量子力学の定式化
量子力学
では 、 動的画像 （または 表現 ）は、量子システムのダイナミクスを数学的に定式化する複数の同等な方法です。
最も重要な 2 つは、 ハイゼンベルク描像 と シュレーディンガー描像 です。これらは、流れ場のラグランジアンおよびオイラー指定 と同様に、時間依存性に関する基底の変化によってのみ異なります 。つまり、シュレーディンガー描像では 量子状態 に、ハイゼンベルク描像では 演算子 に時間依存性が付随します。
相互作用図 （または ディラック図 ）として知られる中間的な定式化もあり、これは複雑な ハミルトニアンが単純な「自由」ハミルトニアンと 摂動 に自然に分解される 場合の計算に役立ちます 。
ある図に適用される方程式が、必ずしも他の図にも当てはまるとは限りません。これは、時間依存ユニタリ変換が、ある図の演算子を他の図の類似の演算子に関連付けるためです。すべての教科書や記事で、各演算子がどの図から来ているかが明確に説明されているわけではないため、混乱を招く可能性があります。
シュレーディンガー図
背景 基本的な量子力学では、 量子力学システムの 状態は複素数値の 波動関数 ψ ( x , t ) で表されます。より抽象的に、状態は状態ベクトル、または ket 、| ψ ⟩ として表すことができます。この ket は、システムのすべての可能な状態を含むベクトル空間である ヒルベルト 空間の要素です 。量子力学 演算子は、ket | ψ ⟩ を受け取り、別の ket | ψ′ ⟩ を返す関数です 。
量子力学のシュレーディンガー描像とハイゼンベルク描像の違いは、時間とともに変化するシステムをどのように扱うかという点にあります。システムの時間依存の性質は、状態ベクトルと演算子の組み合わせによって実現される 必要が あります。たとえば、 量子調和振動子は 、運動量 の 期待値 が時間とともに正弦波状に振動する状態 | ψ ⟩ にある場合があります。この正弦波状の振動は、状態ベクトル | ψ ⟩、運動量演算子、またはその両方 に反映されるべきかどうかが問われます 。これら 3 つの選択はすべて有効です。最初の選択はシュレーディンガー描像、2 番目の選択はハイゼンベルク描像、3 番目の選択は相互作用描像を与えます。
⟨
ψ
|
p
^
|
ψ
⟩
{\displaystyle \langle \psi |{\hat {p}}|\psi \rangle }
p
^
{\displaystyle {\hat {p}}}
シュレーディンガー描像は、時間に依存しないハミルトニアン H 、つまりを扱うときに役立ちます 。
∂
t
H
=
0
{\displaystyle \partial _{t}H=0}
時間発展演算子
意味 時間発展演算子 U ( t , t 0 ) は、時刻 t 0 のケットに作用して別の時刻 t のケットを生成する演算子として定義されます 。
|
ψ
(
t
)
⟩
=
U
(
t
,
t
0
)
|
ψ
(
t
0
)
⟩
.
{\displaystyle |\psi (t)\rangle =U(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle .}
ブラジャー の 代わりに
⟨
ψ
(
t
)
|
=
⟨
ψ
(
t
0
)
|
U
†
(
t
,
t
0
)
.
{\displaystyle \langle \psi (t)|=\langle \psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,t_{0}).}
プロパティ
単一性 時間発展演算子は ユニタリ でなければならない。これは、状態ケットの ノルム が時間とともに変化してはならないことを要求するからである。つまり、
⟨
ψ
(
t
)
|
ψ
(
t
)
⟩
=
⟨
ψ
(
t
0
)
|
U
†
(
t
,
t
0
)
U
(
t
,
t
0
)
|
ψ
(
t
0
)
⟩
=
⟨
ψ
(
t
0
)
|
ψ
(
t
0
)
⟩
.
{\displaystyle \langle \psi (t)|\psi (t)\rangle =\langle \psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle =\langle \psi (t_{0})|\psi (t_{0})\rangle .}
したがって、
U
†
(
t
,
t
0
)
U
(
t
,
t
0
)
=
I
.
