信頼度と予測バンド

信頼帯は、統計分析において、限られたデータやノイズの多いデータに基づく曲線や関数の推定値の不確実性を表すために使用されます。同様に、予測帯は、曲線上の新しいデータ ポイントの値に関する不確実性を表すために使用されますが、ノイズの影響を受けます。信頼帯と予測帯は、回帰分析の結果をグラフで表現する際によく使用されます。

信頼帯は、単一の数値の推定値の不確実性を表す信頼区間と密接に関連しています。「信頼区間は、構造上、単一のポイントのみを参照するため、（この時点では）多くのポイントで同時に保持されることになっている信頼帯よりも狭くなります。」^[1]

関数f ( x ) を推定することが目的であるとします。たとえば、f ( x ) は、選挙で特定の候補者を支持する特定の年齢xの人の割合です。 x が1 年の精度で測定される場合、年齢ごとに個別の 95% 信頼区間を作成できます。これらの信頼区間のそれぞれは、対応する真の値f ( x ) を信頼度 0.95 でカバーします。これらの信頼区間を合わせると、f ( x )の95% の点ごとの信頼区間が構成されます。

数学的に言えば、カバレッジ確率が1 −  αである点ごとの信頼帯は、xの各値に対して個別に次の条件を満たします。 ${\displaystyle {\hat {f}}(x)\pm w(x)}$

${\displaystyle \Pr {\Big (}{\hat {f}}(x)-w(x)\leq f(x)\leq {\hat {f}}(x)+w(x){\Big )}=1-\alpha ,}$

ここでf ( x )の点推定値です。 ${\displaystyle {\hat {f}}(x)}$

信頼区間の集合の同時カバー確率は、それらすべてが対応する真の値を同時にカバーする確率です。上記の例では、同時カバー確率は、x = 18、19、... の区間がすべてその真の値をカバーする確率です( 18 歳が投票できる最低年齢であると仮定)。各区間のカバー確率が個別に 0.95 の場合、同時カバー確率は通常 0.95 未満です。95 % 同時信頼帯は、同時カバー確率が 0.95 になるように構築された、 f ( x )のドメイン内のすべての値xの信頼区間の集合です。

数学的に言えば、カバレッジ確率が 1 −  αである同時信頼帯は次の条件を満たします。 ${\displaystyle {\hat {f}}(x)\pm w(x)}$

${\displaystyle \Pr {\Big (}{\hat {f}}(x)-w(x)\leq f(x)\leq {\hat {f}}(x)+w(x)\;\;{\text{ for all }}x{\Big )}=1-\alpha .}$

ほとんどの場合、同時信頼帯は、同じカバレッジ確率を持つ点ごとの信頼帯よりも広くなります。点ごとの信頼帯の定義では、その普遍的量指定子は確率関数の外側に移動します。

信頼帯は回帰分析でよく発生します。^[2] 単一の独立変数を含む単回帰の場合、結果は、推定された回帰線と点ごとの信頼帯または同時信頼帯を示すプロットの形で提示できます。回帰分析で同時信頼帯を構築するためによく使用される方法は、ボンフェローニ法とシェッフェ法です。詳細については、 「ファミリーワイズエラー率制御手順」を参照してください。

信頼帯は経験分布関数の推定値の周囲に構築することができる。単純な理論では点ごとの信頼区間の構築が可能だが、コルモゴロフ・スミルノフ検定を逆転させたり、ノンパラメトリック尤度法を使用したりすることで、累積分布関数全体の同時信頼帯を構築することもできる。^[3]

統計分析が関数の推定に焦点を当てる場合は常に、信頼帯が発生します。

信頼帯は密度関数、スペクトル密度関数、^[4] 四分位関数、散布図平滑化、生存関数、特性関数の推定にも考案されている。^[要出典]

予測バンドは、信頼バンドが信頼区間に関係するのと同じように、予測区間に関係します。予測バンドは、回帰分析でよく使用されます。予測バンドの目的は、特定のデータ セットがサンプリングされた同じ母集団からの 1 つ以上の将来の観測値を、規定の確率でカバーすることです。予測区間が信頼区間よりも広いのと同様に、予測バンドは信頼バンドよりも広くなります。

数学的に言えば、カバレッジ確率1 −  αの予測バンドは、xの各値に対して次の条件を満たします。 ${\displaystyle {\hat {f}}(x)\pm w(x)}$

${\displaystyle \Pr {\Big (}{\hat {f}}(x)-w(x)\leq y^{*}\leq {\hat {f}}(x)+w(x){\Big )}=1-\alpha ,}$

ここで、y ^{* は}、点推定値および信頼^区間w ( x )の構築に使用されたデータとは無関係な、特定の点xにおけるデータ生成プロセスから取得された観測値です。これは点ごとの予測区間です。^[曖昧]たとえば、Bonferroni 法を使用して、区間 [ 曖昧 ] を適切な量だけ広げることにより、有限数の独立した観測値に対して同時^{区間[曖昧]を構築すること}が可能になります。 ${\displaystyle {\hat {f}}(x)}$