アルクインの配列

数学において、アルクイン数列はヨーク公アルクインにちなんで名付けられ、次の式のべき級数展開の係数の数列である: ^[1]

${\displaystyle {\frac {x^{3}}{(1-x^{2})(1-x^{3})(1-x^{4})}}=x^{3}+x^{5}+x^{6}+2x^{7}+x^{8}+3x^{9}+\cdots .}$

シーケンスは次の整数で始まります。

0、0、0、1、0、1、1、2、1、3、2、4、3、5、4、7、5、8、7、10、8、12、10、14、12、16、14、19、16、21 (OEISのシーケンスA005044 )

ゼロから数えてn番目の項、つまりべき級数の係数は、辺が整数で周囲が nである三角形の数です。^[1] これは、異なる整数の辺と周囲がn  + 6 である三角形の数でもあります。つまり、 1 ≤  a  <  b  <  c  <  a  +  b、a  +  b  +  c  =  n + 6 となる 3 つの組 ( a、  b、  c ) の数です 。 ${\displaystyle x^{n}}$

先頭の 3 つのゼロを削除すると、n 個の空の樽、n 個のワインが半分入った樽、n 個の満杯の樽を 3 人の人に分配し、各人が同じ数の樽と同量のワインを受け取る方法の数になります。これは、通常アルクインに帰せられるPropositiones ad Acuendos Juvenes (若者を研ぎ澄ますための問題) に出てくる問題 12 を一般化したものです。その問題は次のように表されます。

問題12: ある父親が亡くなり、3人の息子に30個のガラス瓶を相続させました。そのうち10個には油が満ちており、10個には半分入っており、10個は空でした。油と瓶を分けて、油とガラスの両方が3人の息子に均等に渡るようにしなさい。^[2]

ラテン語: " XII. quodam paterfamilias et tribus filius eius の命題: Quidam paterfamilias moriens dimisit haereditatem tribus filiis suis, XXX ampullas uitreas, quarum decem fuerunt plenae oleo. Aliae decem dimidiae. Tertiae decem uacuae. Diuidat, qui^最も重要な、オレウムとアンプラは、ユニークなエオラム・デ・トリバス・フィリス・オブエニアット・タム・デ・オレオ、「クアム・デ・オレオ」です。

「アルクインの数列」という用語は、D. オリヴァストロが1993年に出版した数学ゲームに関する本『古代のパズル: 過去10世紀の古典的な難問とその他の時代を超えた数学ゲーム』 (バンタム、ニューヨーク) に由来すると考えられる。^[4]

^{先頭の3つのゼロを削除した数列は、[5] [6]}のべき級数展開の係数の数列と同等である。

${\displaystyle {\frac {1}{(1-x^{2})(1-x^{3})(1-x^{4})}}=1+x^{2}+x^{3}+2x^{4}+x^{5}+3x^{6}+\cdots .}$

この配列は、一部の著者によってアルクイン配列とも呼ばれている。^[6]