{\displaystyle U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})=I.}
身元 t = t 0 のとき 、 Uは 恒等演算子 である 。
|
ψ
(
t
0
)
⟩
=
U
(
t
0
,
t
0
)
|
ψ
(
t
0
)
⟩
.
{\displaystyle |\psi (t_{0})\rangle =U(t_{0},t_{0})|\psi (t_{0})\rangle .}
閉鎖 t 0から t までの 時間発展は、まず t 0 から中間時間 t 1 まで、次に t 1 から最終時間 t までの2段階の時間発展として見ることができる 。したがって、
U
(
t
,
t
0
)
=
U
(
t
,
t
1
)
U
(
t
1
,
t
0
)
.
{\displaystyle U(t,t_{0})=U(t,t_{1})U(t_{1},t_{0}).}
時間発展演算子の微分方程式 時間発展演算子のt 0インデックスを t 0 = 0 という慣例に従って 省略し、 U ( t )と書きます 。 シュレーディンガー方程式 は
i
ℏ
∂
∂
t
|
ψ
(
t
)
⟩
=
H
|
ψ
(
t
)
⟩
,
{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle =H|\psi (t)\rangle ,}
ここで Hは ハミルトニアン である 。時間発展演算子 Uを 使って と書くと 、
|
ψ
(
t
)
⟩
=
U
(
t
)
|
ψ
(
0
)
⟩
{\displaystyle |\psi (t)\rangle =U(t)|\psi (0)\rangle }
i
ℏ
∂
∂
t
U
(
t
)
|
ψ
(
0
)
⟩
=
H
U
(
t
)
|
ψ
(
0
)
⟩
.
{\displaystyle i\hbar {\partial \over \partial t}U(t)|\psi (0)\rangle =HU(t)|\psi (0)\rangle .}
は定数ケット（ t = 0 における状態ケット）で あり 、上記の式はヒルベルト空間内の任意の定数ケットに対して成り立つので、時間発展演算子は次の式に従わなければならない。
|
ψ
(
0
)
⟩
{\displaystyle |\psi (0)\rangle }
i
ℏ
∂
∂
t
U
(
t
)
=
H
U
(
t
)
.
{\displaystyle i\hbar {\partial \over \partial t}U(t)=HU(t).}
ハミルトニアンが時間に依存しない場合、上記の式の解は [1]
U
(
t
)
=
e
−
i
H
t
/
ℏ
.
{\displaystyle U(t)=e^{-iHt/\hbar }.}
H は演算子な ので、この指数式は テイラー級数 を介して評価されます。
e
−
i
H
t
/
ℏ
=
1
−
i
H
t
ℏ
−
1
2
(
H
t
ℏ
)
2
+
⋯
.
{\displaystyle e^{-iHt/\hbar }=1-{\frac {iHt}{\hbar }}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {Ht}{\hbar }}\right)^{2}+\cdots .}
したがって、
|
ψ
(
t
)
⟩
=
e
−
i
H
t
/
ℏ
|
ψ
(
0
)
⟩
.
{\displaystyle |\psi (t)\rangle =e^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle .}
は任意のケットであることに注意してください 。ただし、初期ケットが ハミルトニアンの 固有状態であり、固有値が E である場合、次の式が得られます。
|
ψ
(
0
)
⟩
{\displaystyle |\psi (0)\rangle }
|
ψ
(
t
)
⟩
=
e
−
i
E
t
/
ℏ
|
ψ
(
0
)
⟩
.
