕を縮めることによって回転速度を速めることができる。同様に、空気の渦が広がると、今度は回転速度が遅くなる。空気が水平方向に収束すると、空気の速度が上がって渦位が維持され、垂直方向の広がりが増して質量が保存される。一方、発散によって渦が広がり、回転速度が遅くなる。

ハンス・エルテルは、 1942年に発表された独立した論文を通じてロスビーの研究を一般化した。^{[6] [7]}空気塊の運動に伴う保存量を特定することで、エルテルの渦位と呼ばれる特定の量も理想化された連続流体に対して保存されることを証明できる。理想化された圧縮性流体の運動量方程式と質量連続方程式を直交座標で見ると次のようになる。

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\nabla \mathbf {v^{2}} -\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {v} )+2\mathbf {\Omega } \times \mathbf {v} =-\nabla \Phi -{\frac {1}{\rho }}\nabla p,}$（５）

${\displaystyle {\frac {D\rho }{Dt}}=-\rho \nabla \cdot \mathbf {v} ,}$（6）

ここで はジオポテンシャルの高さである。絶対渦度を、と書き、全運動量方程式(5)の回転を取ると、 ${\displaystyle \Phi }$${\textstyle \mathbf {\zeta _{a}} =\nabla \times \mathbf {v} +2\mathbf {\Omega } }$${\displaystyle 1/\rho }$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \times \mathbf {v} -\nabla \times (\mathbf {v} \times \mathbf {\zeta _{a}} )=\nabla p\times \nabla \alpha .}$（７）

を流体力学的不変量、すなわち問題の流体運動に従って0に等しいものとみなす。式(7)を でスカラー倍すると、 となり、 ${\displaystyle \psi =\psi (\mathbf {r} ,t)}$${\textstyle {\frac {D\psi }{Dt}}}$${\displaystyle \nabla \psi }$${\textstyle {\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {\zeta _{a}} ={\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \times \mathbf {v} }$

${\displaystyle \nabla \psi \cdot {\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {\zeta _{a}} -\nabla \psi \cdot [\nabla \times (\mathbf {v} \times \mathbf {\zeta _{a}} )]=\nabla \psi \cdot (\nabla p\times \nabla \alpha ).}$（８）

式（８）の左辺の２番目の項は に等しく、２番目の項はゼロである。３重ベクトル積の公式から、 ${\textstyle \nabla \cdot [\nabla \psi \times (\mathbf {v} \times \mathbf {\zeta _{a}} )]-(\mathbf {v} \times \zeta _{a})\cdot (\nabla \times \nabla \psi )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \psi \times (\mathbf {v} \times \mathbf {\zeta _{a}} )&=\mathbf {v} (\mathbf {\zeta _{a}} \cdot \nabla \psi )-\mathbf {\zeta _{a}} (\mathbf {v} \cdot \nabla \psi )\\&=\mathbf {v} (\mathbf {\zeta _{a}} \cdot \nabla \psi )+\mathbf {\zeta _{a}} {\frac {\partial \psi }{\partial t}},\end{aligned}}}$（9）

ここで、2行目は運動に従って保存されるという事実による。式(9)を上記式(8)に代入すると、 ${\displaystyle \psi }$${\textstyle {\frac {D\psi }{Dt}}=0}$

${\displaystyle \nabla \psi \cdot {\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {\zeta _{a}} +\mathbf {v} \cdot \nabla (\mathbf {\zeta _{a}} \cdot \nabla \psi )+(\mathbf {\zeta _{a}} \cdot \nabla \psi )\nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {\zeta _{a}} \cdot {\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \psi =\nabla \psi \cdot (\nabla p\times \nabla \alpha ).}$（10）

式(10)の第1項、第2項、第4項を組み合わせると が得られる。 を で割り、質量連続方程式の変形形 を使用すると、式(10)は ${\textstyle {\frac {D}{Dt}}(\mathbf {\zeta _{a}} \cdot \nabla \psi )}$${\textstyle \rho }$${\textstyle {\frac {1}{\rho }}\nabla \cdot \mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {D\rho }{Dt}}={\frac {D\alpha }{Dt}}}$

${\displaystyle \alpha {\frac {D}{Dt}}(\mathbf {\zeta _{a}} \cdot \nabla \psi )+(\mathbf {\zeta _{a}} \cdot \nabla \psi ){\frac {D\alpha }{Dt}}=\alpha \nabla \psi \cdot (\nabla p\times \nabla \alpha )}$（11）

不変量が圧力と密度の関数のみである場合、その勾配はとの外積に垂直であり、これは式(11)の右辺がゼロに等しいことを意味する。特に大気の場合、摩擦なしおよび断熱運動の不変量として位置温度が選択される。したがって、エルテルのポテンシャル渦度保存則は次のように与えられる。 ${\textstyle \psi }$${\textstyle p}$${\textstyle \rho }$${\textstyle \nabla p}$${\textstyle \nabla \rho }$

${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}PV=0.}$（12）

渦位は次のように定義される。

${\displaystyle PV={\frac {\mathbf {\zeta _{a}} \cdot \nabla \theta }{\rho }},}$（13）

