特殊線型群

数学において、可換環R上のn次特殊線型群 SL( n , R )は、行列式が 1であるn × n行列の集合であり、群演算は通常の行列乗算と行列逆変換である。これは、行列式の核​​によって与えられる一般線型群の正規部分群である。

${\displaystyle \det \colon \operatorname {GL} (n,R)\to R^{\times }.}$

ここで、R ^{× は}Rの乗法群です(つまり、Rが体の 場合は 0 を除くR )。

これらの要素は、一般線型群の代数的部分多様体を形成するという点で「特別」であり、多項式方程式を満たします (要素の行列式が多項式であるため)。

R がq位の有限体である場合、 SL( n , q )という表記が使用されることがあります。

特殊線型群SL( n , R )は^、Rnの体積と方向を保存する線型変換の群として特徴付けることができます。これは、行列式が体積と方向の変化を測定するものであるという解釈に対応します。

FがRまたはCのとき、SL( n , F )はGL( n , F )の次元n ² − 1のリー部分群です。 SL( n , F )のリー代数は、トレースが消えるF上のすべてのn × n行列で構成されます。リー括弧は交換子によって与えられます。 ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,F)}$

任意の可逆行列は、極分解に従って、ユニタリ行列と正の固有値を持つエルミート行列の積として一意に表すことができます。ユニタリ行列の行列式は単位円上にあり、エルミート行列の行列式は実数で正です。特殊線型群の行列の場合、これら 2 つの行列式の積は 1 でなければならないため、それぞれの行列式は 1 でなければなりません。したがって、特殊線型行列は、行列式 1 を持つ特殊ユニタリ行列(または実数の場合は特殊直交行列) と正定値エルミート行列 (または実数の場合は 対称行列) の積として表すことができます。

したがって、群SL( n , C )の位相は、SU ( n )の位相と、正の固有値を持つ単位行列式のエルミート行列の群の位相の積です。 単位行列式で正の固有値を持つエルミート行列は、トレースレスエルミート行列の指数関数として一意に表現できるため、この位相は( n ² − 1)次元ユークリッド空間の位相です。^[1] SU( n ) は単連結であるため、^[2] SL( n , C )も、 n が2 以上であれ ばすべて単連結であると結論付けられます。

SL( n , R )の位相は、 SO ( n )の位相と、正の固有値と単位行列式を持つ対称行列の群の位相の積である。後者の行列は対称なトレースレス行列の指数関数として一意に表現できるため、この後者の位相は( n + 2)( n − 1)/2次元ユークリッド空間の位相である。したがって、群SL( n , R )はSO( n ) と同じ基本群、つまりn = 2の場合はZ、n > 2の場合はZ _{2 を}持つ。^[3]特にこれは、 SL( n , C )とは異なり、nが 1 より大きい場合、 SL( n , R )は単連結ではないことを意味する。

関連する 2 つのサブグループは、SL と一致する場合もあれば、SL と偶然に混同される場合もありますが、 GL の交換子サブグループとトランスベクションによって生成されるグループです。これらは両方とも SL のサブグループですが (トランスベクションは行列式 1 を持ち、det はアーベル群への写像であるため、[GL, GL] ≤ SL)、一般には SL と一致しません。

トランスベクションによって生成される群は、E( n , A )（基本行列の場合）またはTV( n , A )と表記されます。第 2スタインバーグ関係により、n ≥ 3の場合、トランスベクションは交換子であるため、n ≥ 3 の場合、E( n , A ) ≤ [GL( n , A ), GL( n , A )]となります。

n = 2の場合、トランスベクションは（2 × 2行列の）交換子である必要はありません。たとえば、Aが2つの元の体であるF ₂の場合、

${\displaystyle \operatorname {Alt} (3)\cong [\operatorname {GL} (2,\mathbf {F} _{2}),\operatorname {GL} (2,\mathbf {F} _{2})]<\operatorname {E} (2,\mathbf {F} _{2})=\operatorname {SL} (2,\mathbf {F} _{2})=\operatorname {GL} (2,\mathbf {F} _{2})\cong \operatorname {Sym} (3),}$

ここで、Alt(3)とSym(3)はそれぞれ3文字の 交代対称群を表す。

しかし、A が2 つ以上の要素を持つ体である場合、E(2, A ) = [GL(2, A ), GL(2, A )]となり、A が3 つ以上の要素を持つ体である場合、E(2, A ) = [SL(2, A ), SL(2, A )]となる。^{[疑わしい–議論する]}