{\displaystyle |\psi (t)\rangle =e^{-iEt/\hbar }|\psi (0)\rangle .}
したがって、ハミルトニアンの固有状態は 定常状態 であることがわかります。つまり、時間の経過とともに変化するにつれて、全体的な位相係数のみを取ります。
ハミルトニアンが時間に依存しているが、異なる時間におけるハミルトニアンが可換である場合、時間発展演算子は次のように表される。
U
(
t
)
=
exp
(
−
i
ℏ
∫
0
t
H
(
t
′
)
d
t
′
)
,
{\displaystyle U(t)=\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}H(t')\,dt'}\right),}
ハミルトニアンが時間に依存しているが、異なる時間におけるハミルトニアンは可換ではない場合、時間発展演算子は次のように表される。
U
(
t
)
=
T
exp
(
−
i
ℏ
∫
0
t
H
(
t
′
)
d
t
′
)
,
{\displaystyle U(t)=\mathrm {T} \exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}H(t')\,dt'}\right),}
ここで、T は 時間順序演算子であり、 フリーマン・ダイソン にちなんでダイソン級数と呼ばれることもあります 。
シュレーディンガー像の代替案は、回転参照フレームに切り替えることです。回転参照フレーム自体もプロパゲータによって回転します。参照フレーム自体が波動回転を仮定しているため、乱されていない状態関数は完全に静的であるように見えます。これがハイゼンベルク像です (下図)。
ハイゼンベルク像 ハイゼンベルク図は、 演算子（ 観測可能 量など）が時間への依存性を組み込んでいるが、 状態ベクトルは時間に依存しない 量子力学 の定式化（1920 年代に ヘルゴラント島 に滞在していた ヴェルナー ハイゼンベルク によって作成された）です。
意味 量子力学のハイゼンベルク描像では、状態ベクトルは 時間とともに変化せず、観測量 A は
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
d
d
t
A
(
t
)
=
i
ℏ
[
H
,
A
(
t
)
]
+
∂
A
(
t
)
∂
t
,
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}A(t)={\frac {i}{\hbar }}[H,A(t)]+{\frac {\partial A(t)}{\partial t}},}
ここで、 H は ハミルトニアン 、[•,•] は 2 つの演算子 (この場合は H と A ) の 交換子を表します。期待値を取ると、 対応原理 で説明されている エーレンフェストの定理 が得られます 。
ストーン–フォン・ノイマンの定理 により 、ハイゼンベルク描像とシュレーディンガー描像はユニタリ的に同値である。ある意味では、 ハイゼンベルク描像は、特に 相対論的 理論においては、同値なシュレーディンガー描像よりも自然で便利である 。 ローレンツ不変性はハイゼンベルク描像において明白である。このアプローチは 古典物理学 とのより直接的な類似性も有する。すなわち、上記の交換子を ポアソン括弧 に置き換えることにより 、 ハイゼンベルク方程式は ハミルトン力学 の方程式になる 。
ハイゼンベルク方程式の導出 観測量 A の期待 値は 、与えられた状態に対する エルミート 線形作用素 であり 、次のように与えられる。
|
ψ
(
t
)
⟩
{\displaystyle |\psi (t)\rangle }
⟨
A
⟩
t
=
⟨
ψ
(
t
)
|
A
|
ψ
(
t
)
⟩
.
{\displaystyle \langle A\rangle _{t}=\langle \psi (t)|A|\psi (t)\rangle .}
シュレーディンガー描像 では、 時刻 t の状態は 、
ユニタリな 時間発展演算子 によって時刻 0 の 状態と関連付けられます 。 ハミルトニアンが 時間とともに変化しない
場合は、時間発展演算子は次のように表すことができます。
ここで、 H はハミルトニアン、ħ は 縮小プランク定数 です。したがって、
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
U
(
t
)
{\displaystyle U(t)}
|
ψ
(
t
)
⟩
=
U
(
t
)
|
ψ
(
0
)
⟩
.
{\displaystyle |\psi (t)\rangle =U(t)|\psi (0)\rangle .}
U
(
t
)
=
e
−
i
H
t
/
ℏ
,
{\displaystyle U(t)=e^{-iHt/\hbar },}
⟨
A
⟩
t
=
⟨
ψ
(
0
)
|
e
i
H
t
/
ℏ
A
e
−
i
H
t
/
ℏ
|
ψ
(
0
)
⟩
.
{\displaystyle \langle A\rangle _{t}=\langle \psi (0)|e^{iHt/\hbar }Ae^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle .}
では定義しましょう、
A
(
t
)
:=
e
i
H
t
/
ℏ
A
e
−
i
H
t
/
ℏ
.
