特殊な直角三角形

特殊直角三角形とは、三角形の計算を容易にする規則的な特徴を持つ直角三角形、または簡単な公式が存在する直角三角形です。たとえば、直角三角形の角度は、45°–45°–90° などの単純な関係を形成する場合があります。これは、「角度ベース」の直角三角形と呼ばれます。「辺ベース」の直角三角形は、辺の長さが 3 : 4 : 5 などの整数比、または黄金比などの他の特殊数比を形成する三角形です。これらの特殊直角三角形の角度または辺の比の関係を知っておくと、より高度な方法に頼ることなく、幾何学の問題でさまざまな長さをすばやく計算できます。

角度に基づく特殊直角三角形は、三角形を構成する角度の関係によって指定されます。これらの三角形の角度は、大きい方の（直角の）角度、つまり90度または⁠π/2⁠ ラジアンは、他の 2 つの角度の合計に等しくなります。

辺の長さは、通常、単位円またはその他の幾何学的手法に基づいて推定されます。このアプローチを使用すると、30°、45°、および 60° の角度の三角関数の値を迅速に再現できます。

一般的な三角関数の計算には、以下のように特殊な三角形が使用されます。

45°–45°–90° 三角形、30°–60°–90° 三角形、および正三角形/正角三角形 (60°–60°–60°) は、平面上の3 つのメビウスの三角形であり、辺の反射によって平面をモザイク状に分割することを意味します。三角形グループを参照してください。

平面幾何学では、正方形を対角線に沿って分割すると、それぞれが直角（90°、⁠π/2⁠ラジアン）と、それぞれが直角の半分（45°、または⁠）を測定する他の2つの合同な角度。π/4⁠ラジアン）。この三角形の辺の比は 1 : 1 :  √ 2であり、これはピタゴラスの定理から直ちに導かれます。

すべての直角三角形の中で、45°-45°-90°度の三角形は、斜辺と辺の合計の比が最も小さく、つまり、 ⁠√2​/2⁠ . ^{[1] : p. 282, p. 358}そして、斜辺からの高さと脚の合計の比が最大となる。すなわち、 ⁠√2​/4⁠ . ^{[1] : p.282}

これらの角度を持つ三角形は、ユークリッド幾何学において二等辺三角形でもある唯一の直角三角形です。しかし、球面幾何学と双曲幾何学では、直角二等辺三角形には無限の異なる形状が存在します。

これは、3つの角度の比が1 : 2 : 3で、それぞれ30°（⁠π/6⁠ ), 60° ( ⁠π/3⁠）、90°（⁠π/2⁠）。辺の比率は 1 :  √ 3  : 2 です。

この事実の証明は三角法を使えば明らかです。幾何学的な証明は次のとおりです。

辺の長さが 2 で、線分BCの中点が点Dである正三角形ABC を描きます。A からDに高度線を引きます。すると、ABD は斜辺の長さが 2、底辺BDの長さが 1である 30°–60°–90° の三角形になります。

残りの辺AD の長さが√3であるという事実は、ピタゴラスの定理から直ちに導かれます。

30°–60°–90°の三角形は、角度が等差数列になっている唯一の直角三角形です。この事実の証明は簡単で、α、α + δ、α + 2 δが等差数列の角度である場合、角度の合計は3 α + 3 δ = 180° であるという事実から導かれます。3 で割ると、角度α + δは 60° になるはずです。直角は 90° なので、残りの角度は 30° になります。

ピタゴラス三角錐と呼ばれる、辺の長さが整数である直角三角形は、角度がすべて有理数度になることはない。^{[2] （これは}ニーヴンの定理 に従う。）ピタゴラス三角錐は覚えやすく、辺の倍数が同じ関係になるという点で非常に便利である。ユークリッドのピタゴラス三角錐生成の公式を用いると、辺の比は次のようになる。

