交流電源

電気回路において、瞬時電力とは、回路の特定点を通過するエネルギーの流れの時間変化率のことです。交流回路では、インダクタやコンデンサなどのエネルギー蓄積要素によって、エネルギーの流れの方向が周期的に反転することがあります。SI単位はワットです。

交流波形の完全なサイクルにわたって平均すると、一方向に正味のエネルギー伝達をもたらす瞬時電力の部分を瞬時有効電力といい、その時間平均を有効電力 または実電力といいます。^{[ 1 ] : 3}エネルギーの正味伝達をもたらさず、蓄積されたエネルギーのために各サイクルで電源と負荷の間で振動する瞬時電力の部分を瞬時無効電力といい、その振幅は無効電力の絶対値です。^{[ 2 ] [ 1 ] : 4}

定常状態にある単純な交流（AC）回路（電源と線形時不変負荷から構成される）では、電流と電圧はどちらも同じ固定周波数の正弦波であり、次のように表されます。 ^{[ 3 ] [ 4 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}v(t)&={\sqrt {2}}{|V|}\cos(\omega t)={\mathfrak {Re}}\{{\sqrt {2}}{|V|}e^{j\omega t}\}={\mathfrak {Re}}\{{\sqrt {2}}Ve^{j\omega t}\}&&{\text{with}}&V&={|V|}={|V|}\angle 0\\i(t)&={\sqrt {2}}{|I|}\cos(\omega t-\varphi )={\mathfrak {Re}}\{{\sqrt {2}}{|I|}e^{j(\omega t-\varphi )}\}={\mathfrak {Re}}\{{\sqrt {2}}Ie^{j\omega t}\}&&{\text{with}}&I&={|I|}e^{-j\varphi }={|I|}\angle {-\varphi }\end{aligned}}}$$ と${\displaystyle |V|}$そして${\displaystyle |I|}$RMS 、​${\displaystyle V}$そして${\displaystyle I}$フェーザと​${\displaystyle \varphi }$電圧と電流の間の位相差。瞬時電力は次の積で与えられる。 $${\displaystyle p(t)=v(t)i(t)=2{|V|}{|I|}\cos(\omega t)\cos(\omega t-\varphi ).}$$ 負荷が純粋な抵抗性である場合、2つの量は同時に極性を反転します。したがって、瞬時電力は常に正であり、エネルギーの流れの方向は反転せず、常に抵抗器の方向になります。この場合、有効電力のみが伝達されます。

負荷が純粋にリアクティブである場合、電圧と電流は 90 度位相がずれます。各サイクルの 2 分の 1 では、電圧と電流の積は正ですが、残りの 2 分の 1 では、積は負になります。これは、平均して負荷に流入するエネルギーと流出するエネルギーがちょうど同じであることを示しています。各半サイクルで正味のエネルギーの流れはありません。この場合、リアクティブ電力のみが流れます。負荷への正味のエネルギー伝達はありませんが、電力は電線に沿って流れ、同じ電線に沿って逆方向に流れることで戻ります。このリアクティブ電力の流れに必要な電流は、理想的な負荷デバイスがそれ自体でエネルギーを消費しない場合でも、線路抵抗でエネルギーを消費します。実際の負荷には抵抗とインダクタンスまたは容量があるため、通常の負荷にはアクティブ電力とリアクティブ電力の両方が流れます。

皮相電力は、電圧と電流の実効値の積です。皮相電力は、電力系統の設計と運用において考慮されます。なぜなら、無効電力に関連する電流は負荷で仕事をしませんが、それでも電源から供給されなければならないからです。導体、変圧器、発電機は、有効な仕事をする電流だけでなく、総電流を流せるように設計する必要があります。無効電力が不足すると、電力系統の電圧レベルが低下し、特定の運転条件下ではネットワークが崩壊（停電）する可能性があります。また、2つの負荷の皮相電力を足し合わせても、電流と電圧の位相差（力率）が同じでない限り、正確な総電力は得られません。

