最小エントロピー

情報理論における最小エントロピーは、レニーエントロピー族の中で最小のものであり、最も可能性の高い結果の確率の負の対数として、一連の結果の予測不可能性を測定する最も保守的な方法に対応します。様々なレニーエントロピーは、一様分布ではすべて等しくなりますが、非一様分布の予測不可能性を異なる方法で測定します。最小エントロピーは、通常のエントロピーまたはシャノンエントロピー（結果の平均的な予測不可能性を測定するもの）よりも大きくなることはなく、また、シャノンエントロピーは、非ゼロ確率の結果の数の対数として定義されるハートレーエントロピーまたは最大エントロピーよりも大きくなることはありません。

古典的なシャノンエントロピーとその量子版であるフォン・ノイマンエントロピーと同様に、最小エントロピーの条件付きバージョンを定義することができる。条件付き量子最小エントロピーは、条件付き量子エントロピーの単発的、あるいは保存的な類似物である。

条件付き情報尺度を解釈するために、アリスとボブが二体量子状態を共有していると仮定する。$\displaystyle \rho _{AB}}$アリスはシステムにアクセスできます${\displaystyle A}$そしてボブはシステムに${\displaystyle B}$条件付きエントロピーは、ボブが自身のシステムからサンプリングした際に、アリスの状態について抱く平均的な不確実性を測定するものです。最小エントロピーは、ある状態と最大エンタングル状態との距離として解釈できます。

この概念は、プライバシー増幅の文脈において量子暗号で有用である（例えば^{[ 1 ]}を参照）。

もし${\displaystyle P=(p_{1},...,p_{n})}$これは古典的な有限確率分布であり、その最小エントロピーは次のように定義できます^{[ 2 ]}$${\displaystyle H_{\rm {min}}({\boldsymbol {P}})=\log {\frac {1}{P_{\rm {max}}}},\qquad P_{\rm {max}}\equiv \max _{i}p_{i}.}$$この量の名称を正当化する一つの方法は、より標準的なエントロピーの定義と比較することである。その定義は次のようになる。${\displaystyle \textstyle H({\boldsymbol {P}})=\sum _{i}p_{i}\log(1/p_{i})}$、したがって、の期待値として簡潔に記述することができる。${\displaystyle \log(1/p_{i})}$分布全体にわたって。この量の期待値を取る代わりにその最小値を取ると、まさに上記の定義が得られます。${\displaystyle H_{\rm {min}}({\boldsymbol {P}})}$。

運用上の観点から、最小エントロピーは、ランダムな抽出の結果を正しく推測できる確率の負の対数に等しい。${\displaystyle P}$これは、最も確率の高い要素を推測するのが最適であり、成功の確率はその要素の確率に等しいためです。

古典状態から量子状態へ「最小エントロピー」を一般化する自然な方法は、量子状態が何らかの基底で測定されたときに古典的な確率分布を定義するという単純な観察を利用することです。しかし、単一の量子状態が、測定方法に応じて無限に多くの可能な確率分布をもたらす可能性があるという難点があります。そこで、量子状態が与えられた場合、自然なアプローチは次のようになります。${\displaystyle \rho }$定義するために${\displaystyle H_{\rm {min}}(\rho )}$として${\displaystyle \log(1/P_{\rm {max}})}$しかし今回は定義する${\displaystyle P_{\rm {max}}}$測定によって得られる最大確率として${\displaystyle \rho }$、すべての可能な射影測定を最大化する。これを用いると、最小エントロピーの操作的定義が得られる。${\displaystyle \rho }$は、任意の測定結果を正しく推測できる確率の負の対数に等しい。${\displaystyle \rho }$。