ここで、は流体の密度、は絶対渦度、は潜在温度の勾配です。潜在渦度は非断熱加熱（凝縮から放出される潜熱など）または摩擦過程によってのみ変化することが、熱力学の第 1 法則と運動量保存則の組み合わせによって示されます。 ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \mathbf {\zeta _{a}} }$${\displaystyle \nabla \theta }$

大気が安定的に成層化しており、高度とともに温位が単調に増加する場合、を の代わりに垂直座標として使用できます。座標系では、「密度」は と定義されます。次に、等エントロピー座標での水平運動量方程式から導出を開始すると、エルテルPVははるかに単純な形になります^[8]${\textstyle \theta }$${\textstyle \theta }$${\textstyle z}$${\textstyle (x,y,\theta )}$${\textstyle \sigma \equiv -g^{-1}\partial p/\partial \theta }$

${\displaystyle PV_{\theta }={\frac {f+\mathbf {k} \cdot (\nabla _{\theta }\times \mathbf {v} )}{\sigma }}}$（14）

ここで、は単位長さの局所垂直ベクトルであり、は等エントロピー座標における3次元勾配演算子である。この形の渦位は、式(4)のロスビーの等エントロピー多層PVの連続形であることがわかる。 ${\textstyle \mathbf {k} }$${\textstyle \nabla _{\theta }}$

エルテル PV 保存定理、式 (12) は、乾燥した大気の場合、気塊がその潜在温度を保存する場合、その潜在渦度も完全な 3 次元運動に従って保存されると述べています。言い換えると、断熱運動では、気塊は等エントロピー面上でエルテル PV を保存します。注目すべきことに、この量は風と温度場を結び付けるラグランジュ トレーサーとして機能します。エルテル PV 保存定理の使用は、一般循環の理解においてさまざまな進歩をもたらしました。その 1 つは、Reed ら (1950) で説明された「対流圏界面折り畳み」プロセスです。^[9]上部対流圏と成層圏では、気塊は総観期間中に断熱運動に従います。温帯地域では、成層圏の等エントロピー面が対流圏界面に侵入するため、空気塊は成層圏と対流圏の間を移動できますが、対流圏界面付近の PV の強い勾配により、通常はこの動きは阻止されます。ただし、ジェット気流内で風速が最も強い集中領域であるジェット気流ストリーク付近の前線領域では、PV 等高線が対流圏にかなり下向きに伸び、等エントロピー面と類似しています。したがって、成層圏の空気は、一定の PV 面と等エントロピー面の両方に沿って、対流圏の奥深くまで移流できます。PV マップを使用すると、総観規模の擾乱下でも、最近の成層圏起源の空気塊を正確に識別できることも証明されています。(図は Holton、2004、図 6.4 にあります)

エルテル PV は海洋の流れの追跡装置としても機能し、アンデス山脈などの山脈がどのようにして上層の偏西風を赤道に向かって方向転換させたり、赤道に戻したりするのかを説明するために使用できます。エルテル PV を示す地図は通常、位置渦度単位 (PVU) が と定義される気象分析で使用されます。 ${\textstyle {10^{-6}\cdot \mathrm {K} \cdot \mathrm {m} ^{2} \over \mathrm {kg} \cdot \mathrm {s} }\equiv 1\ \mathrm {PVU} }$

最も単純だが洞察に富むバランス条件の 1 つは、準地衡方程式の形をとる。この近似は基本的に、ほぼ静水圧および地衡である 3 次元の大気運動について、その地衡部分は圧力場によって近似的に決定できるが、非地衡部分は地衡流の進化を支配することを述べている。準地衡限界 (QGPV) における渦位は、1960 年に Charney と Stern によって初めて定式化された。^[10] Holton 2004 の第 6.3 章と同様に、^{[8]では、流れが非粘性かつ}静水圧であると仮定しながら、ベータ平面上の水平運動量 (15)、質量連続性 (16)、静水圧 (17)、および熱力学 (18) 方程式から始める。

${\displaystyle {\frac {D_{g}\mathbf {u_{g}} }{Dt}}+f_{0}\mathbf {k} \times \mathbf {u_{a}} +\beta y\mathbf {k} \times \mathbf {u_{g}} =0}$（15）

${\displaystyle \nabla _{hp}\cdot \mathbf {u_{a}} +{\frac {\partial \omega }{\partial p}}=0}$（16）

${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial p}}=-{\frac {R\pi }{p}}\theta }$（17）

${\displaystyle {\frac {D_{g}\theta }{Dt}}+\omega {\frac {d\theta _{0}}{dp}}={\frac {J}{c_{p}\pi }}}$（18）

