信頼度分布

従来、信頼分布は一連の下側信頼区間の上限を反転することによって定義される。^{[ 15 ] [ 16 ]}特に、

エフロン氏は、この分布は「0.90と0.95の信頼区間の上限と下限の間にあるθに0.05の確率を割り当てる」ものであり、「直感的に非常に魅力的である」と述べている。^{[ 16 ]} 古典的な文献では、^{[ 3 ]}信頼分布関数はパラメータθの分布関数として解釈されるが、頻度論的設定ではパラメータは固定されており非ランダムであるため、信頼推論が関与しない限り、これは不可能である。

CD関数を完全に頻度論的な観点から解釈し、それを（固定/非ランダムな）パラメータの分布関数として解釈しないことは、古典的なアプローチに対する最近の発展の大きな転換点の1つです。信頼分布を純粋に頻度論的な概念（点推定量と同様）として扱うことの利点は、フィッシャーが信頼分布に関して設定した、議論の余地があるとはいえ制約的な制約から解放されることです。^{[ 6 ] [ 14 ]}

以下の定義が適用されます。^{[ 12 ] [ 17 ] [ 18 ]} Θは関心のある未知のパラメータθのパラメータ空間であり、χはデータX _n ={ X ₁ , ..., X _n }に対応するサンプル空間です。

また、 U [0, 1] の条件が漸近的にのみ真であり、 H _n (•)の連続性の条件が削除された場合、関数Hは漸近 CD ( aCD )となります。 

非専門的な用語で言えば、信頼分布はパラメータとランダムサンプルの両方の関数であり、2 つの要件があります。最初の要件 (R1) は、信頼分布がパラメータ空間上の分布である必要があるというものです。2 番目の要件 (R2) は、信頼分布に基づく推論 (点推定値、信頼区間、仮説検定など) が望ましい頻度論的特性を持つように関数に制約を設定します。これは、不偏性、一貫性、効率性などの特定の望ましい特性を保証するための点推定の制約に似ています。^{[ 6 ] [ 19 ]}

信頼区間の上限を反転することによって得られる信頼分布（古典的な定義）も上記の定義の要件を満たしており、この定義のバージョンは古典的な定義と一致している。^{[ 18 ]}

従来のフィデューシャル推論とは異なり、特定の条件下では、パラメータを推定するために複数の信頼分布が利用できる場合があります。また、従来のフィデューシャル推論とは異なり、最適性は必須条件ではありません。設定と使用する基準によっては、最適性の観点から見て唯一の「最良」の信頼分布が存在する場合があります。しかし、最適な信頼分布が存在しない場合もありますし、極端な場合には、意味のある信頼分布を見つけることさえできない場合もあります。これは、点推定の手法と何ら変わりません。

信頼度分布^{[ 20 ]}${\displaystyle C}$パラメータの場合${\displaystyle \gamma }$測定可能な空間では、分布推定量は次のようになります。${\displaystyle C(A_{p})=p}$信頼領域のファミリーに対して${\displaystyle A_{p}}$のために${\displaystyle \gamma }$レベル付き${\displaystyle p}$すべてのレベル${\displaystyle 0<p<1}$信頼領域のファミリーは一意ではない。^{[ 21 ]}${\displaystyle A_{p}}$のみ存在します${\displaystyle p\in I\subset (0,1)}$、 それから${\displaystyle C}$レベルセットを持つ信頼分布${\displaystyle I}$。 両方${\displaystyle C}$そしてすべて${\displaystyle A_{p}}$これらはデータの測定可能な関数である。これは、${\displaystyle C}$はランダムな尺度であり、${\displaystyle A_{p}}$ランダムな集合です。定義要件が${\displaystyle P(\gamma \in A_{p})\geq p}$等号が成り立つ場合、信頼分布は定義により正確である。さらに、${\displaystyle \gamma }$が実数パラメータである場合、測度論的な定義は上記の古典的な定義と一致する。

