量子ノイズ

量子ノイズは、量子力学の基本原理、具体的には不確定性原理に従って、ゼロ点エネルギー変動を介して物質の不確定状態から生じるノイズです。量子ノイズは、電子などの小さな量子構成要素の明らかに離散的な性質、および光電流などの量子効果の離散的な性質に起因します。

定量化されたノイズは古典的なノイズ理論に似ており、必ずしも非対称のスペクトル密度を返すわけではありません。^{[1] [説明が必要]}

^{J. Verdeyen [2]}によって造られたショットノイズは、光子計数の統計、電子の離散的性質、電子機器の固有のノイズ生成に関連する量子ノイズの一種です。ショットノイズとは対照的に、^{[説明が必要]}量子力学の不確定性原理は測定の下限を設定します。不確定性原理では、増幅器や検出器にはノイズが存在することが求められます。^[1]

量子現象のマクロ的な現れは容易に乱されるため、量子ノイズは主に、従来のノイズ源が抑制されているシステムで観察されます。一般に、ノイズは予測値から制御されていないランダムな変動であり、通常は不要です。一般的な原因は、熱変動、機械的振動、産業ノイズ、電源からの電圧変動、ブラウン運動による熱ノイズ、計測ノイズ、目的の動作モードから外れたレーザーの出力モードなどです。存在する場合、慎重に制御されない限り、通常、これらの他のノイズ源が量子ノイズを支配し、覆い隠します。

天文学において、量子ノイズの限界に挑戦する装置がLIGO 重力波 観測所です。

量子ノイズは、光子の散乱から原子の位置を測定するハイゼンベルク顕微鏡を例に挙げて説明することができます。不確定性原理は次のように表されます。

$${\displaystyle \Delta x_{imp}\Delta p_{BA}\gtrsim \hbar .}$$

ここで、 は原子の位置の不確実性であり、 は量子限界に近いときの運動量の不確実性、またはバックアクション（原子に伝達される運動量）と呼ばれることもあります。位置測定の精度は、原子の運動量を知ることで向上できます。位置が十分に正確にわかっている場合、バックアクションは 2 つの方法で測定に影響を及ぼし始めます。まず、極端な場合には、バックアクションによって運動量が測定装置に戻されます。次に、原子の将来の位置に関する将来の知識が減少します。正確で感度の高い計測機器は、十分に制御された環境で不確定性原理に近づきます。 ${\displaystyle \Delta x_{imp}}$${\displaystyle \Delta p_{BA}}$

ノイズは、標準量子限界に近づく精密工学や工学システムにとって実際的な懸念事項です。量子ノイズの典型的な工学的考慮は、量子非破壊測定と量子点接触です。したがって、ノイズを定量化することは有用です。^{[2] [3] [4]信号のノイズは、その}自己相関のフーリエ変換 として定量化されます。信号の自己相関は として与えられ、 これは信号が異なる時間および で正、負、または相関していないときを測定します。時間平均 はゼロで、 は電圧信号です。そのフーリエ変換 は、 有限の時間ウィンドウにわたって電圧を測定するためです。ウィーナー・ヒンチンの定理は、一般に、ノイズのパワースペクトルは信号の自己相関として与えられると述べています。つまり、 $${\displaystyle G_{vv}(tt')=\langle V(t)V(t')\rangle ,}$$${\displaystyle t}$${\displaystyle t'}$${\displaystyle \langle V(t)\rangle }$${\displaystyle V(t)}$$${\displaystyle V(\omega )={\frac {1}{\sqrt {T}}}\int _{0}^{T}V(t)e^{i\omega t}dt}$$$${\displaystyle S_{vv}(\omega )=\int _{-\infty }^{+\infty }e^{i\omega t}G_{vv}dt=\int _{-\infty }^{+\infty }e^{i\omega t}\langle |V(\omega )|^{2}\rangle dt}$$