m ² − n ²  : 2 mn  : m ² + n ²

ここで、mとn は、 m > nとなる任意の正の整数です。

ピタゴラスの三つ組には、次の比率の辺を持つものなど、よく知られているものがいくつかあります。

3 : 4 : 5 の三角形は、等差数列の辺を持つ唯一の直角三角形です。ピタゴラス数列に基づく三角形はヘロン数列であり、つまり、面積も辺も 整数です。

古代エジプトで 3 : 4 : 5 の三角形が使われた可能性、そのような三角形を描くために結び目のついたロープが使われたとされる可能性、そして当時ピタゴラスの定理が知られていたかどうかという問題は、これまで盛んに議論されてきました。^[3]これは、 1882 年に歴史家モーリッツ・カンターによって初めて推測されました。 ^[3]古代エジプトでは直角が正確に描かれていたこと、測量士が測定にロープを使用していたことが知られています。^[3]プルタルコスは 『イシスとオシリス』 （紀元後 100 年頃）の中で、エジプト人が 3 : 4 : 5 の三角形を賞賛していたと記録しています。 ^[3] また、中王国時代のエジプト（紀元前 1700 年以前）のベルリン・パピルス 6619には、「100 の正方形の面積は、2 つの小さな正方形の面積に等しい。1 つの辺は⁠1/2⁠ + ⁠1/4⁠ 他方の辺と同じである。」^[4]数学史家ロジャー・L・クックは、「ピタゴラスの定理を知らずにこのような条件に興味を持つ人がいるとは考えにくい」と述べている。^[3] これに対してクックは、紀元前300年以前のエジプトの文献には三角形の辺の長さを求めるためにこの定理を使用した記述はなく、直角を作るにはもっと簡単な方法があると指摘している。クックはカントルの推測は不確かなままであると結論付けている。彼は古代エジプト人はおそらくピタゴラスの定理を知っていただろうが、「直角を作るためにそれを使ったという証拠はない」と推測している。^[3]

以下は、斜辺以外の両方の辺が 256 未満である、最小形式で表現されたすべてのピタゴラスの三重比です (上記のリストの最小形式での 5 つの最小値を超えるもの)。

二等辺直角三角形は、斜辺と他の辺の比が√2であり、√2を2つの整数の比として表すことができないため、整数値を持つ辺を持つことはできません。しかし、ほぼ二等辺直角三角形は無限に存在します。これらは、斜辺以外の辺の長さが1だけ異なる整数辺を持つ直角三角形です。^{[5] [6]}このようなほぼ二等辺直角三角形は再帰的に得ることができます。

a ₀ = 1、b ₀ = 2

ａ_n＝ ２ｂ_{n −１}＋ａ_{n −１}

bn = 2 an + bn _{−1である。}

n_は斜辺の長さで、n = 1, 2, 3, .... 同様に、

${\displaystyle ({\tfrac {x-1}{2}})^{2}+({\tfrac {x+1}{2}})^{2}=y^{2}}$

ここで、{ x , y }はペル方程式 x ² − 2 y ² = −1の解であり、斜辺yはペル数 1、 2 、5、 12 、29、 70 、169、 408 、985 、 2378...（ OEISのシーケンスA000129 ）の奇数項です。結果として得られる最小のピタゴラス数列は次のとおりです。^[7]

あるいは、同じ三角形は平方三角数から導くこともできる。^[8]

ケプラーの三角形は、各辺が等比数列になっている直角三角形です。各辺が等比数列a、ar、ar ²で形成される場合、その公比rはr = √ φで与えられます。ここでφ は黄金比です。したがって、各辺の比率は1 : √ φ  : φです。したがって、ケプラーの三角形の形状は、各辺が等比数列になっているという要件によって一意に決定されます (スケール係数を除く)。

3-4-5三角形は、その辺が等差数列になっている唯一の直角三角形（スケーリングを除く）である。^[9]

を単位円に内接する正十角形の辺の長さとし、 は黄金比とする。 を単位円内の正六角形の辺の長さとし、 を単位円内の正五角形の辺の長さとする。するととなり、これら 3 つの長さは直角三角形の辺を形成する。^[10]同じ三角形が黄金長方形の半分を形成する。これは辺の長さが の正二十面体の中にも存在する。任意の頂点からその 5 つの近傍の平面までの最短線分の長さは であり、この線分の端点と の任意の近傍の端点は、辺が、 、 の直角三角形の頂点を形成する。^[11]$${\displaystyle a=2\sin {\frac {\pi }{10}}={\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}={\frac {1}{\varphi }}\approx 0.618}$$${\displaystyle \varphi }$$${\displaystyle b=2\sin {\frac {\pi }{6}}=1}$$$${\displaystyle c=2\sin {\frac {\pi }{5}}={\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}\approx 1.176}$$${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle V}$${\displaystyle a}$${\displaystyle V}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$

• いくつかの特殊な直角三角形を組み合わせた長方形
• 整数三角形
• テオドロスの螺旋

• 3 : 4 : 5 三角形
• 30–60–90 三角形
• 45–45–90 三角形 – インタラクティブアニメーション付き