確率ボックス

確率ボックス(またはp-ボックス) は、偶然性と認識論的不確実性の両方で構成される不確実な数値の特性であり、数値計算を実行する必要がある リスク分析や定量的不確実性モデリングでよく使用されます。確率境界分析は、p-ボックスを使用して算術計算と論理計算を行うために使用されます。

右の図は、不確実な数xの確率分布の左（上限）境界と右（下限）境界からなるp-box の例を示しています。境界は、 xの値が0 未満および 24 を超える場合、一致します。境界は、単調に増加し、互いに交差しない限り、ステップ関数を含むほぼ任意の形状にすることができます。p-box は、p-box の左端と右端の間の幅で表される不確実性（認識上の不確実性）と、p-box の全体的な傾斜で表される変動性（偶然の不確実性）を同時に表現するために使用されます。

p ボックスには 2 つの解釈があります。これは、任意のx値に関連付けられた累積確率の境界として理解できます。たとえば、右に示す p ボックスでは、値が 2.5 以下になる確率は 4% から 36% の間です。p ボックスは、任意の特定の確率レベルでのx値の境界として理解することもできます。この例では、95 パーセンタイルは 9 から 16 の間であることが確実です。

p-box の左境界と右境界が未知の分布を必ず囲む場合、その境界は厳密である、または絶対的であると言われます。また、その境界は、分布関数に関する利用可能な情報を前提として、分布関数の可能な限り厳しい境界である可能性があり、その場合、その境界は最善であると言われます。ただし、境界が厳密で最善であっても、これらの境界内にあるすべての分布が不確実な数に対する可能な分布であるとは限りません。

P ボックスは、量の分布関数(または、同等の生存関数) の左境界と右境界によって指定され、オプションで、量の平均と分散を指定された間隔に制限する追加情報、およびその分布形状 (ファミリー、単峰性、対称性など) に対する指定された制約によって指定されます。P ボックスは、これらの制約と一致する確率分布のクラスを表します。

実数 上の分布関数は、x < yのときは常にD ( x ) ≤ D ( y )であり、 +∞ でのDの極限は 1 で、 −∞ での極限は 0 である関数です。 p-box は、指定された分布関数F F、分布の期待値に関する指定された境界m ₁  ≤  m _{2 、および分布の}分散に関する指定された境界v ₁  ≤  v ₂に対して、次の制約を満たす分布関数 F の集合です。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle D:\mathbb {R} \rightarrow [0,1],}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\underline {F}}(x)\leq F(x)\leq {\overline {F}}(x),\\[4pt]&m_{1}\leq \int _{-\infty }^{\infty }x\,\mathrm {d} F(x)\leq m_{2}\\[4pt]&v_{1}\leq \int _{-\infty }^{\infty }x^{2}\,\mathrm {d} F(x)-\left(\int _{-\infty }^{\infty }x\,\mathrm {d} F(x)\right)^{2}\leq v_{2}\\[4pt]&F\in \mathbf {F} \end{aligned}}}$

ここで、形式の積分はリーマン・スティルチェス積分である。 ${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }\cdots \,\mathrm {d} F(x)}$

したがって、制約は、分布関数F が規定の範囲内にあり、分布の平均が区間m内にあり、分布の分散が区間v内にあり、分布が分布Fの許容されるクラス内にあることです。リーマン・スティルチェス積分は、 Fの微分可能性に依存しません。

P ボックスは、イベントの上限確率と下限確率と同じ役割をランダム変数に対して果たします。ロバスト ベイズ解析^[1]では、 p ボックスは分布バンドとも呼ばれます。^{[2] [3] p ボックスは}、コルモゴロフ、レヴィ、またはワッサーシュタイン メトリックの下で 分布の閉近傍として構築できます。p ボックスは、粗雑ですが計算上便利な種類のクレダル セットです。クレダル セットは、分布の凸集合 ( F、F、m、およびv を自動的に決定しますが、計算が非常に難しい場合が多い) としての制約Fに関してのみ定義されるのに対し、p ボックスでは通常、Fの緩い制約仕様、またはF =となるような制約がまったくありません。クレダル セットとは異なり、p ボックスを使用した計算は多くの場合非常に効率的であり、すべての標準的な数学関数のアルゴリズムが知られています。 ${\displaystyle F\in \mathbb {D} }$${\displaystyle \mathbb {D} }$