従来、コンデンサは無効電力を発生させるものとして、インダクタは無効電力を消費するものとして扱われてきました。コンデンサとインダクタを並列に接続すると、コンデンサとインダクタを流れる電流は加算されるのではなく、相殺される傾向があります。これが電力伝送における力率制御の基本的なメカニズムです。コンデンサ（またはインダクタ）は、負荷によって「消費」（「発生」）される無効電力を部分的に補償するために回路に挿入されます。純粋な容量性回路は、電流波形が電圧波形より90 度進んでいる状態で無効電力を供給し、純粋な誘導性回路は、電流波形が電圧波形より90 度遅れている状態で無効電力を吸収します。この結果、容量性回路要素と誘導性回路要素は互いに相殺される傾向があります。^{[ 5 ]}

エンジニアは、システム内のエネルギーの流れを説明するために以下の用語を使用し（そして、それらを区別するためにそれぞれ異なる単位を割り当てます）。

• 有効電力、^{[ 6 ]} P、または実効電力：^{[ 7 ]}ワット（W）
• 無効電力、Q：ボルトアンペア無効電力（var）
• 複素電力、S：ボルトアンペア（VA）
• 皮相電力、| S |：複素電力Sの大きさ：ボルトアンペア（VA）
• 電流に対する電圧の位相、φ：電流と電圧の差の角度（度）。${\displaystyle \varphi =\arg(V)-\arg(I)}$電流遅れ電圧（第1象限ベクトル）、電流進み電圧（第4象限ベクトル）。

これらはすべて、隣接する図（パワートライアングルと呼ばれる）に示されています。

図において、Pは有効電力、Qは無効電力（この場合は正）、Sは複素電力、Sの長さは皮相電力を表します。無効電力は仕事をしないため、ベクトル図の虚軸として表されます。有効電力は仕事をするため、実軸として表されます。

電力の単位はワット（記号：W）です。皮相電力は実効電圧と実効電流の積であるため、ボルトアンペア（VA）で表されることがよくあります。無効電力の単位はvarで、これはボルトアンペアリアクティブの略です。無効電力は負荷に正味のエネルギーを伝達しないため、「ワットレス」電力と呼ばれることもあります。しかし、電力網では重要な役割を果たしており、その不足は2003年の北東部大停電の大きな要因として挙げられています。^{[ 8 ]}これら3つの量間の関係を理解することが、電力工学を理解する上で中心となります。これらの間の数学的な関係は、ベクトルで表すか、複素数S = P + j Q （ jは虚数単位）を使用して表すことができます。     

フェーザ形式における複素電力（単位：VA）の式は次のとおりです。

${\displaystyle S=VI^{*}={|V|}{|I|}\angle \varphi ={|S|}\angle \varphi }$、

どこ${\displaystyle V}$そして${\displaystyle I}$はそれぞれ複素数値の電圧と電流であり、振幅を実効値としてフェーザ形式で表されます。また、慣例として、Iの複素共役が使用され、それは と表記されます。${\displaystyle I^{*}}$（または${\displaystyle {\overline {I}}}$）ではなく、I自体ではなく、VI を使用します。これは、そうでなければ、積 VI を使用して S を定義すると、V または I に選択された基準角度に依存する量になりますが、S を VI* として定義すると、基準角度に依存しない量になり、S を P および Q に関連付けることができるためです。^{[ 9 ]}

その他の複素電力（単位はボルトアンペア、VA）は、負荷インピーダンスZ（単位はオーム、Ω）から導出されます。

${\displaystyle S={|I|}^{2}Z={\frac {|V|^{2}}{Z^{*}}}}$。

したがって、電力三角形を参照すると、実効電力（単位：ワット、W）は次のように導出される。

${\displaystyle P={|S|}\cos {\varphi }={|I|}^{2}R={\frac {|V|^{2}}{|Z|^{2}}}\times {R}}$。