上記の関係はパワースペクトルまたはスペクトル密度と呼ばれることもあります。上記の概要では、

• ノイズは定常であり、確率は時間の経過とともに変化しません。時間差のみが重要です。
• ノイズは変動する電荷の数が非常に多いために発生するため、中心極限定理が適用され、つまりノイズはガウス分布または正規分布になります。
• ${\displaystyle G_{vv}}$しばらくすると急速にゼロに減少します。${\displaystyle \tau _{c}}$
• 十分に長い時間 にわたってサンプリングを行うと、積分はランダムウォーク としてスケールします。したがって、 は の測定時間に依存しません。${\displaystyle T}$${\displaystyle {\sqrt {T}}}$${\displaystyle V(\omega )}$${\displaystyle T\gg \tau _{c}}$
  別の言い方をすると、となります。${\displaystyle G_{vv}(t-t')\to 0}$${\displaystyle |t-t'|\gg \tau _{c}}$

ある時間にわたる電圧の有限の測定に対応する理想的な「トップハット」信号は、 sinc 関数として スペクトル全体にわたってノイズを生成することがわかります。古典的なケースでも、ノイズは生成されます。

量子ノイズを研究するには、対応する古典的な測定値を量子演算子に置き換えます。たとえば、 ここではハイゼンベルク図の 密度行列を使用した量子統計平均です。$${\displaystyle S_{xx}(\omega )=\int _{-\infty }^{+\infty }e^{i\omega t}\langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle dt,}$$${\displaystyle \langle \cdot \rangle }$

ハイゼンベルクの不確定性はノイズの存在を意味する。^[5]エルミート共役の演算子は関係式 に従う。 をと定義する。ここでは実数である。と は量子演算子である。以下を示すことができる。 ${\displaystyle AA^{\dagger }\geq 0}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A=\delta x+\lambda e^{i\theta }\delta y}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

$${\displaystyle \langle \delta x^{2}\rangle \langle \delta y^{2}\rangle \geq {\frac {1}{4}}|\langle [\delta x,\delta y]\rangle |^{2}+|\langle [\delta x,\delta y]_{+}\rangle |^{2}}$$ ここで、 は波動関数の平均値とその他の統計特性です。 左側の項はと の不確実性で、右側の 2 番目の項は または の共分散で、外部ソースまたは量子効果との結合から生じます。 右側の最初の項は交換子関係に対応し、 x と y が交換されると打ち消されます。 これが量子ノイズの原因です。 ${\displaystyle \langle \cdot \rangle }$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \langle \delta x\delta y+\delta y\delta x\rangle }$

と を、よく知られた交換関係 を満たす位置と運動量に対応させることは証明的です。すると、新しい表現は次のようになります。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle [x,p]=i\hbar }$

$${\displaystyle \Delta x\Delta y\geq {\sqrt {{\frac {1}{4}}\hbar ^{2}+\sigma _{xy}^{2}}}}$$

ここで は相関関係です。右側の 2 番目の項が消えると、ハイゼンベルクの不確定性原理が再現されます。 ${\displaystyle \sigma _{xy}}$

質量、周波数の単純な調和振動子の運動を、システムを平衡に保つ熱浴と結合して考える。運動方程式は次のように与えられる。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle \Omega }$

$${\displaystyle x(t)=x(0)\cos(\Omega t)+p(0){\frac {1}{M\Omega }}\sin(\Omega t)}$$

量子自己相関は、

$${\displaystyle {\begin{aligned}G_{xx}&=\langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle \\&=\langle {\hat {x}}(0){\hat {x}}(0)\rangle \cos(\Omega t)+\langle {\hat {p}}(0){\hat {x}}(0)\rangle \sin(\Omega t)\end{aligned}}}$$

古典的には、位置と運動量の間には相関関係はありません。不確定性原理では、第2項がゼロでないことが求められます。これは になります。等分配定理、つまり平衡状態ではエネルギーが分子/原子間で均等に分配されるという事実、熱平衡状態の自由度、つまり ${\displaystyle i\hbar /2}$