p-box は、その左境界と右境界によって最小限指定されます。この場合、他の制約は空であると理解されます。 これらの補助的な制約が空である場合でも、p-box の左端と右端から推測できる平均と分散には重要な境界が存在する可能性があります。 ${\textstyle \left\{{\overline {F}},{\underline {F}},[-\infty ,+\infty ],[0,+\infty ],\mathbb {D} \right\}.}$

P ボックスは、数量に関するさまざまな種類の不完全な情報から発生する可能性があり、データと分析的判断から P ボックスを取得する方法はいくつかあります。

確率分布が特定の形状（正規分布、一様分布、ベータ分布、ワイブル分布など）を持つことがわかっていて、そのパラメータを区間として不正確にしか指定できない場合、その結果は分布 p-box またはパラメトリック p-box と呼ばれます。このような p-box は通常、考えられるパラメータが与えられた場合に極端な分布を包絡することで簡単に得られます。たとえば、ある量が平均が区間 [7,8] のどこかにあり、標準偏差が区間 [1,2] 内にある正規分布であることがわかっている場合、p-box の左端と右端は、normal(7,1)、normal(8,1)、normal(7,2)、normal(8,2) の 4 つの確率分布の分布関数を包絡することで見つけることができます。ここで、normal(μ,σ) は平均 μ と標準偏差 σ を持つ正規分布を表します。平均と標準偏差がこれらのそれぞれの区間内にある正規分布のすべての確率分布は、分布関数がこの p-box 内に完全に収まることになります。左境界と右境界は多くの非正規分布を囲みますが、分布ファミリとして正規性を指定することにより、これらは p ボックスから除外されます。

分布の平均や分散などのパラメータが正確にわかっていても、分布族が不明な場合は分布を正確に指定することはできません。このような状況では、指定されたモーメントに一致するすべての分布のエンベロープは、指定されたパラメータを持つすべての分布関数を囲むマルコフ、チェビシェフ、カンテリ、ロウなどの不等式から構築できます^{[4] [5]}。これらは、不確実な分布の族や形状について何の仮定も行わないため、分布フリーのpボックスを定義します。分布が単峰性であるなどの定性情報が利用できる場合は、pボックスを大幅に締めることができることがよくあります。^[6]

母集団のすべてのメンバーを測定できる場合、またはランダムサンプルデータが豊富な場合、分析者は値を要約するために経験分布を使用することがよくあります。それらのデータに、各サンプル値に関する間隔範囲で表される無視できない測定不確実性がある場合、経験分布はpボックスに一般化できます。 ^[7] このようなpボックスは、すべての間隔測定の下端を累積してpボックスの左端を形成する累積分布にし、上端を累積して右端を形成することによって指定できます。測定不確実性が広いほど、結果として得られるpボックスは広くなります。

区間測定は、正規性や対数正規性などの形状仮定を行うマッチングモーメント法や最大尤度法に基づく分布推定値を一般化するためにも使用できます。^{[7] [8]} 測定の不確実性は厳密に扱うことができますが、結果として得られる分布p-boxは、可能な値のサブサンプルのみに基づくサンプル推定値である場合、一般に厳密ではありません。ただし、これらの計算では分布のパラメーター間の依存関係が考慮されるため、分布p-boxの場合のようにパラメーターの区間推定値を無関係として扱うことによって得られるp-boxよりも、より厳密なp-boxが得られることがよくあります。

