不正確な確率

不正確な確率は、確率理論を一般化して部分的な確率の指定を可能にするもので、情報が乏しい、曖昧である、または矛盾している場合に適用できます。このような場合、一意の確率分布を特定することは困難です。そのため、この理論は利用可能な知識をより正確に表現することを目指しています。不正確さは、専門家の引き出しに対処するのに役立ちます。その理由は次のとおりです。

• 人々が自身の主観的な確率を決定する能力には限界があり、間隔しか提供できないことに気付くかもしれません。
• 間隔はさまざまな意見と互換性があるため、分析はさまざまな人々にとってより説得力のあるものになるはずです。

不確実性は伝統的に、コルモゴロフ^[1]、ラプラス、ド・フィネッティ[ ^2] 、ラムゼー、コックス、リンドリー、その他多くの人々によって開発された確率分布によってモデル化されます。しかし、これは科学者、統計学者、確率論者に満場一致で受け入れられたわけではありません。特に、利用できる情報やデータがほとんどない場合（そのような批判の初期の例として、ブールによるラプラスの研究に対する批判^[3]があります） 、または個人ではなくグループが同意する確率をモデル化したい場合など、すべてのイベントの確率を常に提供できるとは限らないため、確率論の何らかの修正または拡張が必要であると 主張されてきました。

おそらく最も一般的な一般化は、単一の確率指定を区間指定に置き換えることです。下限確率と上限確率は、およびで表され、またはより一般的には下限期待値と上限期待値（予測）^{[4] [5] [6] [7] は}、このギャップを埋めることを目的としています。下限確率関数は超加法的ですが、必ずしも加法的ではありません。一方、上限確率は劣加法的です。理論の一般的な理解を得るために、以下を検討してください。 ${\displaystyle {\underline {P}}(A)}$${\displaystyle {\overline {P}}(A)}$

• すべての事象について、の特別なケースは正確な確率と同等である${\displaystyle {\underline {P}}(A)={\overline {P}}(A)}$${\displaystyle A}$
• ${\displaystyle {\underline {P}}(A)=0}$そして、すべての非自明なイベントに対して、仕様にまったく制約がないことを表している。${\displaystyle {\overline {P}}(A)=1}$${\displaystyle P(A)}$

そして、その間には、多かれ少なかれ正確なモデルの柔軟な連続体があります。

非加法確率という名前でまとめられるいくつかのアプローチ^[8]は、これらの集合関数の1つを直接使用し、もう1つは 、の補集合として と自然に定義されていると仮定します 。他の関連する概念は、すべてのイベントに対応する間隔を基本的な実体として理解します。^{[9] [10]}${\displaystyle {\underline {P}}(A^{c})=1-{\overline {P}}(A)}$${\displaystyle A^{c}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle [{\underline {P}}(A),{\overline {P}}(A)]}$

不正確な確率を使用するというアイデアには長い歴史があります。最初の正式な扱いは少なくとも19世紀半ばにまで遡り、ジョージ・ブール[3]は論理と^確率の理論を調和させることを目指しました。1920年代には、ケインズ^[11]が「確率論」で明示的な区間推定アプローチを定式化し、確率に適用しました。不正確な確率モデルに関する研究は20世紀を通じて断続的に進み、バーナード・クープマン、 CABスミス、IJグッド、アーサー・デンプスター、グレン・シェーファー、ピーター・M・ウィリアムズ、ヘンリー・カイバーグ、アイザック・レヴィ、テディ・ザイデンフェルドによる重要な貢献がありました。^[12] 1990年代初頭、ピーター・ウォーリーの著書「不正確な確率による統計的推論^」[7] （「不正確な確率」という用語の由来でもある）の出版により、この分野は勢いを増し始めた。1990年代には、クズネツォフ^[13]とヴァイクセルベルガー^{[9] [10]}による重要な研究もあり、両者とも区間確率という用語を使用している。ウォーリーの理論は、ギャンブルの売買価格を介して従来の主観的確率理論を拡張するのに対し、ヴァイクセルベルガーのアプローチは、解釈を強制することなくコルモゴロフの公理を一般化するものである。

標準的な整合性条件は、確率分布の空でない閉じた凸集合に対する上限確率と下限確率の割り当てを関連付けます。したがって、この理論は、ロバスト統計^[14]やノンパラメトリック統計^[15]で使用されるモデルの正式なフレームワークも提供するという、嬉しい副産物です。また、ショケ積分^[16]や、いわゆる 2 単調容量と完全単調容量^[17 ]に基づく概念も含まれており、これらは人工知能では(デンプスター–シェーファー) 信念関数^[18 ]という名前で非常に人気があります。^{[19]さらに、}シェーファーとヴォフクのゲーム理論的確率の概念^[20]とも強いつながりがあります。 ^[21]