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}M\Omega ^{2}\langle x^{2}\rangle ={\frac {1}{2}}k_{\text{B}}T}$$

古典的な自己相関では、

$${\displaystyle G_{xx}={\frac {k_{\text{B}}T}{M\Omega ^{2}}}\cos(\Omega t)\to S_{xx}(\omega )=\pi {\frac {k_{\text{B}}T}{M\Omega ^{2}}}[\delta (\omega -\Omega )+\delta (\omega +\Omega )]}$$

一方、量子自己相関では

$${\displaystyle G_{xx}=\left({\frac {\hbar }{2M\Omega }}\right)\left\{n_{BE}(\hbar \Omega )e^{i\Omega t}+[n_{BE}(\hbar \Omega )+1]e^{-i\Omega t}\right\}\to S_{xx}(\omega )=2\pi \left({\frac {\hbar }{2M\Omega }}\right)[n_{BE}(\hbar \Omega )\delta (\omega -\Omega )+[n_{BE}(\hbar \Omega )+1]\delta (\omega +\Omega )]}$$

ここで、括弧内の分数項はゼロ点エネルギーの不確実性です。 はボーズ・アインシュタイン分布です。虚数自己相関により、量子は で非対称であることに注意してください。 温度を高くすると、 は の極限を取ることに対応します。 量子が古典 に近づくことを示すことができます。 これにより、${\displaystyle n_{BE}}$${\displaystyle S_{xx}}$${\displaystyle k_{B}T\gg \hbar \Omega }$${\displaystyle S_{xx}}$${\textstyle n_{BE}\approx n_{BE}+1\approx {\frac {k_{\text{B}}T}{\hbar \Omega }}}$

通常、スペクトル密度の正の周波数は振動子へのエネルギーの流れ（たとえば、光子の量子化されたフィールド）に対応し、負の周波数は振動子から放出されるエネルギーに対応します。物理的には、非対称のスペクトル密度は、振動子モデルからのエネルギーの正味の流れ、または振動子モデルへのエネルギーの正味の流れのいずれかに対応します。

ほとんどの光通信では、量子ノイズが主にショットノイズである振幅変調が使用されています。レーザーの量子ノイズは、ショットノイズを考慮しない場合、その電界の振幅と位相の不確実性です。その不確実性は、量子増幅器が位相を保存するときに観測可能になります。位相ノイズは、周波数変調または位相変調のエネルギーが信号のエネルギーに匹敵する場合に重要になります (振幅変調に固有の付加ノイズのため、周波数変調は振幅変調よりも堅牢です)。

理想的なノイズのないゲインは存在しません。^[6]光子の流れの増幅、理想的な線形ノイズのないゲイン、およびエネルギーと時間の不確定性関係を考慮してください。

$${\displaystyle \Delta E\Delta t\gtrsim \hbar /2}$$

光子は、周波数の不確実性を無視すると、全体的な位相と数に不確実性を持ち、既知の周波数、つまり、およびを仮定します。これらの関係をエネルギーと時間の不確実性方程式に代入して、数と位相の不確実性関係、または位相と光子の数の不確実性を求めることができます。 ${\displaystyle \Delta \phi =2\pi \nu \Delta t}$${\displaystyle \Delta E=h\nu \Delta n}$$${\displaystyle \Delta n\Delta \phi >1/2}$$

理想的な線形ノイズなしゲイン が光子ストリームに作用するとします。また、量子効率が1 であると仮定します。つまり、すべての光子が光電流に変換されます。ノイズが追加されていない場合の出力は次のようになります。 ${\displaystyle G}$

$${\displaystyle n_{0}\pm \Delta n_{0}\to Gn_{0}\pm G\Delta n_{0}}$$

フェーズも変更されます。

$${\displaystyle \phi _{0}\pm \Delta \phi _{0}\to \phi _{0}+\theta +\Delta \phi _{0},}$$ ここで、は光子がゲイン媒体を通過する際の全体的な累積位相です。出力ゲインと位相の不確実性を代入すると、次の式が得られます。 ${\displaystyle \theta }$$${\displaystyle \Delta n_{0}\Delta \phi _{0}>1/2G.}$$

