分離可能な拡張機能

代数学の一分野である体論において、代数体拡大は、任意の に対して、F上の の極小多項式が可分多項式である（つまり、その形式的導関数が零多項式ではない、あるいは同値であり、どの拡大体にも重根を持たない）とき、可分拡大と呼ばれる。 ^[1] Eが必ずしもF上で代数的でない 場合に適用される、より一般的な定義もある。可分でない拡大は不可分であると言われる。 ${\displaystyle E/F}$${\displaystyle \alpha \in E}$${\displaystyle \alpha}$

特性ゼロの体のすべての代数的拡大は可分であり、有限体のすべての代数的拡大は可分である。^[2] したがって、数学で考慮されるほとんどの拡大は可分である。それにもかかわらず、不可分拡大の存在は、特性ゼロで証明された多くの定理を非ゼロ特性に拡大する際の主な障害であるため、可分性の概念は重要である。たとえば、ガロア理論の基本定理は正規拡大に関する定理であり、これは、拡大も可分であると仮定した場合にのみ、非ゼロ特性で真である。^[3]

反対の概念である純粋に不可分な拡大も自然に生じる。これは、すべての代数的拡大が、可分拡大の純粋に不可分な拡大として一意に分解できるためである。非ゼロ特性pの体の代数的拡大が純粋に不可分な拡大であるための必要条件は、すべての に対して、 F上の の最小多項式が可分多項式ではないこと、または同等に、 Eのすべての元xに対して、 となる正の整数kが存在することである。^[4]${\displaystyle E/F}$${\displaystyle \alpha \in E\setminus F}$${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle x^{p^{k}}\in F}$

（純粋に）分離不可能な拡大の最も単純で非自明な例は、有限体の係数を持つ不定xの有理関数の体 です。元 には、のように、およびp倍の多重根を持つ最小多項式 があります。これは、のように、p次数の単純な代数拡大ですが、ガロア群が自明であるため、通常の拡大ではありません。 ${\displaystyle E=\mathbb {F} _{p}(x)\supseteq F=\mathbb {F} _{p}(x^{p})}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /(p)}$${\displaystyle x\in E}$${\displaystyle f(X)=X^{p}-x^{p}\in F[X]}$${\displaystyle f'(X)=0}$${\displaystyle f(X)=(X-x)^{p}\in E[X]}$${\displaystyle E=F[x]}$ ${\displaystyle {\text{Gal}}(E/F)}$

ある体Fに係数を持つ任意の多項式f は、ある拡大体にdeg f根を持つ場合、異なる根を持つ、または平方根を持たないと言われます。たとえば、多項式g ( X ) = X ² − 1 は、複素平面に正確にdeg  g = 2根、つまり1と−1 を持つため、異なる根を持ちます。一方、非定数多項式の平方である多項式h ( X ) = ( X − 2) ^{2 は}、次数が 2 で根が 2だけなので、異なる根を持ちません。 ${\displaystyle E\supseteq F}$

すべての多項式は、その係数の体の代数閉包上の線形因子に因数分解できます。したがって、多項式が正の次数の多項式の平方で割り切れる場合にのみ、多項式は明確な根を持ちません。これは、多項式とその導関数の最大公約数が定数でない場合にのみ当てはまります。したがって、多項式が平方フリーであるかどうかをテストするために、明示的に体拡張を考慮したり、根を計算したりする必要はありません。

この文脈では、既約多項式の場合には注意が必要である。演繹的には、既約多項式が平方で割り切れることは不可能であるように思われるかもしれない。既約多項式 は、それ自身以外に定数でない約数を持たないからである。しかし、既約性は周囲の体に依存し、多項式はF上で既約であり、Fの何らかの拡大上で既約である可能性がある。同様に、平方で割り切れるかどうかは周囲の体に依存する。F上の既約多項式f が何らかの拡大体上で平方で割り切れる場合、(上記の議論により) fとその導関数f ′の最大公約数は定数ではない。f ′の係数はfの係数と同じ体に属し、2つの多項式の最大公約数は周囲の体に依存しないことに注意する必要がある。そのため、fとf ′の最大公約数はFに係数を持つ。f はFで既約なので、この最大公約数は必然的にf自身である。f ′の次数はfの次数より厳密に小さいので、 fの導関数はゼロとなり、これは体の特性が素数pであることを意味し、f は次のように書くことができる。

${\displaystyle f(x)=\sum _{i=0}^{k}a_{i}x^{pi}.}$

このような形式導関数が 0 である多項式は、分離不可能であると言われます。分離不可能でない多項式は、分離可能であると言われます。分離可能拡張は、分離可能元、つまり最小多項式が分離可能である元によって生成される拡張です。

F [ X ]の既約多項式 fが分離可能であるのは、 Fの任意の拡大において異なる根を持つ場合（つまり、Fの代数閉包上の異なる線型因子に分解できる場合）のみです。^[5] F [ X ]のf を既約多項式とし、f​​ ' をその形式導関数と します。すると、以下は既約多項式f が分離可能であるための同値な条件です。

