削除不可能定理

物理学において、量子情報理論の削除不可定理は、一般に、任意の量子状態のコピーが 2 つ与えられた場合、コピーの 1 つを削除することは不可能であるという不可避定理です。これは、任意の状態をコピーできないという複製不可定理^{[1] [2]}の時間反転双対です。これは、 Arun K. PatiとSamuel L. Braunsteinによって証明されました。^[3]直感的には、情報がユニタリー進化の下で保存されるためです。^[4]

この定理は注目に値すると思われます。なぜなら、多くの意味で量子状態は脆弱である一方、特定の場合には量子状態は堅牢でもあると主張しているからです。

削除不可定理は、複製不可定理とともに、量子力学のカテゴリー理論、特にダガー対称モノイドカテゴリーとしての解釈の基礎となっている。^{[5] [6]}この定式化は、カテゴリー量子力学として知られ、量子情報理論の論理として量子力学から線形論理への接続を可能にする（古典論理がデカルトの閉カテゴリーに基づいているのと全く同じである）。

未知の量子状態のコピーが 2 つあるとします。この文脈で適切な質問は、2 つの同一のコピーがある場合、量子力学的操作を使用してそのうちの 1 つを削除できるかどうかです。削除できないことが分かりました。削除不可定理は、量子力学の線形性の結果です。複製不可定理と同様に、これは量子コンピューティング、量子情報理論、および量子力学全般に重要な意味を持ちます。

量子削除のプロセスでは、入力ポートで任意の未知の量子状態のコピーを 2 つ取得し、元の状態とともに空白の状態を出力します。数学的には、これは次のように記述できます。

${\displaystyle U|\psi \rangle _{A}|\psi \rangle _{B}|A\rangle _{C}=|\psi \rangle _{A}|0\rangle _{B}|A '\rangle _{C}}$

ここで、はユニタリ演算子、は未知の量子状態、は空白状態、は削除マシンの初期状態、はマシンの最終状態です。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle |\psi \rangle _{A}}$${\displaystyle |0\rangle _{B}}$${\displaystyle |A\rangle _{C}}$${\displaystyle |A'\rangle _{C}}$

古典的なビットはコピーしたり削除したりすることができ、直交状態の量子ビットも同様にコピーしたり削除したりできることに留意してください。たとえば、2 つの同一の量子ビット がある場合、およびに変換できます。この場合、2 番目のコピーが削除されています。ただし、量子論の線形性から、任意の状態 に対して削除操作を実行できる は存在しないことがわかります。 ${\displaystyle |00\rangle }$${\displaystyle |11\rangle }$${\displaystyle |00\rangle }$${\displaystyle |10\rangle }$${\displaystyle U}$${\displaystyle |\psi \rangle }$

系のヒルベルト空間が 3 つ与えられ、系のヒルベルト空間は同一である。 ${\displaystyle A,B,C}$${\displaystyle A,B}$

がユニタリ変換であり、 が補助状態である場合、補助状態の最終状態は に依存する可能性があり、マップが等長埋め込みである という意味で、 はスワップ操作です。${\displaystyle U}$${\displaystyle |A\rangle _{C}}$$${\displaystyle U|\psi \rangle _{A}|\psi \rangle _{B}|A\rangle _{C}=|\psi \rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_ {\psi }\rangle _{C},\quad \forall |\psi \rangle }$$${\displaystyle |A_{\psi}\rangle_{C}}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle U}$${\displaystyle |\psi \rangle _{A}\mapsto |A_{\psi }\rangle _{C}}$

この定理は、任意の次元のヒルベルト空間における量子状態に対して成立する。簡単にするために、2つの同一の量子ビットの削除変換を考える。2つの量子ビットが直交状態にある場合、削除には次のことが求められる。

${\displaystyle |0\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A\rangle _{C}\rightarrow |0\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_{0} \rangle _{C}}$、

${\displaystyle |1\rangle _{A}|1\rangle _{B}|A\rangle _{C}\rightarrow |1\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_{1} \rangle _{C}}$。

を未知の量子ビットの状態とする。未知の量子ビットのコピーが2つある場合、削除変換の線形性により、 ${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle _{A}|\psi \rangle _{B}|A\rangle _{C}=[\alpha ^{2}|0\rangle _{A}|0\rangle _ {B}+\beta ^{2}|1\rangle _{A}|1\rangle _{B}+\alpha \beta (|0\rangle _{A}|1\rangle _{B}+|1\rangle _{A}|0\rangle _{B})]|A\rangle _{C}}$

${\displaystyle \qquad \rightarrow \alpha ^{2}|0\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_{0}\rangle _{C}+\beta ^{2}|1\ rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_{1}\rangle _{C}+{\sqrt {2}}\alpha \beta |\Phi \rangle _{ABC}。}$

上記の式では、次の変換が使用されています。

${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}(|0\rangle _{A}|1\rangle _{B}+|1\rangle _{A}|0\rangle _{B})|A\ rangle _{C}\rightarrow |\Phi \rangle _{ABC}.}$

しかし、コピーを削除できる場合、削除マシンの出力ポートでは、結合された状態は次のようになります。

${\displaystyle |\psi \rangle _{A}|0\rangle _{B}|A'\rangle _{C}=(\alpha |0\rangle _{A}|0\rangle _{B}+ \beta |1\rangle _{A}|0\rangle _{B})|A'\rangle _{C}}$。

一般的に、これらの状態は同一ではないため、マシンはコピーを削除できないと言えます。最終的な出力状態が同じであることを要求する場合、選択肢は 1 つしかないことがわかります。

${\displaystyle |\Phi \rangle =1/{\sqrt {2}}(|0\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_{1}\rangle _{C}+|1\ラングル _{A}|0\ラングル _{B}|A_{0}\ラングル _{C}),}$

そして

${\displaystyle |A'\rangle _{C}=\alpha |A_{0}\rangle _{C}+\beta |A_{1}\rangle _{C}.}$

補助関数の最終状態は のすべての値に対して正規化されるため、と は直交している必要があります。これは、量子情報が補助関数の最終状態にあることを意味します。補助関数のヒルベルト空間でのローカル操作を使用して、補助関数の最終状態から常に未知の状態を取得できます。したがって、量子理論の線形性により、未知の量子状態を完全に削除することはできません。 ${\displaystyle |A'\rangle }$${\displaystyle \alpha ,\beta }$${\displaystyle |A_{0}\rangle _{C}}$${\displaystyle |A_{1}\rangle _{C}}$

• 未知の量子状態を削除することが可能であれば、2 組のEPR状態を使用して、光よりも速く信号を送信できます。したがって、削除不可定理の違反は、信号送信不可条件と矛盾します。
• 複製不可定理と削除不可定理は量子情報の保存を示唆しています。
• 複製不可定理と削除不可定理のより強力なバージョンは、量子情報の永続性を提供します。コピーを作成するには、宇宙のどこかから情報をインポートする必要があり、状態を削除するには、それが存在し続ける宇宙の別の部分にそれをエクスポートする必要があります。

• 非放送定理
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• 非通信定理
• 非隠蔽定理^[7]
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