ゲインは であり、これは不確定性原理と矛盾しています。したがって、線形ノイズレス増幅器は、ノイズなしで信号を増やすことはできません。H. Heffner による詳細な分析では、ハイゼンベルクの不確定性原理を満たすために必要な最小ノイズ電力出力は次のように表されることが示されました^[7]。 ここで、 は最大値の半分における全幅 の半分、光子の周波数、 はプランク定数です。 の項は、量子ノイズと呼ばれることもあります^[6]${\displaystyle G>1}$ $${\displaystyle P_{n}=h\nu B(G-1)}$$${\displaystyle B}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle h}$${\displaystyle h\nu B_{0}/2}$${\displaystyle B_{0}=2B}$

高度に安定化されたレーザーと効率的な検出器を備えた精密光学において、量子ノイズは信号の変動を指します。

光子測定の離散的特性による位置の干渉測定のランダム誤差は、別の量子ノイズです。プローブ顕微鏡におけるプローブの位置の不確実性も量子ノイズに起因する可能性がありますが、解像度を支配する主なメカニズムではありません。

電気回路では、電子の離散的な特性による信号のランダムな変動は量子ノイズと呼ばれることがあります。^[8] S. Saraf らによる実験 ^[9]では、 量子ノイズ測定のデモンストレーションとしてショットノイズ制限測定が示されました。一般的に言えば、彼らは Nd:YAG 自由空間レーザーを、線形増幅から非線形増幅に移行する際のノイズ追加を最小限に抑えて増幅しました。この実験では、レーザーモードノイズをフィルタリングして周波数を選択するためのファブリペロー、相関のないビームを確保するための 2 つの別個の同一のプローブビームと飽和ビーム、ジグザグスラブゲイン媒体、および量子ノイズまたはショットノイズ制限ノイズを測定するためのバランス検出器が必要でした。

光子統計のノイズ解析理論（順方向コルモゴロフ方程式と呼ばれることもある）は、下田らによるマスターズ方程式から始まる^{[10] 。}

$${\displaystyle {\frac {dP_{n}}{dx}}=a[nP_{n-1}-(n+1)P_{n}]+b[(n+1)P_{n+1}-nP_{n}]}$$

ここで、 は放射断面積 と上限ポピュレーション数の積 に対応し、 は吸収断面積 です。上記の関係は、放射モード で光子が見つかる確率を説明しています。光子が励起状態と基底状態の原子の媒体を通って位置 からまで移動するときのダイナミクスは、隣接モード と のみを考慮します。これにより、1 つの光子エネルギー レベルに関連付けられた合計4 つの光子遷移が得られます。2 つの光子が場に加わって原子を離れ、2つの光子が場から出て原子とになります。そのノイズ パワーは次のように与えられます。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle \sigma _{e}N_{2}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \sigma _{a}N_{1}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle |n\rangle }$${\displaystyle |n+1\rangle }$${\displaystyle |n-1\rangle }$${\displaystyle x}$${\displaystyle x+dx}$${\displaystyle |n-1\rangle \to |n\rangle }$${\displaystyle |n\rangle \to |n+1\rangle }$${\displaystyle |n+1\rangle \to |n\rangle }$${\displaystyle |n\rangle \to |n-1\rangle }$

$${\displaystyle P_{d}^{2}=P_{\text{shot}}^{2}[1+2f_{sp}\eta (G-1)]}$$

どこ、

• ${\displaystyle P_{d}}$検出器の電力は
• ${\displaystyle P_{\text{shot}}}$パワー制限ショットノイズは、
• ${\displaystyle G}$不飽和ゲインは飽和ゲインにも当てはまる。
• ${\displaystyle \eta }$効率係数です。これは、光検出器への透過ウィンドウ効率と量子効率の積です。
• ${\displaystyle f_{sp}}$は自然放出係数であり、通常は自然放出と誘導放出の相対的な強さに対応する。値が1の場合、ドープされたイオンはすべて励起状態にあることを意味する。^[11]