純粋な抵抗負荷の場合、実効電力は次のように簡略化できます。

${\displaystyle P={\frac {|V|^{2}}{R}}}$。

Rは負荷の抵抗値（単位はオーム、Ω）を表す。

無効電力（単位：ボルトアンペア無効電力、var）は次のように算出されます。

${\displaystyle Q={|S|}\sin {\varphi }={|I|}^{2}X={\frac {|V|^{2}}{|Z|^{2}}}\times {X}}$。

純粋に無効電力のみの負荷の場合、無効電力は次のように簡略化できます。

${\displaystyle Q={\frac {|V|^{2}}{X}}}$、

ここで、Xは負荷のリアクタンス（単位はオーム、Ω）を表す。

これらを組み合わせると、複素電力（単位はボルトアンペア、VA）は次のように逆算されます。

${\displaystyle S=P+jQ}$、

そして皮相電力（単位はボルトアンペア、VA）は

${\displaystyle {|S|}={\sqrt {P^{2}+Q^{2}}}}$。

これらは、べき乗三角形によって図式的に簡略化される。

回路における有効電力と皮相電力の比を力率と呼びます。同じ量の有効電力を伝送する2つのシステムの場合、力率が低いシステムでは、負荷に蓄えられたエネルギーが電源に戻るため、循環電流が大きくなります。これらの大きな電流は損失を大きくし、全体の伝送効率を低下させます。力率が低い回路では、同じ量の有効電力に対して皮相電力と損失が大きくなります。電圧と電流が同相の場合、力率は1.0です。電流が電圧に対して90度進んでいるか遅れている場合、力率は0です。電圧と電流が180度ずれている場合、力率は-1となり、負荷は電源にエネルギーを供給しています（例としては、太陽光が当たっているときに電力網に電力を供給する屋根に太陽電池が設置された住宅が挙げられます）。力率は通常、電圧に対する電流の位相角の符号を示すために、「進んでいる」または「遅れている」と表記されます。電圧は、電流の角度を比較する基準として指定され、電流は「進み」または「遅れ」の電圧として考えられます。波形が純粋な正弦波の場合、力率は位相角のコサインです（${\displaystyle \varphi }$電流と電圧の正弦波形間の力率。機器のデータシートや銘板では、力率を「${\displaystyle \cos \varphi }$" このため。

例：有効電力は700 Wで、電圧と電流の位相角は 45.6° です。力率はcos(45.6°) = 0.700です。したがって、皮相電力は700 W / cos(45.6°) = 1000 VA となります。

直流回路では、負荷に流れる電力は、負荷を流れる電流と負荷の両端の電位降下の積に比例します。コンデンサやインダクタによって発生する電力は無効電力と呼ばれます。これは、インダクタやコンデンサなどの要素が交流であるため発生します。エネルギーは電源から負荷へ一方向に流れます。交流電力では、電圧と電流はどちらもほぼ正弦波状に変化します。回路にインダクタンスまたは容量があると、電圧と電流の波形は完全に一致しません。電力の流れには 2 つの成分があります。1 つの成分は電源から負荷へ流れ、負荷で仕事を行うことができます。もう 1 つの成分は「無効電力」として知られ、位相角として知られる電圧と電流の間の遅延によって発生し、負荷で有用な仕事を行うことはできません。これは、間違ったタイミングで到着する電流 (遅すぎるか早すぎる) と考えることができます。無効電力を有効電力と区別するために、「無効ボルトアンペア」または var の単位で測定されます。これらの単位はワットに簡略化できますが、実際の仕事出力がないことを示すためにvarのままにされています。

ネットワークの容量性または誘導性要素に蓄積されたエネルギーは、無効電力の流れを生み出します。無効電力の流れは、ネットワーク全体の電圧レベルに大きな影響を与えます。電力システムが許容範囲内で運用されるようにするには、電圧レベルと無効電力の流れを慎重に制御する必要があります。無効電力補償と呼ばれる技術は、送電線から供給される無効電力を減らし、それを負荷の近傍で供給することで、負荷への皮相電力の流れを低減するために使用されます。例えば、誘導性負荷を補償するために、負荷自体の近くに並列コンデンサを設置します。これにより、負荷に必要なすべての無効電力をコンデンサから供給することができ、送電線を介して送電する必要がなくなります。この方法は、同じ量の作業を行うために電力会社が生成する必要のあるエネルギー量を削減するため、エネルギーを節約します。さらに、より細い導体を使用したり、束ねる導体の数を減らしたり、送電鉄塔の設計を最適化したりすることで、より効率的な送電線設計が可能になります。