確率分布を特徴付ける経験的データのサンプルサイズが小さいため、確率分布の形状について不確実性が生じる可能性がある。従来の統計学では、分布形状に関するこのサンプリング不確実性を説明するために、コルモゴロフ–スミルノフ^[9]や類似の^[10] 信頼帯など、いくつかの方法が提案されている。これらは、基礎となる分布の形状について仮定しないという意味で分布に依存しない。関連する信頼帯法では、基礎となる分布の形状または族について仮定を行い、より狭い信頼帯を得られることが多い。 ^{[11] [12] [13]} 信頼帯を構築するには、信頼水準を定義する確率を選択する必要があり、結果が空虚でないためには、通常、信頼水準は 100% 未満でなければならない。(1 − α)% 信頼水準での信頼帯は、構築される時間の (1 − α)% で、データがランダムにサンプリングされた分布を完全に囲むように定義される。分布関数に関する信頼帯は、厳密な境界や確実な境界ではなく統計的な境界を表すにもかかわらず、p ボックスとして使用されることがあります。この使用法では、真の分布が何であれ、p ボックス内にあることが暗黙的に想定されます。

類似のベイジアン構造はベイジアンpボックスと呼ばれ、^{[14] [15]}これは、データのベイジアン分析から得られた特定の確率レベルに対応するパラメータ空間のサブセット内にパラメータを持つすべての分布を囲みます。このサブセットは、データが与えられたパラメータの信頼できる領域であり、最高の事後確率密度領域、または最低の事後損失領域、またはその他の適切な方法で定義できます。ベイジアンpボックスを構築するには、信頼性レベル（信頼レベルに類似）を指定することに加えて、事前分布を選択する必要があります。

Cボックス（または信頼構造^[16]）は、ランダムサンプルデータに依存する固定の実数値の推定量であり、あらゆる信頼レベルでのネイマン^[17] 信頼区間をエンコードします。 ^{[18] [19] [16]}これらは、それぞれが関連する信頼（確率）質量を持つ焦点区間（またはセット）のコレクションの形で推定に関する推論の不確実性を特徴付けます。このコレクションはpボックスとして表すことができ、確率境界分析を通じて信頼性の解釈を投影できます。

通常、数学的計算では伝播できない従来の信頼区間とは異なり、cボックスは、結果に対して任意の信頼区間を取得する機能を維持する方法で計算に使用できます。^{[20] [19]}たとえば、予測分布と許容分布の両方の確率ボックスを計算するために使用できます。

Cボックスは、ランダムサンプルデータから直接、さまざまな方法で計算できます。信頼ボックスは、データがランダムに生成された基礎分布の族がわかっているパラメトリック問題（正規分布、対数正規分布、指数分布、ベルヌーイ分布、二項分布、ポアソン分布など）と、基礎分布の形状が不明なノンパラメトリック問題の両方に存在します。^[20]信頼ボックスは、小さなサンプルサイズの影響を含む、観測からの推論から生じるパラメータに関する不確実性を考慮しますが、データの不正確さの影響や、離散データ観測から連続パラメータを特徴付けようとすることによって生じる人口統計学的不確実性の影響も考慮します。

C ボックスは、他のいくつかの概念と密接に関連しています。ブートストラップ分布^[21]に匹敵し、スチューデントのt分布などの従来の信頼分布の不正確な一般化です。同様に、c ボックスは、すべての信頼レベルでの関心パラメータの頻度主義的信頼区間をエンコードします。疎または不正確なサンプルデータから推定された統計パラメータに関する推論の不確実性を特徴付けるという点でベイズ事後分布に類似していますが、繰り返し使用することで統計的パフォーマンスが保証されるため、純粋に頻度主義的な解釈が可能であり、エンジニアリングで役立ちます。ベルヌーイまたは二項レートパラメータの場合、c ボックスは、パラメータs =1 を持つ Walley の不正確なベータモデル^{[22] [23]と数学的に同等であり、これは}ロバストベイズ分析の中心的なアイデアである不正確なディリクレ過程の特殊なケースです。

特定の信頼レベルでの分布関数全体に関する信頼限界である信頼帯とは異なり、c ボックスは、すべての可能な信頼レベルでの固定量に関する信頼区間を同時にエンコードします。