{\displaystyle A(t):=e^{iHt/\hbar }Ae^{-iHt/\hbar }.}
すると、
d
d
t
A
(
t
)
=
i
ℏ
H
e
i
H
t
/
ℏ
A
e
−
i
H
t
/
ℏ
+
e
i
H
t
/
ℏ
(
∂
A
∂
t
)
e
−
i
H
t
/
ℏ
+
i
ℏ
e
i
H
t
/
ℏ
A
⋅
(
−
H
)
e
−
i
H
t
/
ℏ
=
i
ℏ
e
i
H
t
/
ℏ
(
H
A
−
A
H
)
e
−
i
H
t
/
ℏ
+
e
i
H
t
/
ℏ
(
∂
A
∂
t
)
e
−
i
H
t
/
ℏ
=
i
ℏ
(
H
A
(
t
)
−
A
(
t
)
H
)
+
e
i
H
t
/
ℏ
(
∂
A
∂
t
)
e
−
i
H
t
/
ℏ
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}A(t)&={\frac {i}{\hbar }}He^{iHt/\hbar }Ae^{-iHt/\hbar }+e^{iHt/\hbar }\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)e^{-iHt/\hbar }+{\frac {i}{\hbar }}e^{iHt/\hbar }A\cdot (-H)e^{-iHt/\hbar }\\&={\frac {i}{\hbar }}e^{iHt/\hbar }\left(HA-AH\right)e^{-iHt/\hbar }+e^{iHt/\hbar }\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)e^{-iHt/\hbar }\\&={\frac {i}{\hbar }}\left(HA(t)-A(t)H\right)+e^{iHt/\hbar }\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)e^{-iHt/\hbar }.\end{aligned}}}
微分は積の法則 に従っています が、∂ A /∂ t は定義された A ( t ) 演算子ではなく、初期 A
の時間微分です。最後の式は、 exp(− iHt / ħ ) が H と可換であるため成り立ちます 。
したがって、
x (0) と p (0)
への対流関数の依存性が x ( t )、 p ( t ) への 同じ 依存性に変換されるため、上記のハイゼンベルクの運動方程式が生まれ、 最後の項は ∂ A ( t )/∂ t に変換されます。[ X 、 Y ] は2つの演算子の 交換子 であり、 [ X 、 Y ] := XY − YX と定義されます 。
d
d
t
A
(
t
)
=
i
ℏ
[
H
,
A
(
t
)
]
+
e
i
H
t
/
ℏ
(
∂
A
∂
t
)
e
−
i
H
t
/
ℏ
,
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}A(t)={\frac {i}{\hbar }}[H,A(t)]+e^{iHt/\hbar }\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)e^{-iHt/\hbar },}
この方程式は上で定義したA ( t )によって解かれ、 標準演算子恒等式 の使用によって明らかであり 、
次のようになる。
e
B
A
e
−
B
=
A
+
[
B
,
A
]
+
1
2
!
[
B
,
[
B
,
A
]
]
+
1
3
!
[
B
,
[
B
,
[
B
,
A
]
]
]
+
⋯
.
{\displaystyle {e^{B}Ae^{-B}}=A+[B,A]+{\frac {1}{2!}}[B,[B,A]]+{\frac {1}{3!}}[B,[B,[B,A]]]+\cdots .}
A
(
t
)
=
A
+
i
t
ℏ
[
H
,
A
]
−
t
2
2
!
ℏ
2
[
H
,
[
H
,
A
]
]
−
i
t
3
3
!