有効電力と無効電力はどのシステムでも明確に定義されていますが、不平衡多相システムの皮相電力の定義は、電力工学において最も議論の多いトピックの 1 つと考えられています。もともと、皮相電力は単なる性能指標として出現しました。この概念の主な定義は、スタンレーの「誘導コイルにおける遅延現象」（1888 年）とシュタインメッツの「工学の理論的要素」 （1915 年）に帰属します。しかし、三相配電の開発に伴い、皮相電力と力率の定義は不平衡多相システムには適用できないことが明らかになりました。1920 年、「AIEE と全米電気照明協会の特別合同委員会」がこの問題の解決のために会合を開きました。彼らは 2 つの定義を検討しました。

${\displaystyle S_{A}={|S_{\mathrm {a} }|}+{|S_{\mathrm {b} }|}+{|S_{\mathrm {c} }|}}$

${\displaystyle \mathrm {pf} _{A}={P_{\mathrm {a} }+P_{\mathrm {b} }+P_{\mathrm {c} } \over S_{A}}}$、

すなわち、位相の見かけ電力の算術和であり、

${\displaystyle S_{V}={|P_{\mathrm {a} }+P_{\mathrm {b} }+P_{\mathrm {c} }+j(Q_{\mathrm {a} }+Q_{\mathrm {b} }+Q_{\mathrm {c} })|}}$

${\displaystyle \mathrm {pf} _{V}={P_{\mathrm {a} }+P_{\mathrm {b} }+P_{\mathrm {c} } \over S_{V}}}$、

すなわち、三相複素電力の総量の大きさ。

1920年の委員会では合意が得られず、この話題は議論の中心であり続けた。1932年に別の委員会が結成されたが、またしてもこの問題を解決できなかった。彼らの議論の議事録は、AIEEがこれまでに発表した中で最も長く、最も物議を醸すものとなっている。^{[ 11 ]} この議論のさらなる解決は1990年代後半まで実現しなかった。

対称成分理論に​​基づいた新しい定義が、1993年にアレクサンダー・エマニュエルによって、非対称正弦波電圧が供給される不平衡線形負荷に対して提案された。

${\displaystyle S={\sqrt {\left({|V_{\mathrm {a} }^{2}|}+{|V_{\mathrm {b} }^{2}|}+{|V_{\mathrm {c} }^{2}|}\right)\left({|I_{\mathrm {a} }^{2}|}+{|I_{\mathrm {b} }^{2}|}+{|I_{\mathrm {c} }^{2}|}\right)}}}$

${\displaystyle \mathrm {pf} ={P^{+} \over S}}$、

すなわち、線間電圧の二乗和の平方根に線間電流の二乗和の平方根を掛けた値である。 ${\displaystyle P^{+}}$正相電力を表します。

${\displaystyle P^{+}=3{|V^{+}|}{|I^{+}|}\cos {\left(\arg {(V^{+})}-\arg {(I^{+})}\right)}}$

${\displaystyle V^{+}}$は正相電圧フェーザを表し、 ${\displaystyle I^{+}}$は正相電流フェーザを表す。^{[ 11 ]}

完全な抵抗器はエネルギーを蓄積しないので、電流と電圧は同相になります。したがって、無効電力はなく、${\displaystyle P=S}$（受動符号規約を使用）。したがって、完全抵抗器の場合

${\displaystyle P=S=V_{\mathrm {RMS} }I_{\mathrm {RMS} }=I_{\mathrm {RMS} }^{2}R={\frac {V_{\mathrm {RMS} }^{2}}{R}}\,\!}$。