Sarifらは、理論と一致する広範囲の電力ゲインにわたって量子ノイズまたはショットノイズ制限の測定を実証しました。

ゼロ点エネルギー変動の存在は、量子化電磁場の理論で十分に確立されています。^[12] 一般的に言えば、全空間に浸透する量子化場（つまり、場のモードが真空状態にある）の最低エネルギー励起では、場の強度の二乗平均平方根変動はゼロではありません。これにより、全空間に浸透する真空変動が説明されます。

この真空の揺らぎまたは量子ノイズは、古典的システムに影響を及ぼします。これは、エンタングルメント システムにおける量子デコヒーレンスとして現れ、通常はエンタングルメントされた各粒子を取り巻く条件における熱的差異に起因します。^{[説明が必要]}エンタングルメントは、たとえばエンタングルメントされた光子の単純なペアで集中的に研究されているため、実験で観察されるデコヒーレンスは、デコヒーレンスの原因に関する「量子ノイズ」と同義である可能性があります。真空の揺らぎは、エネルギーの量子が特定のフィールドまたは時空に自発的に出現する可能性のある原因であるため、熱的差異はこのイベントに関連している必要があります。したがって、イベントの近くのエンタングルメント システムではデコヒーレンスが発生します。^{[疑わしい–議論]}

レーザーは光のコヒーレント状態、つまり調和振動子の固有状態の重ね合わせによって記述される。エルヴィン・シュレーディンガーは1926年に初めてシュレーディンガー方程式の対応原理を満たすコヒーレント状態を導出した。 ^[12]

レーザーは量子力学的現象です（マクスウェル・ブロッホ方程式、回転波近似、2 準位原子の半古典的モデルを参照）。人口準位に関心があり、人口量子コヒーレンス（密度行列の非対角項）を考慮する必要がない場合は、アインシュタイン係数とレーザー速度方程式で十分です。10 ^{8程度の光子は中程度のエネルギーに相当します。量子ノイズによる強度測定の相対誤差は 10 −5}程度です。これは、ほとんどの用途で良好な精度であると考えられています。

量子増幅器は量子限界に近い状態で動作する増幅器である。量子ノイズは小信号を増幅するときに重要になる。小信号の直交位相における量子不確実性も増幅され、これが増幅器の下限を設定する。量子増幅器のノイズは出力振幅と位相である。一般に、レーザーは中心波長の周りの波長範囲、モード分布、偏光分布にわたって増幅される。しかし、単一モード増幅を考えて、多くの異なるモードに一般化することもできる。位相不変増幅器は、出力位相モードを大幅に変更することなく、入力ゲインの位相を維持する。 ^[13]

量子増幅は、D. Kouznetsov の 1995 年の論文に記載されているように、ユニタリ演算子、で表すことができます。 ${\displaystyle A_{\text{out}}=U^{\dagger }A_{\text{in}}U}$

• 量子エラー訂正
• 量子光学
• 量子限界
• ショットノイズ
• 量子調和振動子

• Clerk, Aashish A.量子ノイズと量子測定。オックスフォード大学出版局。
• Clerk, Aashish A.、et al.量子ノイズ、測定、増幅入門、Reviews of Modern Physics 82、1155-1208。
• ガーディナー、CW およびゾラー、P.量子ノイズ：量子光学への応用を伴うマルコフおよび非マルコフ量子確率法のハンドブック、シュプリンガー、2004、978-3540223016

• CW GardinerとPeter Zoller、「量子ノイズ：量子光学への応用を伴うマルコフおよび非マルコフ量子確率法のハンドブック」、Springer-Verlag (1991、2000、2004)。