線形光量子コンピューティング

線形光量子計算または線形光学量子計算（LOQC）、または光子量子計算（PQC）は、量子計算のパラダイムであり、（以下に説明する特定の条件下で）普遍的な量子計算を可能にします。LOQCは光子を情報キャリアとして使用し、主に線形光学素子、または光学機器（相反 ミラーと波長板を含む）を使用して量子情報を処理し、光子検出器と量子メモリを使用して量子情報を検出および保存します。^{[1] [2] [3]}

量子情報処理（QIP）と量子計算には他にも多くの実装があるが、量子計算と量子通信を同じフレームワークでリンクするため、光量子システムは有力な候補である。量子情報処理用の光学システムでは、特定のモードの光の単位、つまり光子を使用して量子ビットを表す。量子状態の重ね合わせは、光子を使用して簡単に表現、暗号化、送信、検出できる。さらに、光学システムの線形光学素子は、量子演算と量子ゲートを実現するための最も単純な構成要素である可能性がある。各線形光学素子は、有限数の量子ビットにユニタリ変換を同等に適用する。有限の線形光学素子のシステムは線形光学のネットワークを構築し、量子回路モデルに基づいて任意の量子回路図または量子ネットワークを実現できる。連続変数による量子計算も線形光学方式で可能である。^[4]

任意の量子計算を実装するための1 ビットおよび 2 ビットのゲートの普遍性が証明されています。 ^{[5] [6] [7] [8]}ユニタリ行列演算 ( )までは、ミラー、ビームスプリッター、位相シフターのみを使用して実現できます^{[9] （これは、}ボソンサンプリングとLOQC の計算複雑性分析の出発点でもあります）。これは、入力と出力を持つ各演算子は、線形光学要素を介して構築できることを指摘しています。 普遍性と複雑さの理由に基づいて、LOQC は通常、ミラー、ビームスプリッター、位相シフター、および位相シフトを備えたマッハツェンダー干渉計などのそれらの組み合わせのみを使用して、任意の量子演算子を実装します。 非決定論的スキームを使用する場合、この事実は、特定の量子ゲートまたは回路を実装するために必要な光学要素と時間ステップの数に関して、LOQC がリソース効率が悪くなる可能性があることも意味し、これが LOQC の主な欠点です。 ${\displaystyle N\times N}$${\displaystyle U(N)}$${\displaystyle U(N)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(N^{2})}$

線形光学素子（この場合はビームスプリッター、ミラー、位相シフター）を介した操作では、入力光の光子統計が保存されます。たとえば、コヒーレント（古典的）光入力はコヒーレント光出力を生成し、量子状態入力の重ね合わせは量子光状態出力を生成します。^[3]このため、線形光学素子と演算子の効果を分析するには、通常、単一光子源のケースを使用します。複数の光子の場合は、いくつかの統計変換を通じて推測できます。

光子を情報キャリアとして使用する場合の本質的な問題は、光子同士がほとんど相互作用しないことである。これは、非線形演算の実装が難しく、演算子の複雑さが増し、特定の計算機能を実現するために必要なリソースが増加する可能性があるため、LOQCのスケーラビリティの問題を引き起こす可能性がある。この問題を解決する1つの方法は、非線形デバイスを量子ネットワークに導入することです。たとえば、カー効果をLOQCに適用して、単一光子制御NOTやその他の演算を行うことができます。^{[10] [11]}

線形光ネットワークに非線形性を加えるだけで、効率的な量子計算を実現できると考えられていた。^[12]しかし、非線形光学効果を実装することは困難な作業である。2000年に、Knill、Laflamme、Milburnは、線形光学ツールのみを使用して汎用量子コンピュータを作成できることを証明した。^[2]彼らの研究は「KLMスキーム」または「KLMプロトコル」として知られるようになり、線形光学素子、単一光子源、光子検出器をリソースとして使用して、補助リソース、量子テレポーテーション、エラー訂正のみを含む量子計算スキームを構築します。これは、線形光学系を使用した効率的な量子計算の別の方法を使用し、線形光学素子のみを使用して非線形操作を促進します。^[3]