• EがFの拡大であり、その中でfが線型因子の積である場合、これらの因子の2乗はE [ X ]でfを割り切ることはできない（つまり、fはE上で平方自由である）。^[6]
• Fの拡大Eが存在し、fはEにおいてdeg( f )個の異なる根を持つ。^[6]
• 定数1はfとf 'の多項式最大公約数である。^[7]
• fの形式微分f 'は零多項式ではない。^[8]
• Fの特性が ゼロであるか、特性がpであり、f が次の形式ではないかのいずれかである。${\displaystyle \textstyle \sum _{i=0}^{k}a_{i}X^{pi}.}$

正の次数多項式の形式導関数は、体が素特性を持つ場合にのみゼロになるので、既約多項式が分離不可能であるためには、その係数が素特性の体になければなりません。より一般的には、F [ X ]の既約（非ゼロ）多項式f が分離不可能なのは、Fの特性が（非ゼロ）素数pであり、F [ X ]の何らかの既約多項式gに対してf ( X )= g ( X ^p ) である場合のみです。^[9]この特性を繰り返し適用すると、実際には、非負整数nとF [ X ]の何らかの分離可能な既約多項式gに対して（Fは素特性p を持つと仮定）が成り立ちます。^[10]${\displaystyle f(X)=g(X^{p^{n}})}$

Fのフロベニウス自己準同型が 射影的でない場合、 Fの元のp乗ではない元が存在する。この場合、多項式は既約かつ分離不可能である。逆に、 F [ X ]に分離不可能な既約（非ゼロ）多項式が存在する場合、Fのフロベニウス自己準同型は自己同型にはなり得ない。そうでなければ、ある に対してとなり、多項式f は^[11]のように因数分解されるからである。${\displaystyle x\mapsto x^{p}}$${\displaystyle a\in F}$${\displaystyle X^{p}-a}$${\displaystyle \textstyle f(X)=\sum a_{i}X^{ip}}$${\displaystyle a_{i}=b_{i}^{p}}$${\displaystyle b_{i}}$${\displaystyle \textstyle \sum a_{i}X^{ip}=\left(\sum b_{i}X^{i}\right)^{p}.}$

K が素特性pの有限体で、X が不定体である場合、 K上の有理関数体K ( X ) は必然的に不完全であり、多項式f ( Y ) = Y ^p − X は分離不可能である（ Yにおける形式的導関数は 0 である）。^[1]より一般に、Fが（非ゼロの）素特性を持つ任意の体で、そのフロベニウス自己準同型が自己同型でない場合、F は分離不可能な代数拡大を持つ。^[12]

体F が完全体となるのは、すべての既約多項式が可分である場合に限ります。したがって、Fが完全体となるのは、 F が特性 0 を持つか、またはFが (非ゼロの) 素特性pを持ち、Fのフロベニウス自己準同型が自己同型である場合に限ります。これにはすべての有限体が含まれます。

を体の拡大とします。要素がF上で分離可能であるとは、それがF上で代数的であり、その最小多項式が分離可能であることを意味します (要素の最小多項式は必然的に既約です)。 ${\displaystyle E\supseteq F}$${\displaystyle \alpha \in E}$

がF上で分離可能である場合、、およびはF上で分離可能です。 ${\displaystyle \alpha ,\beta \in E}$${\displaystyle \alpha +\beta }$${\displaystyle \alpha \beta }$${\displaystyle 1/\alpha }$

したがって、 E内の全ての要素がF上で可分な集合はEの部分体を形成し、これをEにおけるFの可分閉包と呼ぶ。^[13]

Fの代数的閉包におけるFの分離閉包は、単にFの分離閉包と呼ばれます。代数的閉包と同様に、同型を除いて一意ですが、一般にこの同型は一意ではありません。

E がEにおけるFの分離閉包である場合、体拡大は分離可能です。これは、 E が分離可能な要素によってF上に生成される場合にのみ当てはまります。 ${\displaystyle E\supseteq F}$

が体の拡大であるとき、E がF上可分であるための必要十分条件は、 E がL上可分であり、かつLがF上可分である場合である。^[14]${\displaystyle E\supseteq L\supseteq F}$

が有限拡大（つまり、Eが有限次元のFベクトル空間）である場合、以下は同値です。 ${\displaystyle E\supseteq F}$

1. E はF上で分離可能である。
2. ${\displaystyle E=F(a_{1},\ldots ,a_{r})}$ここで、 はEの分離可能な要素です。${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{r}}$
3. ${\displaystyle E=F(a)}$ここで、aはEの分離可能な要素です。
4. K がFの代数閉包である場合、F を固定するEのKへの体準同型が正確に存在します。${\displaystyle [E:F]}$
5. Eを含むF の任意の正規拡大Kに対して、 F を固定するEからKへの体準同型がちょうど存在します。${\displaystyle [E:F]}$

3. と 1. の同値性は、原始元定理または 原始元に関するアルティンの定理として知られています。特性 4. と 5. は、ガロア理論、特にガロア理論の基本定理の基礎となっています。