形式的には、これは次の定義につながる。 $${\displaystyle H_{\rm {min}}(\rho )=\max _{\Pi }\log {\frac {1}{\max _{i}\operatorname {tr} (\Pi _{i}\rho )}}=-\max _{\Pi }\log \max _{i}\operatorname {tr} (\Pi _{i}\rho ),}$$ ここで、我々はすべての射影測定の集合について最大化している。${\displaystyle \Pi =(\Pi _{i})_{i}}$、$\displaystyle \Pi _{i}}$POVM形式で測定結果を表し、${\displaystyle \operatorname {tr} (\Pi _{i}\rho )}$したがって、観察する確率は${\displaystyle i}$測定結果が${\displaystyle \Pi }$。

二重最大化をより簡潔に記述する方法は、任意の POVM の任意の要素がエルミート演算子であることに注目することです。${\displaystyle 0\leq \Pi \leq I}$したがって、これらを直接最大化することで、$${\displaystyle H_{\rm {min}}(\rho )=-\max _{0\leq \Pi \leq I}\log \operatorname {tr} (\Pi \rho ).}$$実際、この最大化は明示的に実行でき、最大値は次のような場合に得られます。${\displaystyle \Pi }$は、(いずれかの)最大の固有値への射影です。${\displaystyle \rho }$こうして、最小エントロピーの別の表現式が得られる。$${\displaystyle H_{\rm {min}}(\rho )=-\log \|\rho \|_{\rm {op}},}$$エルミート正定値半正定値演算子の演算子ノルムは、その最大固有値に等しいことを覚えておいてください。

させて$\displaystyle \rho _{AB}}$空間上の二部密度演算子である$\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B}}$最小エントロピー${\displaystyle A}$条件付き${\displaystyle B}$と定義される $${\displaystyle H_{\min }(A|B)_{\rho }\equiv -\inf _{\sigma _{B}}D_{\max }(\rho _{AB}\|I_{A}\otimes \sigma _{B})}$$ ここで、下限値はすべての密度演算子にわたって変化する。$\displaystyle \sigma _{B}}$宇宙で$\displaystyle {\mathcal {H}}_{B}}$. 測定${\displaystyle D_{\max }}$最大相対エントロピーは次のように定義される。 $${\displaystyle D_{\max }(\rho \|\sigma )=\inf _{\lambda }\{\lambda$$ :\rho \leq 2^{\lambda }\sigma \}} 滑らかな最小エントロピーは、最小エントロピーによって定義されます。 $${\displaystyle H_{\min }^{\epsilon }(A|B)_{\rho }=\sup _{\rho '}H_{\min }(A|B)_{\rho '}}$$ ここで、supとinfは密度演算子の範囲である。${\displaystyle \rho '_{AB}}$それは${\displaystyle \epsilon }$近い${\displaystyle \rho _{AB}}$この尺度は${\displaystyle \epsilon }$-closeは精製された距離の観点から定義される $${\displaystyle P(\rho ,\sigma )={\sqrt {1-F(\rho ,\sigma )^{2}}}}$$ どこ${\displaystyle F(\rho ,\sigma )}$これは忠実度指標です。

これらの量は、フォン・ノイマンエントロピーの一般化と見なすことができる。実際、フォン・ノイマンエントロピーは次のように表すことができる。 $${\displaystyle S(A|B)_{\rho }=\lim _{\epsilon \to 0}\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}H_{\min }^{\epsilon }(A^{n}|B^{n})_{\rho ^{\otimes n}}~.}$$ これは完全量子漸近等分配定理と呼ばれます。^{[ 3 ]} 平滑化されたエントロピーは、フォン・ノイマン・エントロピーと多くの興味深い特性を共有しています。たとえば、平滑化された最小エントロピーは、データ処理の不等式を満たします。^{[ 4 ]}$${\displaystyle H_{\min }^{\epsilon }(A|B)_{\rho }\geq H_{\min }^{\epsilon }(A|BC)_{\rho }~.}$$

今後は添え字を省略します${\displaystyle \rho }$文脈からどの状態が評価されているかが明らかな場合は、最小エントロピーから。

• フォン・ノイマンエントロピー
• 一般化相対エントロピー
• 最大エントロピー