理想的なコンデンサまたはインダクタの場合、正味の電力伝送は発生しないため、すべての電力は無効電力となります。したがって、理想的なコンデンサまたはインダクタの場合、次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}P&=0\\Q&={|S|}=V_{\mathrm {RMS} }I_{\mathrm {RMS} }=I_{\mathrm {RMS} }^{2}{|X|}={\frac {V_{\mathrm {RMS} }^{2}}{|X|}}\end{aligned}}}$。

どこ${\displaystyle X}$これはコンデンサまたはインダクタのリアクタンスです。

もし${\displaystyle X}$はインダクタの場合は正、コンデンサの場合は負と定義され、 SとXから絶対値の符号を取り除くと、

${\displaystyle Q=I_{\mathrm {RMS} }^{2}X={\frac {V_{\mathrm {RMS} }^{2}}{X}}}$。

瞬時電力は次のように定義されます。

${\displaystyle p(t)=v(t)\,i(t)}$、

どこ${\displaystyle v(t)}$そして${\displaystyle i(t)}$これらは時間とともに変化する電圧波形と電流波形である。

この定義は、正弦波か否かを問わず、あらゆる波形に適用できるため有用です。特に、非正弦波波形が頻繁に用いられるパワーエレクトロニクス分野では、この定義が非常に役立ちます。

一般的に、エンジニアは、低周波の電源サイクルであれ、高周波電力変換器のスイッチング周期であれ、一定期間にわたって平均化された有効電力に関心があります。その結果を得る最も簡単な方法は、瞬時計算値を目的の期間にわたって積分することです。

${\displaystyle P_{\text{avg}}={\frac {1}{t_{2}-t_{1}}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}v(t)\,i(t)\,\mathrm {d} t}$。

この平均電力計算方法は、波形の高調波成分に関係なく有効電力を算出します。実際のアプリケーションでは、これはデジタル領域で行われ、実効値と位相を用いて有効電力を決定する場合と比較して、計算は非常に簡単になります。

${\displaystyle P_{\text{avg}}={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}V[k]I[k]}$。

実効値はどの波形でも計算できるため、そこから皮相電力を計算できます。有効電力については、一見すると多くの積項を計算して平均する必要があるように思えます。しかし、これらの積項の1つを詳しく見てみると、非常に興味深い結果が得られます。

${\displaystyle {\begin{aligned}&A\cos(\omega _{1}t+k_{1})\cos(\omega _{2}t+k_{2})\\={}&{\frac {A}{2}}\cos \left[\left(\omega _{1}t+k_{1}\right)+\left(\omega _{2}t+k_{2}\right)\right]+{\frac {A}{2}}\cos \left[\left(\omega _{1}t+k_{1}\right)-\left(\omega _{2}t+k_{2}\right)\right]\\={}&{\frac {A}{2}}\cos \left[\left(\omega _{1}+\omega _{2}\right)t+k_{1}+k_{2}\right]+{\frac {A}{2}}\cos \left[\left(\omega _{1}-\omega _{2}\right)t+k_{1}-k_{2}\right]\end{aligned}}}$

しかし、 ωがゼロでない限り、cos( ωt + k )の形の関数の時間平均はゼロになります。したがって、平均がゼロでない積項は、電圧と電流の周波数が一致するものだけです。言い換えれば、各周波数を個別に扱い、結果を合計するだけで、有効電力（平均電力）を計算することができます。さらに、主電源の電圧が単一の周波数であると仮定すると（通常はそうですが）、高調波電流は好ましくないことがわかります。高調波電流は実効電流（ゼロでない項が追加されるため）と皮相電力を増加させますが、伝送される有効電力には影響を与えません。したがって、高調波電流は力率を低下させます。高調波電流は、デバイスの入力に配置されたフィルタによって低減できます。通常、これはコンデンサのみ（電源の寄生抵抗とインダクタンスに依存）またはコンデンサとインダクタのネットワークで構成されます。入力部に能動的な力率改善回路を設けることで、一般的に高調波電流をさらに低減し、力率を1に近い値に維持することができる。

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