ユニタリ行列

線型代数学において、逆複素 正方 行列 Uがユニタリ行列であるとは、その逆行列 U ^{−1 が}その共役転置 U ^*に等しい場合、つまり

$${\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=I,}$$

ここで、I は単位行列です。

物理学、特に量子力学では、共役転置は行列のエルミート随伴行列と呼ばれ、短剣（⁠ ⁠${\displaystyle \dagger}$）で表されます。したがって、上記の式は次のように書かれます。

$${\displaystyle U^{\ダガー }U=UU^{\ダガー }=I.}$$

複素行列U は、ユニタリ行列であり、その行列式が1に等しい場合、特殊ユニタリ行列と呼ばれます。

実数の場合、ユニタリ行列の類似物は直交行列です。ユニタリ行列はノルム、つまり確率振幅を保存するため、量子力学において非常に重要です。

有限サイズの任意のユニタリ行列Uに対して、次の式が成り立ちます。

• 2つの複素ベクトルxとyが与えられた場合、 Uによる乗算はそれらの内積を保存します。つまり、⟨ U x、U y ⟩ = ⟨ x、y ⟩です。
• Uは正規分布です（）。${\displaystyle U^{*}U=UU^{*}}$
• U は対角化可能である。つまり、スペクトル定理の結果として、 U は対角行列にユニタリ相似である。したがって、U は、 Vがユニタリで、Dが対角かつユニタリである形式の分解を持つ。${\displaystyle U=VDV^{*},}$
• ${\displaystyle \left|\det(U)\right|=1}$つまり、複素平面の単位円上になります。${\displaystyle \det(U)}$
• その固有空間は直交します。
• U はU = e ^iHと表記されます。ここで、e は行列指数、iは虚数単位、Hはエルミート行列です。

任意の非負整数 nに対して、行列の乗算を伴うすべてのn  ×  nユニタリ行列の集合は、ユニタリ群U( n )と呼ばれる群を形成します。

単位ユークリッドノルムを持つすべての正方行列は、2つの単位行列の平均である。^[1]

Uが正方複素行列である場合、以下の条件は同等である： ^[2]

1. ${\displaystyle U}$単一です。
2. ${\displaystyle U^{*}}$ 単一です。
3. ${\displaystyle U}$は で逆変換可能です。${\displaystyle U^{-1}=U^{*}}$
4. の列は、通常の内積に関しての正規直交基底を形成します。つまり、 です。${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle U^{*}U=I}$
5. の行は、通常の内積に関しての正規直交基底を形成します。つまり、 です。${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle UU^{*}=I}$
6. ${\displaystyle U}$は通常のノルムに関して等長変換です。つまり、すべての に対して、 となります。${\displaystyle \|Ux\|_{2}=\|x\|_{2}}$${\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}}$${\textstyle \|x\|_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}}$
7. ${\displaystyle U}$は、固有値が単位円上にある正規行列です（つまり、 の固有ベクトルによって形成される正規直交基底があります）。${\displaystyle U}$

2×2ユニタリ行列 の一般的な表現は

$${\displaystyle U={\begin{bmatrix}a&b\\-e^{i\varphi }b^{*}&e^{i\varphi }a^{*}\\\end{bmatrix}},\qquad \left|a\right|^{2}+\left|b\right|^{2}=1\ ,}$$

これは4つの実数パラメータ（ aの位相、 bの位相、 aとbの相対的な大きさ、角度φ）に依存する。この形式は、このような行列の 行列式が$${\displaystyle \det(U)=e^{i\varphi }~.}$$

これらの要素の部分群は特殊ユニタリ群SU(2)と呼ばれます。 ${\displaystyle \U\}$${\displaystyle \\det(U)=1\}$

いくつかの代替形式の中で、行列U は次の形式で記述できます。 $${\displaystyle \ U=e^{i\varphi /2}{\begin{bmatrix}e^{i\alpha }\cos \theta &e^{i\beta }\sin \theta \\-e^{- i\beta }\sin \theta &e^{-i\alpha }\cos \theta \\\end{bmatrix}}\ ,}$$

ここで、およびは上記であり、角度は任意の値を取ることができます。 ${\displaystyle \ e^{i\alpha }\cos \theta =a\ }$${\displaystyle \ e^{i\beta }\sin \theta =b\ ,}$${\displaystyle \ \varphi ,\alpha ,\beta ,\theta \ }$

とを導入すると、次の因数分解が得られます。 ${\displaystyle \ \alpha =\psi +\delta \ }$${\displaystyle \ \beta =\psi -\delta \ ,}$

$${\displaystyle U=e^{i\varphi /2}{\begin{bmatrix}e^{i\psi }&0\\0&e^{-i\psi }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\delta }&0\\0&e^{-i\delta }\end{bmatrix}}~.}$$

この表現は、角度θの2 × 2ユニタリ行列と2 × 2 直交行列の関係を強調しています。

もう一つの因数分解は^[3]

$${\displaystyle U={\begin{bmatrix}\cos \rho &-\sin \rho \\\sin \rho &\;\cos \rho \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\xi }&0\\0&e^{i\zeta }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\;\cos \sigma &\sin \sigma \\-\sin \sigma &\cos \sigma \\\end{bmatrix}}~.}$$

基本行列におけるユニタリ行列の因数分解は他にも数多く可能である。^{[4] [5] [6] [7] [8] [9]}

• Weisstein、Eric W. 「ユニタリ行列」。MathWorld。Todd Rowland。
• イワノバ、OA (2001) [1994]、「ユニタリ行列」、数学百科事典、EMSプレス
• 「ユニタリ行列の固有値が係数 1 を持つことを示します」 。Stack Exchange。2016年 3 月 28 日。