変数を説明する可能性のある確率分布が複数あり、分析者が利用可能な情報に基づいてそれらのいずれも無視できない場合、さまざまな累積分布のエンベロープとして p ボックスを構築できます。^{[24] [25]} どの分布が正しいかという不確実性を感度分析で説明することも可能ですが、そのような研究は、可能な分布の数が増えるにつれて複雑になり、複数の分布が存在する可能性のある変数の数が増えるにつれて組み合わせ的に複雑になります。 エンベロープアプローチは、確率的混合モデルまたはベイズモデル平均で分布を平均化する不確実性を処理するさまざまな代替アプローチよりも、この不確実性に関してより保守的です。 未知の真の分布は、p ボックスに含まれる分布のクラス内にある可能性があります。 対照的に、真の分布が平均化される分布の 1 つであると仮定すると、平均分布は未知の真の分布とは異なることは間違いありません。

P ボックスは、確率分布を含む計算、確率分布と区間の両方を含む計算、または他の p ボックスを含む計算から発生することがあります。たとえば、確率分布によって表される量と区間によって表される量の合計は、通常 p ボックスによって特徴付けられます。^{[26]適切に指定された確率分布によって特徴付けられる 2 つのランダム変数の合計は、通常、2 つの加数間の}コピュラ(依存関数) が完全に指定されている 場合にのみ、別の正確な確率分布になります。依存関係が不明であるか部分的にしか指定されていない場合、依存関係が異なると、合計の分布が多種多様になるため、合計は p ボックスによってより適切に表されます。 コルモゴロフは当初、加数の分布間の依存関係がまったくわからない場合、合計の分布についてどのような境界を設定できるかを尋ねました。^[27] この質問に回答があったのは 1980 年代初頭になってからでした。それ以来、合計の公式とアルゴリズムは一般化され、さまざまな依存関係の仮定の下で、差、積、商、およびその他の 2 項および 1 項関数に拡張されました。^{[27] [28] [29] [30] [31] [32] [33]}

これらの方法は、総称して確率境界分析と呼ばれ、入力値、その依存関係、または数式自体の形式に不確実性がある場合に数式を評価するアルゴリズムを提供します。 計算により、入力 p-box がそれぞれの分布を確実に囲んでいる場合、出力変数のすべての可能な分布を確実に囲む結果が得られます。 場合によっては、計算された p-box は、可能な分布のみがp -box 内にあるという意味で最善のものになりますが、これは常に保証されるわけではありません。 たとえば、2 つの (正確な) 分布からの独立性を仮定せずにランダムな値を追加することによって得られる確率分布の集合は、通常、計算された p-box によって許容されるすべての分布の適切なサブセットです。 つまり、出力 p-box 内には、2 つの入力分布間の依存関係の下では発生しない分布があります。 ただし、入力 p-box がそれぞれの基になる分布を確実に囲んでいる限り、出力 p-box には常にすべての可能な分布が含まれます。この特性は、リスク分析に使用するには十分な場合が多いです。

正確な確率分布と区間は、実数値や整数と同様、p-box の特殊なケースです。確率分布は変動性を表し、不確実性がないため、その p-box の左境界と右境界は、累積分布関数 (0 から 1 への非減少関数) の値ですべてのx値に対して一致します。数学的には、確率分布Fは退化した p-box { F、F、 E( F )、 V( F )、F } です。ここで、 E と V は期待値と分散演算子を示します。区間は不確実性のみを表します。その p-box は、区間の端点で上限と下限が 0 から 1 にジャンプする長方形のボックスのように見えます。数学的には、区間 [ a , b ] は退化した p-ボックス {H( a ), H( b ), [ a , b ], [0, ( b – a ) ² /4], } に対応します。ここで、H はヘビサイドのステップ関数を表します。正確なスカラー数cには、どちらの種類の不確実性もありません。その p-ボックスは、値cにおける 0 から 1 へのステップ関数です。数学的には、これは {H( c ), H( c ), c , 0, H( c )} です。${\displaystyle \mathbb {D} }$