ℏ
3
[
H
,
[
H
,
[
H
,
A
]
]
]
+
…
{\displaystyle A(t)=A+{\frac {it}{\hbar }}[H,A]-{\frac {t^{2}}{2!\hbar ^{2}}}[H,[H,A]]-{\frac {it^{3}}{3!\hbar ^{3}}}[H,[H,[H,A]]]+\dots }
この関係は古典力学 でも成り立ち 、 ポアソン括弧 と 交換子 の 対応関係 が与えられれば、
上記の 古典的極限が 成り立ちます。
古典力学では、 明示的な時間依存性のない
Aに対して、再び、 A ( t )
の式は t = 0の周りのテイラー展開です 。
[
A
,
H
]
↔
i
ℏ
{
A
,
H
}
{\displaystyle [A,H]\leftrightarrow i\hbar \{A,H\}}
{
A
,
H
}
=
d
d
t
A
,
{\displaystyle \{A,H\}={\frac {d}{dt}}A\,,}
交換関係 交換子関係は、演算子の時間依存性のため、シュレーディンガー図とは異なって見えるかもしれない。例えば、演算子 x ( t 1 )、 x ( t 2 )、 p ( t 1 ) 、 p ( t 2 ) を考えてみよう。これらの演算子の時間発展は、システムのハミルトニアンに依存する。1次元調和振動子を考えると、
H
=
p
2
2
m
+
m
ω
2
x
2
2
{\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}x^{2}}{2}}}
、 位置演算子と運動量演算子の進化は次のように表される。
d
d
t
x
(
t
)
=
i
ℏ
[
H
,
x
(
t
)
]
=
p
m
{\displaystyle {d \over dt}x(t)={i \over \hbar }[H,x(t)]={\frac {p}{m}}}
、
d
d
t
p
(
t
)
=
i
ℏ
[
H
,
p
(
t
)
]
=
−
m
ω
2
x
{\displaystyle {d \over dt}p(t)={i \over \hbar }[H,p(t)]=-m\omega ^{2}x}
。 両方の方程式をもう一度微分し、適切な初期条件で解くと、
p
˙
(
0
)
=
−
m
ω
2
x
0
,
{\displaystyle {\dot {p}}(0)=-m\omega ^{2}x_{0},}
x
˙
(
0
)
=
p
0
m
,
{\displaystyle {\dot {x}}(0)={\frac {p_{0}}{m}},}
つながる
x
(
t
)
=
x
0
cos
(
ω
t
)
+
p
0
ω
m
sin
(
ω
t
)
{\displaystyle x(t)=x_{0}\cos(\omega t)+{\frac {p_{0}}{\omega m}}\sin(\omega t)}
、
p
(
t
)
=
p
0
cos
(
ω
t
)
−
m
ω
x
0
sin
(
ω
t
)
{\displaystyle p(t)=p_{0}\cos(\omega t)-m\omega \!x_{0}\sin(\omega t)}
。 直接計算により、より一般的な交換関係が得られる。
[
x
(
t
1
)
,
x
(
t
2
)
]
=
i
ℏ
m
ω
sin
(
ω
t
2
−
ω
t
1
)
{\displaystyle [x(t_{1}),x(t_{2})]={\frac {i\hbar }{m\omega }}\sin(\omega t_{2}-\omega t_{1})}
、
[
p
(
t
1
)
,
p
(
t
2
)
]
=
i
ℏ
m
ω
sin
(
ω
t
2
−
ω
t
1
)
{\displaystyle [p(t_{1}),p(t_{2})]=i\hbar m\omega \sin(\omega t_{2}-\omega t_{1})}
、
[
x
(
t
1
)
,
p
(
t
2
)
]
=
i
ℏ
cos
(
ω
t
2
−
ω
t
1
)
{\displaystyle [x(t_{1}),p(t_{2})]=i\hbar \cos(\omega t_{2}-\omega t_{1})}
。 については 、すべての図で有効な標準的な標準交換関係を単純に回復します。
t
1
=
t
2
{\displaystyle t_{1}=t_{2}}
インタラクション画像 相互作用図は、観測可能なものの変化が正確に解けて、状態の進化に関する複雑さが制限される場合に最も役立ちます。このため、観測可能なものに対するハミルトニアンは「自由ハミルトニアン」と呼ばれ、状態のハミルトニアンは「相互作用ハミルトニアン」と呼ばれます。
意味 相互作用図の演算子と状態ベクトルは、基底の変更（ ユニタリー変換 ）によって、シュレーディンガー図の同じ演算子と状態ベクトルに関連付けられます。
相互作用図に切り替えるために、シュレーディンガー図の ハミルトニアンを 2つの部分に分割します。
H
S
=
H
0
,
S
+
H
1
,
S
.