ここで、は地衡発展を表し、はにおける非断熱加熱項、は地位高度、は水平速度の地衡成分、は非地衡速度、は (x, y, p) 座標における水平勾配演算子である。いくつかの操作 (詳細については準地衡方程式または Holton 2004、第 6 章を参照) により、保存則に到達できる 。${\textstyle {\frac {D_{g}}{Dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+u_{g}{\frac {\partial }{\partial x}}+v_{g}{\frac {\partial }{\partial y}}}$${\textstyle \pi =(p/ps)^{R/c_{p}}}$${\textstyle J}$${\textstyle Js^{-1}kg^{-1}}$${\textstyle \Phi }$${\textstyle \mathbf {u_{g}} }$${\textstyle \mathbf {u_{a}} }$${\textstyle \nabla _{hp}}$

${\displaystyle {\frac {D_{g}}{Dt}}q=-f_{0}{\frac {\partial }{\partial p}}\left(\sigma {\frac {\kappa J}{p}}\right),}$（19）

ここで、は空間平均した乾燥静的安定性である。流れが断熱的であると仮定すると、QGPVは保存される。保存量は次の形をとる。 ${\textstyle \sigma =-{\frac {R\pi }{p}}{\frac {d\theta _{0}}{dp}}}$${\textstyle J=0}$${\textstyle q}$

${\displaystyle {q={{{1 \over f_{o}}{\nabla ^{2}\Phi }}+{f}+{{\partial \over \partial p}\left({{f_{o} \over \sigma }{\partial \Phi \over \partial p}}\right)}}},}$（20）

これはQGPVであり、擬似渦位とも呼ばれる。式(19)の右辺の非断熱加熱項とは別に、QGPVは摩擦力によっても変化することが示される。

Ertel PV を主要次数まで展開し、発展方程式が準地衡流、すなわち であると仮定すると、Ertel PV は QGPV に簡約されます。^[3]この要因により、Ertel PV は等エントロピー面上の空気塊を保存するため、優れたラグランジアン トレーサーであるのに対し、QGPV は大規模な地衡流に従って保存されることにも留意する必要があります。QGPV は、PV 可逆性原理のセクションで説明したように、大規模な大気の流れの構造を表すために広く使用されています。 ${\textstyle {\frac {D}{Dt}}\approx {\frac {D_{g}}{Dt}}}$

ラグランジュのトレーサーであることに加えて、渦度は可逆性原理を通じて力学的な意味合いも与える。2次元の理想流体の場合、渦度分布はラプラス演算子によって流れ関数を制御する。

${\displaystyle {\zeta ={\nabla ^{2}\Psi }},}$（21）

ここで、は相対渦度、 は流れ関数です。したがって、渦度場の知識から、演算子を反転して流れ関数を計算することができます。この特定のケース（式21）では、渦度は運動、つまり流れ関数を推測するために必要なすべての情報を提供するため、渦度の観点から流体のダイナミクスを理解することができます。同様の原理は、1940年代にクラインシュミットによって3次元流体のポテンシャル渦度に最初に導入され、チャーニーとスターンによって準地衡流理論で発展しました。^[11]${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle \Psi }$

エルテルの潜在渦度は理論的に優れているにもかかわらず、エルテル PV の初期の応用は特別な等エントロピー マップを使用したトレーサー研究に限られています。エルテル PV フィールドは風 ( ) と温度フィールド (および) の積であるため、エルテル PV フィールドの知識だけでは他の変数を推測することは通常不十分です。ただし、大規模な大気運動は本質的に準静的です。風と質量フィールドは互いに調整され、バランスが取れています (例: 勾配バランス、地衡バランス)。したがって、他の仮定を行って閉包を形成し、問題の流れの完全な構造を推測することができます。^[2]${\textstyle \zeta _{a}}$${\textstyle \theta }$${\textstyle \rho }$

（１）ある一定の形式のバランス条件を導入する。これらの条件は物理的に実現可能で、静的不安定性などの不安定性がなく安定していなければならない。また、運動の空間および時間スケールは、想定されるバランスと互換性がなければならない。

（２）温度分布、温位分布、地温分布などの特定の基準状態を指定する。

（３）適切な境界条件を主張し、PVフィールドを全体的に反転する。

第一および第二の仮定は、準地衡風のPVの導出において明示的に表現される。一次地衡風バランスがバランス条件として使用される。非地衡風、温位の摂動、地衡高度の摂動などの二次項は、一貫した大きさ、すなわちロスビー数のオーダーでなければならない。基準状態は、帯状平均温位と地衡高度である。第三の仮定は、二次元の渦度反転の場合でも明らかである。なぜなら、二次楕円演算子である式(21)のラプラス演算子を反転するには、境界条件の知識が必要であるからである。

例えば、式(20)において、可逆性は、 が分かっていれば、ラプラスのような演算子を反転してジオポテンシャルの高さ を得られることを意味します。は、準地衡風仮定の下ではQG流関数にも比例します。 地衡風場は から容易に推定できます。 最後に、温度場は、静水力方程式(17)に 代入することで与えられます。${\textstyle q}$${\textstyle \Phi }$${\textstyle \Phi }$${\textstyle \Psi }$${\textstyle \Psi }$${\textstyle \theta }$${\textstyle \Phi }$

• 渦度
• 循環（流体力学）

• AMS 用語集のエントリ
• マイケル・E・マッキンタイアによる潜在渦度に関する百科事典記事