P ボックスと確率境界分析は、次のような工学および環境科学の多くの分野にわたる多くのアプリケーションで使用されてきました。

• エンジニアリングデザイン^[34]
• 専門家の意見聴取^[35]
• 種の感受性分布の分析^[36]
• アリアン5ロケットのフロントスカートの座屈荷重に関する航空宇宙工学の感度解析^[37]
• 化学反応器ダイナミクスのODEモデル^{[38] [39]}
• 吸入VOCの薬物動態変動^[40]
• 地下水モデリング^[41]
• 直列システムの限界故障確率^[42]
• 製鉄所跡地の土壌における重金属汚染^{[43] [44]}
• 塩分リスクモデルにおける不確実性の伝播^[45]
• 電力供給システムの安全性評価^[46]
• 汚染土壌リスク評価^[47]
• 飲料水処理のための工学システム^[48]
• 土壌スクリーニングレベルの計算^[49]
• 米国EPAによるフーサトニック川スーパーファンドサイトのPCB汚染に関する人体健康と生態系へのリスク分析^{[50] [51]}
• カルカシュー河口スーパーファンドサイトの環境アセスメント^[52]
• 超音速ノズル推力に関する航空宇宙工学^[53]
• 工学的問題に対する科学的計算の検証と妥当性確認^[54]
• 環境水銀汚染による小型哺乳類への毒性^[55]
• 地下水中の汚染物質の移動時間のモデル化^[56]
• 信頼性分析^[57]
• リードビーターポッサムの再導入に向けた絶滅危惧種評価^[58]
• 食虫鳥類の農薬への曝露^[59]
• 気候変動予測^{[43] [60] [61]}
• 待ち行列システムにおける待ち時間^[62]
• オリンピック半島のアカアシシマフクロウの絶滅リスク分析^[63]
• 侵入種や農業害虫の侵入に対するバイオセキュリティ^[64]
• 有限要素 構造解析^{[65] [66] [67]}
• 費用見積り^[68]
• 核兵器備蓄の認証^[69]
• 水圧破砕による水質汚染のリスク^[70]

内部構造なし。p-box は境界内の内部構造に関する情報をほとんど保持しないため、p-box 内のどの分布が最も可能性が高いか、また、エッジが非常に可能性の低いシナリオを表すか、明らかに可能性の高いシナリオを表すかは明らかにされません。p-box のエッジが決定しきい値を囲んでいる場合、場合によっては決定が複雑になる可能性があります。

情報を失う。計算効率を上げるために、p-ボックスはより複雑なデンプスター・シェーファー構造や信条集合に比べて情報を失う。^[24] 特に、p-ボックスは量のモード（最も可能性の高い値）に関する情報を失う。この情報は、特に量が未知だが固定値である状況では、保持しておくと役に立つ可能性がある。

従来の確率で十分。p-box の批評家の中には、正確に指定された確率分布はあらゆる種類の不確実性を特徴付けるのに十分であると主張する者もいる。例えば、リンドリーは「不確実性にどのような方法でアプローチするにせよ、確率はそれについて考える唯一の健全な方法である」と主張している。^{[71] [72]} これらの批評家は、「確率に関する不確実性」について話すことは無意味であり、従来の確率はあらゆる形態の不確実性を特徴付けるのに十分である完全な理論であると主張する。この批判によれば、p-box のユーザーは、適切に指定された分布関数を特定するために必要な努力を単に行っていない。

可能性理論はもっとうまくできる。批評家の中には、p-boxの左辺と右辺を別々に扱うよりも、可能性分布を扱う方が理にかなっている場合もあると主張する人もいる。彼らは、可能性分布によって誘導される確率分布の集合は、類似のp-boxの辺で囲まれた確率分布のサブセットであると主張する。^{[73] [74]} 他の人は、可能性分布の方がp-boxよりもうまくできないと反論する。^[75]

• 不確かな数
• 間隔
• 累積確率分布
• 上限と下限の確率
• 信条セット
• リスク分析
• 不確実性の伝播
• 確率境界分析
• デンプスター・シェーファー理論とデンプスター・シェーファー構造に関するセクション
• 不正確な確率
• 尤度比を用いた分布関数と生存関数の同時信頼帯^[13]
• 与えられたXに対するF ( X )の点ごとの二項信頼区間^[76]

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