を特性pの体の代数的拡大とする。EにおけるFの可分閉包は、すべての元に対して、となる正の整数k が存在し、したがってE はSの 純粋に不可分な拡大である。したがって、 S はF上で可分であり、Eが純粋に不可分である唯一の中間体である。^[15]${\displaystyle E\supseteq F}$${\displaystyle S=\{\alpha \in E\mid \alpha {\text{ is separable over }}F\}.}$${\displaystyle x\in E\setminus S}$${\displaystyle x^{p^{k}}\in S,}$

が有限拡大である場合、その次数[ E  : F ] は次数[ S  : F ]と 次数[ E  : S ]の積である。前者はしばしば[ E  : F ] _sepと表記され、[ E  : F ]の 分離部分、または${\displaystyle E\supseteq F}$ E / Fの分離可能な度合い。後者は、度の不可分な部分分離不可能な次数。^[16]特性p >0ではpのべき乗である。^[17]

一方、任意の代数拡大は、F上で純粋に分離不可能で、Eが分離可能な中間拡大Kを持たない可能性がある。しかし、たとえば が有限次正規拡大である場合は、そのような中間拡大が存在する可能性がある（この場合、K はF上のEのガロア群の固定体である）。そのような中間拡大が存在し、[ E  : F ] が有限であると仮定すると、 [ S  : F ] = [ E  : K ]となり、ここでS はEにおける Fの分離閉包である。^[18]この等式の既知の証明は、 が純粋に分離不可能な拡大であり、f がF [ X ]内の分離可能既約多項式である場合、f はK [ X ]内で既約のままであるという事実を使用している^[19]。この等式は、[ E  : F ]が有限で、UがFとEの中間体である場合、[ E  : F ] _sep = [ E  : U ] _sep ⋅[ U  : F ] _sepとなることを意味している。^[20]${\displaystyle E\supseteq F}$${\displaystyle E\supseteq F}$${\displaystyle K\supseteq F}$

体Fの分離閉包F ^{sep は、} Fの代数閉包におけるFの分離閉包です。これはFの最大ガロア拡大です。定義により、F は、その分離閉包と代数閉包が一致する場合のみ 完全です。

超越拡大を扱う場合、分離可能性の問題が発生することがあります。これは、代数多様体の関数体が基底体上で多様体の次元に等しい超越次数を持つ、素特性体上の代数幾何学の場合に典型的に当てはまります。

超越的拡大の分離可能性を定義するには、すべての体拡大が純粋超越的拡大の代数的拡大であるという事実を使用するのが自然です。これにより、次の定義が導かれます。

拡大の分離超越基底とは、EがF ( T )の分離可能な代数拡大となるようなEの超越基底Tのことである。有限生成体拡大は、分離超越基底を持つ場合にのみ分離可能である。有限生成でない拡大は、すべての有限生成部分拡大が分離超越基底を持つ場合に分離可能と呼ばれる。^[21]${\displaystyle E\supseteq F}$

を特性指数pの体拡大とします（つまり、特性 0 ではp = 1であり、それ以外の場合はpが特性です）。次の特性は同等です。 ${\displaystyle E\supseteq F}$

• E はFの分離可能な拡張であり、
• ${\displaystyle E^{p}}$とFは、​${\displaystyle F^{p},}$
• ${\displaystyle F^{1/p}\otimes _{F}E}$が削減され、
• ${\displaystyle L\otimes _{F}E}$はEのあらゆる体拡大Lに対して縮小され、

ここで、 は体 のテンソル積を表し、はFの元のp乗の体（任意の体Fに対して）、 はFにそのすべての元のp乗根を付加することによって得られる体です（詳細については、分離型代数を参照してください）。 ${\displaystyle \otimes _{F}}$${\displaystyle F^{p}}$${\displaystyle F^{1/p}}$

分離可能性は微分法の助けを借りて研究することができる。Eを体Fの有限生成体拡大とする。EのF線型微分法のEベクトル空間を表すと、 ${\displaystyle \operatorname {Der} _{F}(E,E)}$

${\displaystyle \dim _{E}\operatorname {Der} _{F}(E,E)\geq \operatorname {tr.deg} _{F}E,}$

そして、この等式は、 EがF上で分離可能である場合にのみ成立します(ここで、「tr.deg」は超越度を表します)。

特に、が代数的拡大であるならば、が分離可能であるときのみである。^[22]${\displaystyle E/F}$${\displaystyle \operatorname {Der} _{F}(E,E)=0}$${\displaystyle E/F}$

を およびの基底とします。このとき、はに対して代数的に可分であるためには、行列が可逆である必要があります。特に、 のとき、この行列が可逆であるためには、が分離超越基底である 場合に限ります。${\displaystyle D_{1},\ldots ,D_{m}}$${\displaystyle \operatorname {Der} _{F}(E,E)}$${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{m}\in E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F(a_{1},\ldots ,a_{m})}$${\displaystyle D_{i}(a_{j})}$${\displaystyle m=\operatorname {tr.deg} _{F}E}$${\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{m}\}}$

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