KLM方式の根本は、光検出器を用いた射影測定によって光子間の有効な相互作用を誘発するものであり、非決定論的量子計算の範疇に入る。これは、2つの補助光子と事後選択を用いた2つの量子ビット間の非線形符号シフトに基づいている。^[13]また、非決定論的に準備されたエンタングルメント状態と単一量子ビット操作による量子テレポーテーションを使用することで、量子ゲートの成功確率を1に近づけることができるという実証にも基づいている。 ^{[14] [15]}そうでない場合、単一量子ゲートユニットの成功率が十分に高くなければ、指数関数的な量の計算リソースが必要になる可能性がある。一方、KLM方式は、適切な量子符号化によって、達成される精度に関して正確に符号化された量子ビットを効率的に取得するためのリソースを削減でき、光子損失、検出器の非効率性、位相デコヒーレンスに対してLOQCをフォールトトレラントにできるという事実に基づいている。その結果、LOQC は、実用的なスケーラビリティを示唆するほど十分に低いリソース要件で KLM スキームを通じて堅牢に実装できるため、他の既知の実装と同様に QIP にとって有望なテクノロジになります。

より限定的なボソンサンプリングモデルは、2010年にアーロンソンとアルキポフによって提案され、分析されました。^[16]これは普遍的であるとは考えられていませんが、^[16]ボソンサンプリング問題など、古典的なコンピューターの能力を超えていると考えられている問題を解決できます。 2020年12月3日、安徽省合肥市にある中国科学技術大学の中国物理学者潘建偉（パン・ジャンウェイ）と呂朝陽（ルー・チャオヤン）が率いるチームが、古典的なコンピューターでは事実上解決できない問題を解決した結果をScienceに提出しました。これにより、九章量子コンピューター（ Jiu Zhang Quantum Computer ）と呼ばれる光子ベースの量子コンピューターの量子超越性が証明されました。^[17] ボソンサンプリング問題は200秒で解決されたが、中国のサンウェイ・タイフーライト・スーパーコンピュータでは25億年かかると推定された。これは量子超越性は約10^14である。九章は中国最古の現存する数学書『九章算術』にちなんで名付けられた^[18]。

ディヴィンチェンツォの量子計算とQIPの基準^{[19] [20]}によれば、QIPの普遍的なシステムは少なくとも以下の要件を満たす必要があるとされている。

1. よく特徴付けられた量子ビットを備えたスケーラブルな物理システム
2. 量子ビットの状態を、例えば、単純な基準状態に初期化する機能。${\displaystyle |000\cdots \rangle }$
3. ゲート操作時間よりもはるかに長い、関連するデコヒーレンス時間が長い。
4. 量子ゲートの「普遍的な」セット（この要件は非普遍的なシステムでは満たすことができない）
5. 量子ビット固有の測定機能。
   システムが量子通信も目的としている場合は、少なくとも次の 2 つの要件も満たす必要があります。
6. 静止量子ビットと飛行量子ビットを相互変換する能力、および
7. 指定された場所間で飛行量子ビットを忠実に送信する機能。

光子と線形光回路を使用することで、一般的にLOQCシステムは条件3、6、7を容易に満たすことができます。^[3]次のセクションでは、量子情報の準備、読み出し、操作、スケーラビリティ、エラー訂正の実装に主に焦点を当て、QIPの候補としてのLOQCの利点と欠点について説明します。

量子ビットは、基本的な QIP ユニットの 1 つです。で表すことができる 量子ビット状態は重ね合わせ状態であり、正規直交基底で測定された場合、状態になる確率と状態になる確率を持ちます。ここで、 は正規化条件です。 光モードは、識別可能な光通信チャネルであり、通常は量子状態の添え字でラベル付けされます。 識別可能な光通信チャネルを定義する方法は多数あります。 たとえば、モードのセットは、線形光学要素で選択できる光の異なる偏光、さまざまな周波数、または上記の 2 つのケースの組み合わせである可能性があります。 ${\displaystyle \alpha |0\rangle +\beta |1\rangle }$ ${\displaystyle \{|0\rangle ,|1\rangle \}}$${\displaystyle |\alpha |^{2}}$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |\beta |^{2}}$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1}$