いくつかの状況では、これらは一致する: 体またはユークリッド領域上の特殊線型群はトランスベクションによって生成され、デデキント領域上の安定な特殊線型群はトランスベクションによって生成される。より一般的な環の場合、安定差は特殊ホワイトヘッド群SK ₁ ( A ) := SL( A )/E ( A )によって測定される。ここで、SL( A ) と E( A ) は特殊線型群と基本行列の 安定群である。

SL がトランスベクションによって生成される環（体やユークリッド領域など）上で作業する場合、いくつかの関係を持つトランスベクションを使用して SL の表現を与えることができます。トランスベクションはスタインバーグ関係を満たしますが、これだけでは十分ではありません。結果として得られる群はスタインバーグ群であり、これは特殊線型群ではなく、GL の交換子部分群の 普遍中心拡大です。

n ≥ 3 の場合のSL( n , Z )に対する十分な関係式は、スタインバーグ関係式のうち 2 つと、3 つ目の関係式 (Conder, Robertson & Williams 1992, p. 19) で与えられます。T ij  := e _{ij (1)を}、対角とij の位置に 1 が、その他の位置に 0 がある基本行列 ( i ≠ j ) とします。

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[T_{ij},T_{jk}\right]&=T_{ik}&&{\text{for }}i\neq k\\[4pt]\left[T_{ij},T_{k\ell }\right]&=\mathbf {1} &&{\text{for }}i\neq \ell ,j\neq k\\[4pt]\left(T_{12}T_{21}^{-1}T_{12}\right)^{4}&=\mathbf {1} \end{aligned}}}$

SL( n , Z )、n≥3に対する関係の完全な集合である。

特性が2 以外の場合、行列式が±1である行列の集合は、SL を指数 2 のサブグループ (必ず正規) として GL の別のサブグループを形成します。特性が 2 の場合、これは SL と同じです。これは、グループの短い完全列を形成します。

${\displaystyle 1\to \operatorname {SL} (n,F)\to \operatorname {SL} ^{\pm }(n,F)\to \{\pm 1\}\to 1.}$

この数列は、行列式が−1である任意の行列、たとえば対角行列を取ることによって分割されます。 が奇数の場合、負の単位行列はSL ^± ( n、F )にはありますがSL( n、F )にはないので、グループは内部直積として分割されます。 ただし、が偶数でがすでにSL( n、F )にある場合、SL ^{± は}分割されず、一般に は非自明なグループ拡張です。 ${\displaystyle (-1,1,\dots ,1).}$${\displaystyle n=2k+1}$${\displaystyle -I}$ ${\displaystyle \operatorname {SL} ^{\pm }(2k+1,F)\cong \operatorname {SL} (2k+1,F)\times \{\pm I\}}$${\displaystyle n=2k}$${\displaystyle -I}$

実数上では、SL ^± ( n , R )には、SL( n , R )と別の成分に対応する2 つの連結成分があり、これらは点 (行列式が−1である行列) の選択に応じて同一視と同型です。奇数次元ではこれらは によって自然に同一視されますが、偶数次元では自然な同一視は 1 つもありません。 ${\displaystyle -I}$

群GL( n , F ) はその行列式上で分裂します ( F ^× ≅ GL(1, F ) → GL( n , F )をF ^×からGL( n , F )への単射として使用します (半直積を参照) )。したがって、GL( n , F ) はSL( n , F )のF ^×による半直積として表すことができます。

GL( n , F ) = SL( n , F ) ⋊ F ^× .

• SL(2, R )
• SL(2, C ) の
• モジュラー群(PSL(2, Z ))
• 射影線型群
• 等角地図
• 古典リー群の表現

• コンダー、マーストン; ロバートソン、エドマンド; ウィリアムズ、ピーター (1992)、「整数環上の 3 次元特殊線型群の表現」、アメリカ数学会紀要、115 (1)、アメリカ数学会: 19– 26、doi :10.2307/2159559、JSTOR  2159559、MR  1079696
• ホール、ブライアン C. (2015)、リー群、リー代数、表現: 初等入門、Graduate Texts in Mathematics、第 222 巻 (第 2 版)、Springer