「不正確な確率」という用語は、正確さと正確さがしばしば誤解される点でやや誤解を招きやすいが、不正確な表現は、偽りの正確な表現よりも正確である可能性がある。いずれにせよ、この用語は 1990 年代に定着したようで、確率論の幅広い拡張をカバーしており、次のようなものが含まれる。

• 信条集合、または確率分布の集合
• 予測^[2]
• ランダム集合論
• デンプスター・シェーファー証拠理論
• 下限確率と上限確率、または区間確率^{[3] [9] [11]}
• 信念関数^{[18] [19]}
• 可能性と必要性​​の尺度^{[22] [23] [24]}
• 下限および上限^{[5] [6] [7] [25]}
• 比較確率順序^{[11] [26] [27] [28]}
• 部分的な優先順位
• 望ましいギャンブルのセット^{[5] [6] [7]}
• Pボックス^[29]
• ロバストベイズ法^[30]

上述の不正確な確率理論の多くを統合したものがWalley ^{[7]によって提案されたが、これは決して不正確な確率を形式化する最初の試みではない。}確率の解釈に関して、Walleyの不正確な確率の定式化は、ベイズ確率解釈の主観的変形に基づいている。Walleyは、上限確率と下限確率を、上限予測と下限予測、およびブルーノ・デ・フィネッティが提唱したギャンブルの枠組みの特殊なケースとして定義している。簡単に言えば、意思決定者の下限予測は、意思決定者がギャンブルを購入すると確信している最高価格であり、上限予測は、意思決定者がギャンブルの反対を購入すると確信している最低価格である（これは、元のギャンブルを売却することと同等である）。上限予測と下限予測が等しい場合、それらは共同で意思決定者のギャンブルの公正価格、つまり意思決定者がギャンブルのどちらかの側を取る意思がある価格を表す。公正な価格の存在は正確な確率につながります。

不正確さ、つまり意思決定者の上限と下限の予測のギャップを許容することが、正確な確率理論と不正確な確率理論の主な違いです。このようなギャップは、情報の非対称性により資金的に流動性のない賭け市場で自然に発生します。このギャップは、ヘンリー・カイバーグによって区間確率でも繰り返し示されていますが、彼とアイザック・レヴィは、信念の状態を表す区間、つまり分布のセットについて、他の理由も示しています。

不正確な確率に関する 1 つの問題は、より広いまたは狭い間隔ではなく、1 つの間隔の使用に固有の独立した程度の注意または大胆さが伴うことが多いことです。これは、信頼度、あいまいなメンバーシップの程度、または受け入れのしきい値である可能性があります。これは、確率分布のセットから導出された下限と上限である間隔 (たとえば、セットの各メンバーに対する条件付けが続く事前分布のセット) の場合はそれほど問題になりません。ただし、事前分布のセットに一部の分布が含まれ、一部が含まれないのはなぜかという疑問が生じる可能性があります。

もう 1 つの問題は、なぜ 1 つの数値 (ポイント確率) ではなく、下限と上限の 2 つの数値について正確であるのかということです。この問題は、区間を持つモデルの堅牢性はポイント値の確率を持つモデルの堅牢性よりも本質的に優れているため、単なる修辞的な問題である可能性があります。エンドポイントとポイント値における精度の不適切な主張について懸念が生じます。

より実際的な問題は、どのような意思決定理論が不正確な確率を利用できるかということです。^{[31]ファジーな尺度については、}ロナルド・R・ヤガー の研究があります。^[32] 分布の凸集合については、レヴィの研究が参考になります。^{[33]別のアプローチでは、区間の太さを制御する閾値が、単純に平均を取ったり、}ハーウィッツの決定規則 を使用したりすることよりも、意思決定に重要であるかどうかを尋ねます。^[34] 他のアプローチも文献に記載されています。^{[35] [36] [37] [38]}

• 曖昧さ回避
• 堅牢な意思決定
• 不正確なディリクレ過程

• 不正確な確率に関する学会：理論と応用
• 不正確な確率に基づく分類器のオープンソース実装
• IDSIA の不正確な確率グループ
• スタンフォード哲学百科事典の不正確な確率に関する記事