上限確率と下限確率

上限確率と下限確率は、不正確な確率を表すものです。確率論では、事象が発生する可能性を表すために確率という単一の数値を用いますが、この方法では、事象の上限確率と下限確率という2つの数値を用います。

頻度主義統計学はメタ確率を認めないため、 頻度主義者は新たな解決策を提案しなければならなかった。セドリック・スミスとアーサー・デンプスターはそれぞれ上側確率と下側確率の理論を開発した。グレン・シェーファーはデンプスターの理論をさらに発展させ、現在ではデンプスター・シェーファー理論またはショケ理論（1953年）として知られている。より正確には、これらの著者の研究では、べき集合において、${\displaystyle P(S)\,\!}$質量関数​${\displaystyle m:P(S)\rightarrow R}$条件を満たす

${\displaystyle m(\varnothing )=0\,\,\,\,\,\,\!;\,\,\,\,\,\,m(A)\geq 0\,\,\,\,\,\,\!;\,\,\,\,\,\,\sum _{A\in P(S)}m(A)=1.\,\!}$

続いて、質量は、信念と妥当性と呼ばれる2つの非加法的な連続尺度に関連付けられており、これらは次のように定義されます。

${\displaystyle \operatorname {bel} (A)=\sum _{B\mid B\subseteq A}m(B)\,\,\,\,;\,\,\,\,\operatorname {pl} (A)=\sum _{B\mid B\cap A\neq \varnothing }m(B)}$

の場合${\displaystyle S}$無限には${\displaystyle \operatorname {bel} }$そのため、関連する質量関数は存在しません。ハルパーン（2003）の36ページを参照してください。確率測度は、質量関数がイベント空間のシングルトンにのみ正の質量を割り当てる信念関数の特殊なケースです。

確率分布のクラスCから下側包絡線と上側包絡線を設定することによって、上側確率と下側確率の異なる概念が得られる。

${\displaystyle \operatorname {env_{1}} (A)=\inf _{p\in C}p(A)\,\,\,\,;\,\,\,\,\operatorname {env_{2}} (A)=\sup _{p\in C}p(A)}$

上限確率と下限確率は確率論理にも関係している。Gerla (1994)を参照のこと。

また、必要性の尺度は低い確率と見なすことができ、可能性の尺度は高い確率と見なすことができる点にも注意が必要である。

• 可能性理論
• ファジィ測度理論
• 区間有限要素法
• 確率境界分析

• ショケ、G. (1953)。「容量理論」。フーリエ研究所の分析。5 : 131–295 .土井: 10.5802/aif.53。
• Gerla, G. (1994). "確率論理における推論".人工知能. 70 ( 1– 2): 33– 52. doi : 10.1016/0004-3702(94)90102-3 .
• ハルパーン、JY（2003）。不確実性についての推論。MIT Press。ISBN 978-0-262-08320-1。
• Halpern, JY; Fagin, R. (1992). "信念の2つの見解：一般化された確率としての信念と証拠としての信念".人工知能. 54 (3): 275– 317. CiteSeerX 10.1.1.70.6130 . doi : 10.1016/0004-3702(92)90048-3 . S2CID 11339219 .  
• Huber, PJ (1980).ロバスト統計学. ニューヨーク: Wiley. ISBN 978-0-471-41805-4。
• サフィオッティ、A. (1992). 「信念関数論理」.第10回AAAI会議議事録. サンノゼ、カリフォルニア州. pp. 642–647 . ISBN  978-0-262-51063-9。{{cite book}}: CS1メンテナンス: 場所の発行元が見つかりません (リンク)
• シェーファー、G. (1976).証拠の数学的理論. プリンストン：プリンストン大学出版局. ISBN 978-0-691-08175-5。
• Walley, P.; Fine, TL (1982). 「上側確率と下側確率の頻度論的理論に向けて」 . Annals of Statistics . 10 (3): 741–761 . doi : 10.1214/aos/1176345868 . JSTOR 2240901 .