KLM プロトコルでは、各光子は通常 2 つのモードのいずれかにあり、モードは光子間で異なります (モードが複数の光子によって占有される可能性はゼロです)。これは、 CNOT などの制御された量子ゲートの実装中にのみ当てはまるわけではありません。システムの状態が説明されているとおりである場合、光子は異なるモードにあるため区別でき、したがって、量子ビットの状態は、垂直 (V) と水平 (H) の 2 つのモードにある単一の光子を使用して表すことができます。たとえば、およびです。モードの占有によって定義された状態を、フォック状態と呼ぶのが一般的です。 ${\displaystyle |0\rangle \equiv |0,1\rangle _{VH}}$${\displaystyle |1\rangle \equiv |1,0\rangle _{VH}}$

ボソンサンプリングでは、光子は区別されないため、量子ビットの状態を直接表現することはできません。代わりに、区別できない単一光子によって占有されるモードのフォック状態を使用して、量子システム全体の量子ビットの状態を表現します(これはレベルの量子システムです)。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle {\tbinom {M+N-1}{M}}}$

LOQC の目的の多光子量子状態を準備するには、まず単一光子状態が必要です。そのため、単一光子発生器や一部の光学モジュールなどの非線形光学素子が使用されます。たとえば、光パラメトリック ダウンコンバージョンを使用して、時刻 (この単一量子ビットの場合、添え字は無視されます) における垂直偏光チャネルの状態を条件付きで生成できます。条件付き単一光子源を使用することで、出力状態は保証されますが、これには複数回の試行が必要になる場合があります (成功率によって異なります)。同様の方法で、結合多量子ビット状態を準備できます。一般に、適切な光子源のセットを使用して、QIP の任意の量子状態を生成できます。 ${\displaystyle |1\rangle \equiv |1,0\rangle _{VH}}$${\displaystyle t}$

普遍的な量子コンピューティングを実現するには、LOQC が完全なユニバーサル ゲートセットを実現できる必要があります。これは KLM プロトコルでは実現できますが、ボソン サンプリング モデルでは実現できません。

エラー訂正やその他の問題を無視すると、ミラー、ビームスプリッター、位相シフターのみを使用して基本的な量子ゲートを実装する際の基本原理は、これらの線形光学要素を使用することで、任意の 1 量子ビットのユニタリ操作を構築できるということです。言い換えれば、これらの線形光学要素は、任意の単一量子ビットに対する演算子の完全なセットをサポートします。

ビームスプリッターに関連付けられたユニタリ行列は次のとおりです。 ${\displaystyle \mathbf {B} _{\theta ,\phi }}$

${\displaystyle U(\mathbf {B} _{\theta ,\phi })={\begin{bmatrix}\cos \theta &-e^{i\phi }\sin \theta \\e^{-i\phi }\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}}$、

ここで、およびは反射振幅と透過振幅によって決定される（より単純なケースについては後で関係を示す）。ユニタリ変換条件およびの下で位相シフトを持つ対称ビームスプリッタの場合、次の式が成り立つ。 ${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \phi}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle t}$${\displaystyle \phi ={\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle |t|^{2}+|r|^{2}=1}$${\displaystyle t^{*}r+tr^{*}=0}$

${\displaystyle U(\mathbf {B} _{\theta ,\phi ={\frac {\pi }{2}}})={\begin{bmatrix}t&r\\r&t\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-i\sin \theta \\-i\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}=\cos \theta {\hat {I}}-i\sin \theta {\hat {\sigma }}_{x}=e^{-i\theta {\hat {\sigma }}_{x}}}$、

これは、ブロッホ球面内で単一量子ビット状態を-軸を中心に回転させるものです。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle 2\theta =2\cos^{-1}(|t|)}$

鏡は反射率が1である特別な場合であり、対応するユニタリ演算子は回転行列であり、次のように表される。

${\displaystyle R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}}$。

QIP で使用されるミラーのほとんどの場合、入射角は です 。 ${\displaystyle \theta =45^{\circ}}$

同様に、位相シフタ演算子は、で記述されるユニタリ演算子に関連付けられます。または、2モード形式で記述される場合は、 ${\displaystyle \mathbf {P} _{\phi }}$${\displaystyle U(\mathbf {P} _{\phi })=e^{i\phi }}$

${\displaystyle U(\mathbf {P} _{\phi })={\begin{bmatrix}e^{i\phi }&0\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}e^{i\phi /2}&0\\0&e^{-i\phi /2}\end{bmatrix}}{\text{(全体位相は無視)}}=e^{i{\frac {\phi }{2}}{\hat {\sigma }}_{z}}}$、

