アイル長方形

アイレス長方形は、 4つの直角三角形から構成される長方形で、幾何学の授業で15°と75°の三角関数の値を求めるためによく使用されます。 ^[1]トロントのキプリング・カレッジ・インスティテュートで 高校教師を務めていたダグラス・S・アイレスにちなんで名付けられました。^{[2] [3]}

30°–60°–90° の三角形の各辺の長さは 1、2、です。このような三角形 2 つを図に示す位置に配置すると、それらを囲む最小の長方形の幅と高さは になります。元の三角形の上隅を結ぶ線を引くと、2 つの三角形の間に、各辺の長さが 2、2、 である45°–45°–90° の三角形が作成されます (ピタゴラスの定理より) 。長方形の上部の残りのスペースは、鋭角が 15° と 75° で、各辺が、、 である直角三角形です。 ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$${\displaystyle 1+{\sqrt {3}}}$${\displaystyle {\sqrt {3}}}$${\displaystyle 2{\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {3}}-1}$${\displaystyle {\sqrt {3}}+1}$${\displaystyle 2{\sqrt {2}}}$

長方形の構築から、

${\displaystyle \sin 15^{\circ }=\cos 75^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}={\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}},}$

${\displaystyle \sin 75^{\circ }=\cos 15^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}+1}{2{\sqrt {2}}}}={\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}},}$

${\displaystyle \tan 15^{\circ }=\cot 75^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}-1}{{\sqrt {3}}+1}}={\frac {({\sqrt {3}}-1)^{2}}{3-1}}=2-{\sqrt {3}},}$

そして

${\displaystyle \tan 75^{\circ }=\cot 15^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}+1}{{\sqrt {3}}-1}}={\frac {({\sqrt {3}}+1)^{2}}{3-1}}=2+{\sqrt {3}}.}$

別の構築法（これもAillesによる）では、辺の長さが、、およびである30°–60°–90°の三角形を中央に配置します。その各辺は45°–45°–90°の三角形の斜辺で、1つの辺の長さは、もう1つの辺の長さはです。^{[4] [5]} 15°–75°–90°の三角形は上記と同じです。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {6}}}$${\displaystyle 2{\sqrt {2}}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

• 正確な三角関数の値