信頼区間

ベイズ統計学において、信頼区間とは確率分布を特徴づけるために用いられる区間である。これは、観測されていないパラメータ値が特定の確率を持つように定義される。${\displaystyle \gamma }$その中に収まるようにする。例えば、パラメータの可能な値の分布を決定する実験では${\displaystyle \mu }$確率が${\displaystyle \mu }$35～45の間にあるのは${\displaystyle \gamma =0.95}$、 それから${\displaystyle 35\leq \mu \leq 45}$これは95%信頼区間です。

信頼区間は、通常、事後確率分布または予測確率分布を特徴付けるために使用されます。^{[ 1 ]}信頼区間を非連結または多変量集合に一般化すると、信頼集合または信頼領域と呼ばれます。

信頼区間は、頻度統計学における信頼区間のベイズ版です。^{[ 2 ]}この2つの概念は異なる哲学から生じています。^{[ 3 ]}ベイズ区間は境界を固定値、推定パラメータを確率変数として扱いますが、頻度統計学における信頼区間は境界を確率変数、パラメータを固定値として扱います。また、ベイズ信頼区間は状況固有の事前分布の知識を使用し（そして実際に必要とします） 、頻度統計学における信頼区間は使用しません。

信頼区間は一意ではなく、任意の確率分布には無限の数の信頼区間が存在する。${\displaystyle \gamma }$-信頼できる集合、つまり確率の集合${\displaystyle \gamma }$例えば、単変量の場合、適切な区間または集合には複数の定義が存在する。

• 最小信頼区間（SCI）は、最高密度区間とも呼ばれる。この区間は、常に中央値を含む。${\displaystyle \gamma \geq 0.5}$分布が単峰性の場合、この区間には最頻値も含まれます。
• 最小信頼区間(SCS) は、最高密度領域とも呼ばれます。多峰分布の場合、これは必ずしも区間ではなく、不連続になることがあります。この区間には常に最頻値が含まれます。
• 分位点に基づく信頼区間は、分位点間の区間を計算することによって求められます。${\displaystyle [q_{\delta },q_{\delta +\gamma }]}$あらかじめ定義されたいくつかの${\displaystyle \delta \in [0,1-\gamma ]}$例えば、確率の中央信頼区間（MCI）${\displaystyle \gamma }$は、その区間より下になる確率と上になる確率が同じになる区間、つまりその区間です。${\displaystyle [q_{(1-\gamma )/2},q_{(1+\gamma )/2}]}$これは等尾区間とも呼ばれ、常に中央値を含みます。最小信頼区間(LCI)など、他の分位点に基づく信頼区間も定義できます。${\displaystyle [q_{0},q_{\gamma }]}$または、最高信頼区間（HCI）は${\displaystyle [q_{1-\gamma },q_{1}]}$これらの区間は、有界変数により適している可能性があります。

平均値が存在すると仮定すれば、平均値が中心点となるような区間を定義することもできる。

${\displaystyle \gamma }$-最小信頼集合（${\displaystyle \gamma }$-SCS) は多変量の場合にも容易に一般化でき、確率密度等高線で囲まれています。^{[ 4 ]}これらは常に最頻値を含みますが、必ずしも平均値、座標ごとの中央値、幾何中央値を含むとは限りません。

信頼区間は、マルコフ連鎖モンテカルロ法などのシミュレーション技術を用いて推定することもできます。^{[ 5 ]}

頻度論的95%信頼区間とは、多数の反復サンプルを用いた場合、計算された信頼区間の95%がパラメータの真の値を含むことを意味します。頻度論的には、パラメータは固定されており（可能な値の分布を持つとは考えられない）、信頼区間はランダムです（ランダムサンプルに依存するため）。

ベイズ信頼区間は、頻度論的信頼区間と主に2つの点で異なります。

• 信頼区間とは、その値が（事後）確率密度を持つ区間であり、パラメータがその値をとる可能性を表します。一方、信頼区間は母集団パラメータを固定値とみなし、確率の対象とはしません。信頼区間における信頼度とは、繰り返し試行した場合の信頼区間自体のランダム性を指しますが、信頼区間は、手持ちのデータに基づいて目標パラメータの不確実性を分析します。

• 信頼区間と信用区間は、不要パラメータを全く異なる方法で扱う。

単一のパラメータと、単一の十分統計量で要約できるデータの場合、未知のパラメータが位置パラメータである場合（つまり、前方確率関数が次の形式である場合）、信用区間と信頼区間が一致することが示されます。${\displaystyle \mathrm {Pr} (x|\mu )=f(x-\mu )}$）、事前分布が一様フラット分布である場合、^{[ 6 ]}また、未知のパラメータがスケールパラメータである場合（すなわち、前方確率関数が次の形式である場合）${\displaystyle \mathrm {Pr} (x|s)=f(x/s)}$ジェフリーズの以前の${\displaystyle \mathrm {Pr} (s|I)\;\propto \;1/s}$^{[ 6 ]} — 後者は、そのような尺度パラメータの対数を取ると、それが一様分布を持つ位置パラメータになるためである。しかし、これらは明らかに特別な（とはいえ重要な）ケースであり、一般にはそのような等価性は成り立たない。

• ボルスタッド、ウィリアム・M. 、カラン、ジェームズ・M. ( 2016)「平均に関するベイズ推論と頻度論的推論の比較」ベイズ統計学入門（第3 版）。ジョン・ワイリー・アンド・サンズ。pp. 237–253。ISBN  978-1-118-09156-2。