{\displaystyle H_{S}=H_{0,S}+H_{1,S}~.}
どのようなパーツを選択しても、有効な相互作用図が得られます。ただし、相互作用図が問題の分析を簡素化するのに役立つようにするには、通常、 が よく理解され、正確に解決できる一方で、 には このシステムに対する分析がより困難な摂動が含まれるようにパーツが選択されます。
H
0
,
S
{\displaystyle H_{0,S}}
H
1
,
S
{\displaystyle H_{1,S}}
ハミルトニアンが 明示的に時間依存性 を持つ場合（たとえば、量子系が時間とともに変化する印加外部電場と相互作用する場合）、 を時間非依存のままに して、で明示的に時間依存の項を含めることが通常は有利です 。これが当てはまると仮定して先に進みます。 が時間依存 であることが理にかなっているコンテキスト が ある場合は、以下の定義でを対応する 時間発展演算子 に置き換えて先に進むことができます 。
H
1
,
S
{\displaystyle H_{1,S}}
H
0
,
S
{\displaystyle H_{0,S}}
H
0
,
S
{\displaystyle H_{0,S}}
e
±
i
H
0
,
S
t
/
ℏ
{\displaystyle e^{\pm iH_{0,S}t/\hbar }}
状態ベクトル 相互作用図における状態ベクトルは次のように定義される [2]
|
ψ
I
(
t
)
⟩
=
e
i
H
0
,
S
t
/
ℏ
|
ψ
S
(
t
)
⟩
,
{\displaystyle |\psi _{I}(t)\rangle =e^{iH_{0,S}t/\hbar }|\psi _{S}(t)\rangle ~,}
ここで、は シュレーディンガー図と同じ状態ベクトルです。
|
ψ
S
(
t
)
⟩
{\displaystyle |\psi _{S}(t)\rangle }
オペレーター 相互作用図における演算子は次のように定義される。
A
I
(
t
)
=
e
i
H
0
,
S
t
/
ℏ
A
S
(
t
)
e
−
i
H
0
,
S
t
/
ℏ
.
{\displaystyle A_{I}(t)=e^{iH_{0,S}t/\hbar }A_{S}(t)e^{-iH_{0,S}t/\hbar }.}
は、通常t に依存せず 、 と書き直すことができること に注意してください 。 t に依存するのは、たとえば、適用される外部の時間変動電場への依存により、演算子が「明示的な時間依存性」を持つ場合のみです。
A
S
(
t
)
{\displaystyle A_{S}(t)}
A
S
{\displaystyle A_{S}}
ハミルトン演算子 演算子 自体については、相互作用図とシュレーディンガー図は一致する。
H
0
{\displaystyle H_{0}}
H
0
,
I
(
t
)
=
e
i
H
0
,
S
t
/
ℏ
H
0
,
S
e
−
i
H
0
,
S
t
/
ℏ
=
H
0
,
S
.
{\displaystyle H_{0,I}(t)=e^{iH_{0,S}t/\hbar }H_{0,S}e^{-iH_{0,S}t/\hbar }=H_{0,S}.}
これは、演算子がそれ自身の微分可能な関数と 交換可能である という事実から簡単にわかります。この特定の演算子は、 曖昧さなく
H 0と呼ぶことができます。
しかし、摂動ハミルトニアン H 1, I については、
H
1
,
I
(
t
)
=
e
i
H
0
,
S
t
/
ℏ
H
1
,
S
e
−
i
H
0
,
S
t
/
ℏ
,
{\displaystyle H_{1,I}(t)=e^{iH_{0,S}t/\hbar }H_{1,S}e^{-iH_{0,S}t/\hbar },}
ここで相互作用描像摂動ハミルトニアンは時間依存ハミルトニアンになる（ただし[ H 1,s , H 0,s ] = 0 の場合を除きます）。
時間依存ハミルトニアン H 0,s ( t )の相互作用図を得ることも可能ですが、指数関数は H 0,s ( t )によって生成される進化のユニタリプロパゲータに置き換える必要があります。より具体的には、時間順序付けされた指数積分に置き換える必要があります。
密度行列 密度行列は、 他 の演算子と同様に相互作用描像に変換できることが示されます。特に、相互作用描像とシュレーディンガー描像における密度行列をそれぞれとします 。 物理的状態 になる 確率がある場合 、
ρ
I
{\displaystyle \rho _{I}}
ρ
S
{\displaystyle \rho _{S}}
p
n
{\displaystyle p_{n}}
|
ψ
n
⟩
{\displaystyle |\psi _{n}\rangle }
ρ
I
(
t
)
=
∑
n
p
n
(
t
)
|
ψ
n
,
I
(
t
)
⟩
⟨
ψ
n
,
I
(
t
)
|
=
∑
n
p
n
(
t
)
e
i
H
0
,
S
t
/
ℏ
|
ψ
n
,
S
(
t
)
⟩
⟨
ψ
n
,
S
(
t
)
|
e
−
i
H
0
,
S
t
/
ℏ
=
e
i
H
0
,
S
t
/
ℏ
ρ
S
(
t
)
e
−
i
H
0
,
S
t
/
ℏ
.