これは -軸を中心とした回転に相当します。 ${\displaystyle -\phi}$${\displaystyle z}$

直交する回転軸に沿った任意の2 つの回転により、ブロッホ球面内で任意の回転を生成できるため、対称的なビーム スプリッターとミラーのセットを使用して、QIP の任意の演算子を実現できます。以下の図は、ビームスプリッター(パラメーターとを持つ 2 組の交差線を接続する長方形として示されています) とミラー (パラメーター を持つ 2 組の交差線を接続する長方形として示されています)を使用して、アダマール ゲートとパウリ X ゲート (NOT ゲート) を実装する例です。 ${\displaystyle SU(2)}$${\displaystyle SU(2)}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle R(\theta )}$

上の図では、量子ビットは 2 つのモード チャネル (水平線) を使用してエンコードされています。 は上部モードの光子を表し、 は下部モードの光子を表します。 ${\displaystyle \left\vert 0\right\rangle }$${\displaystyle \left\vert 1\right\rangle }$

実際には、ビームスプリッターと位相シフターの全体（おそらく^[21]のオーダー）を光学実験台に組み立てることは困難であり、非現実的です。LOQCを機能的で有用かつコンパクトにするための1つの解決策は、すべての線形光学素子、光子源、および光子検出器を小型化し、チップ上に統合することです。半導体プラットフォームを使用する場合、単一光子源と光子検出器は簡単に統合できます。モードを分離するために、波長分割多重（WDM）の光（デ）マルチプレクサーとして一般的に使用されているアレイ導波路回折格子（AWG）が統合されています。原理的には、ビームスプリッターやその他の線形光学素子も小型化するか、同等のナノフォトニクス素子に置き換えることができます。これらの取り組みの進歩は、文献、たとえば参考文献に記載されています。^{[22] [23 ] [24]} 2013年には、フォトニック結晶導波路を使用して導波場と原子の相互作用を実現する、量子情報処理用の最初の集積光回路が実証されました。^[25]${\displaystyle 10^{4}}$

KLM プロトコルがボソン サンプリング モデルよりも優れている点は、KLM プロトコルはユニバーサル モデルであるのに対し、ボソン サンプリングはユニバーサルであるとは考えられていないことです。一方、ボソン サンプリングのスケーラビリティの問題は、KLM プロトコルの問題よりも管理しやすいようです。

ボソンサンプリングでは、計算の最後にすべてのモードを測定する単一の測定のみが許可されます。このモデルにおける唯一のスケーラビリティの問題は、すべての光子が十分に短い時間間隔で十分に近い周波数で光子検出器に到達するという要件から生じます。^[16]

KLM プロトコルには、モデルの普遍性に不可欠な非決定論的量子ゲートがあります。これらはゲート テレポーテーションに依存しており、複数の確率的ゲートがオフラインで準備され、回路の途中で追加の測定が実行されます。これら 2 つの要因が、KLM プロトコルで追加のスケーラビリティ問題を引き起こす原因となっています。

KLMプロトコルでは、望ましい初期状態は、各光子が2つのモードのいずれかにあり、モードが複数の光子によって占有される可能性はゼロである状態です。ただし、ボソンサンプリングでは、望ましい初期状態は特定されており、最初のモードがそれぞれ1つの光子によって占有され^[16]（は光子の数、はモードの数）、他のすべての状態が空である必要があります。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M\geq N}$

1つの光子で複数の量子ビットを表現する別の以前のモデルは、C. AdamiとNJ Cerfの研究に基づいています。^[1]光子の位置と偏光の両方を使用することで、このモデルでは1つの光子が複数の量子ビットを表すことができます。ただし、結果として、CNOTゲートは同じ光子によって表される2つの量子ビット間でのみ実装できます。

下の図は、ビームスプリッター(パラメーターとを持つ 2 組の交差線を接続する長方形として示されています) と位相シフター (パラメーター を持つ線上の長方形として示されています) を使用して、同等のアダマール ゲートと CNOT ゲートを作成する例です。 ${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \phi}$

CNOT ゲートの光学的な実現では、偏光と位置がそれぞれ制御量子ビットとターゲット量子ビットになります。

• 「光チップにより量子コンピュータを数秒で再プログラム可能」 kurzweilai.net. 2015 年 8 月 14 日。
• 量子コンピュータの数学 | 無限級数、 2019年11月23日取得