{\displaystyle \rho _{I}(t)=\sum _{n}p_{n}(t)|\psi _{n,I}(t)\rangle \langle \psi _{n,I}(t)|=\sum _{n}p_{n}(t)e^{iH_{0,S}t/\hbar }|\psi _{n,S}(t)\rangle \langle \psi _{n,S}(t)|e^{-iH_{0,S}t/\hbar }=e^{iH_{0,S}t/\hbar }\rho _{S}(t)e^{-iH_{0,S}t/\hbar }.}
時間発展方程式
州 シュレーディンガー方程式を 相互作用図に
変換すると次のようになります。
i
ℏ
d
d
t
|
ψ
I
(
t
)
⟩
=
H
1
,
I
(
t
)
|
ψ
I
(
t
)
⟩
.
{\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi _{I}(t)\rangle =H_{1,I}(t)|\psi _{I}(t)\rangle .}
この式はシュウィンガー - 朝永 式 と呼ばれます 。
オペレーター 演算子が 時間に依存しない場合（つまり、「明示的な時間依存性」を持たない場合、上記を参照）、対応する時間発展は次 のように与えられます。
A
S
{\displaystyle A_{S}}
A
I
(
t
)
{\displaystyle A_{I}(t)}
i
ℏ
d
d
t
A
I
(
t
)
=
[
A
I
(
t
)
,
H
0
]
.
{\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}A_{I}(t)=\left[A_{I}(t),H_{0}\right].\;}
相互作用図では、演算子は、 ハミルトニアンを持つ ハイゼンベルク図 の演算子のように時間とともに変化します。
H
′
=
H
0
{\displaystyle H'=H_{0}}
密度行列 シュウィンガー・朝永方程式を密度行列 の言語に変換すると （または、 フォン・ノイマン方程式を 相互作用図に変換すると）、次の式が得られます。
i
ℏ
d
d
t
ρ
I
(
t
)
=
[
H
1
,
I
(
t
)
,
ρ
I
(
t
)
]
.
{\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}\rho _{I}(t)=\left[H_{1,I}(t),\rho _{I}(t)\right].}
存在 相互作用像は常に存在するわけではない。相互作用する量子場理論では、 ハーグの定理は 相互作用像が存在しないことを述べている。これは、超選択セクター内でハミルトニアンを自由部分と相互作用部分に分割できないためである。さらに、シュレーディンガー像ではハミルトニアンは時間に依存しない（例えば H = H 0 + V） が、相互作用像では、少なくとも Vが H 0 と可換でない場合は時間に依存する 。
H
i
n
t
(
t
)
≡
e
(
i
/
ℏ
)
t
H
0
V
e
(
−
i
/
ℏ
)
t
H
0
{\displaystyle H_{\rm {int}}(t)\equiv e^{{(i/\hbar })tH_{0}}\,V\,e^{{(-i/\hbar })tH_{0}}}
。
写真の比較 ハイゼンベルク描像は古典的なハミルトン力学に最も近い（例えば、上記の式に現れる交換子は、古典的な ポアソン括弧に直接対応している）。入門書で好んで用いられる定式化であるシュレーディンガー描像は、状態ベクトルの ヒルベルト空間 回転の観点から視覚化しやすいが、ローレンツ不変系への自然な一般化には欠けている。ディラック描像は、非定常および共変摂動論で最も有用であるため、 量子場の理論 や 多体物理学 に適している 。
進化の概要比較
等価 シュレーディンガー、ハイゼンベルク、相互作用の描像では、すべての観測可能な値の期待値は同じであることは明らかである。
⟨
ψ
∣
A
(
t
)
∣
ψ
⟩
=
⟨
ψ
(
t
)
∣
A
∣
ψ
(
t
)
⟩
=
⟨
ψ
I
(
t
)
∣
A
I
(
t
)
∣
ψ
I
(
t
)
⟩
,
{\displaystyle \langle \psi \mid A(t)\mid \psi \rangle =\langle \psi (t)\mid A\mid \psi (t)\rangle =\langle \psi _{I}(t)\mid A_{I}(t)\mid \psi _{I}(t)\rangle ~,}
当然のことですが。
参照
注記
^ここでは、 t = 0 において、 U ( t ) は恒等演算子に還元される という事実を利用します。 ^ The Interaction Picture、ニューヨーク大学のオンライン講義ノート（マーク・タッカーマン）
参考文献
外部リンク 量子場理論の教育補助資料 第 2 章のリンクをクリックすると、ハイゼンベルク図の広範かつ簡略化された入門書が見つかります。
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}A(t)={\frac {i}{\hbar }}[H,A(t)]+{\frac {\partial A(t)}{\partial t}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d714d59756ef17027e03f666547917ba07d8057)
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}A(t)={\frac {i}{\hbar }}[H,A(t)]+e^{iHt/\hbar }\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)e^{-iHt/\hbar },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d08500271ef0b37b8933859ee5d802db4ff791e)
![{\displaystyle {e^{B}Ae^{-B}}=A+[B,A]+{\frac {1}{2!}}[B,[B,A]]+{\frac {1}{3!}}[B,[B,[B,A]]]+\cdots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c351669f8ac33b836e1d1b36985b97fc396e3968)
![{\displaystyle A(t)=A+{\frac {it}{\hbar }}[H,A]-{\frac {t^{2}}{2!\hbar ^{2}}}[H,[H,A]]-{\frac {it^{3}}{3!\hbar ^{3}}}[H,[H,[H,A]]]+\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/589541a52527e0544734e8461358318712493162)
![{\displaystyle [A,H]\leftrightarrow i\hbar \{A,H\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f9ce3bead15d2ebeb1c6fb1ba093b9633721fdf)
![{\displaystyle {d \over dt}x(t)={i \over \hbar }[H,x(t)]={\frac {p}{m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d3dc9b72cab7af82220cfa63d2b1da90abda9ab)
![{\displaystyle {d \over dt}p(t)={i \over \hbar }[H,p(t)]=-m\omega ^{2}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a98b67aa77be187bd89aa4d45f0867745e3f16ec)
![{\displaystyle [x(t_{1}),x(t_{2})]={\frac {i\hbar }{m\omega }}\sin(\omega t_{2}-\omega t_{1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6886919c1d2248a10af268f6911c90cddaa5b592)
![{\displaystyle [p(t_{1}),p(t_{2})]=i\hbar m\omega \sin(\omega t_{2}-\omega t_{1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5de20797ec01d2814d48f9a79cb761c11fdf21cd)
![{\displaystyle [x(t_{1}),p(t_{2})]=i\hbar \cos(\omega t_{2}-\omega t_{1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f619255c3bab50963290678ba47509d47c6577e)
![{\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}A_{I}(t)=\left[A_{I}(t),H_{0}\right].\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03cf621f85739147cfd11cfcaea29bb63784f955)
![{\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}\rho _{I}(t)=\left[H_{1,I}(t),\rho _{I}(t)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8f440d9995d63d5a5feffa949203c5a582dd4b8)