正規サンプルX _i  ~ N ( μ , σ ² )、i = 1, 2, ..., nが与えられたと仮定します。       

ρを二変量正規分布の相関係数とする。フィッシャー変換によって定義されるフィッシャーのz値はよく知られている。

$${\displaystyle z={\frac {1}{2}}\ln {1+r \over 1-r}}$$

極限分布を持つ${\textstyle N{\left({1 \over 2}\ln {{1+\rho } \over {1-\rho }},{1 \over n-3}\right)}}$収束速度が速く、ここでrは標本相関係数、nは標本サイズである。

機能

$${\displaystyle H_{n}(\rho )=1-{\mathit {\Phi }}\left({\sqrt {n-3}}\left({1 \over 2}\ln {1+r \over 1-r}-{1 \over 2}\ln {{1+\rho } \over {1-\rho }}\right)\right)}$$

ρの漸近信頼分布である。^{[ 22 ]}

ρの正確な信頼密度は^{[ 23 ] [ 24 ]}である。

$${\displaystyle \pi (\rho \mid r)={\frac {\nu (\nu -1)\Gamma (\nu -1)}{{\sqrt {2\pi }}\Gamma (\nu +{\frac {1}{2}})}}\left(1-r^{2}\right)^{\frac {\nu -1}{2}}\cdot \left(1-\rho ^{2}\right)^{\frac {\nu -2}{2}}\cdot \left(1-r\rho \right)^{-\nu +{\frac {1}{2}}}F{\left({\frac {3}{2}},-{\frac {1}{2}};\nu +{\frac {1}{2}};{\frac {1+r\rho }{2}}\right)}}$$

どこ ${\displaystyle F}$はガウス超幾何関数であり、${\displaystyle \nu =n-1>1}$これは、二正規分布の 5 つのパラメータに対するベイズマッチング事前分布の事後密度でもあります。^{[ 25 ]}

フィッシャーの古典的な本の最後の公式は

$${\displaystyle \pi (\rho |r)={\frac {(1-r^{2})^{\frac {\nu -1}{2}}\cdot (1-\rho ^{2})^{\frac {\nu -2}{2}}}{\pi (\nu -2)!}}\partial _{\rho r}^{\nu -2}\left\{{\frac {\theta -{\frac {1}{2}}\sin 2\theta }{\sin ^{3}\theta }}\right\}}$$

どこ${\displaystyle \cos \theta =-\rho r}$そして${\displaystyle 0<\theta <\pi }$この式はCR Raoによって導き出された。^{[ 26 ]}

データは以下のように生成される${\displaystyle Y=\gamma +U}$どこ${\displaystyle \gamma }$は平面上の未知のベクトルであり、${\displaystyle U}$平面上に二正規分布と既知の分布を持つ。${\displaystyle \Gamma ^{y}=y-U}$信頼分布を定義します${\displaystyle \gamma }$信頼区間${\displaystyle A_{p}}$を中心とする楕円の内部として選択できます${\displaystyle \gamma }$共分散行列の固有ベクトルによって与えられる軸${\displaystyle \Gamma ^{y}}$この場合の信頼度分布は平均が二変量正規分布である。${\displaystyle \gamma }$信頼領域は他にも様々な方法で選択できる。^{[ 21 ]}この場合、信頼分布は右ハール事前分布を用いたベイズ事後分布と一致する。^{[ 27 ]}この議論は平均値が未知の場合にも一般化できる。${\displaystyle \gamma }$無限次元ヒルベルト空間では、信頼度分布はベイズ事後分布ではないが、この場合信頼度分布はベイズ事後分布ではない。^{[ 28 ]}

CDの定義から、間隔が${\displaystyle (-\infty ,H_{n}^{-1}(1-\alpha )],[H_{n}^{-1}(\alpha ),\infty )}$そして${\displaystyle [H_{n}^{-1}(\alpha /2),H_{n}^{-1}(1-\alpha /2)]}$任意のα ∈ (0, 1)に対して、 θの100(1 − α )% レベルのさまざまな信頼区間を提供する。また     ${\displaystyle [H_{n}^{-1}(\alpha _{1}),H_{n}^{-1}(1-\alpha _{2})]}$は、 α ₁ > 0、α ₂ > 0、およびα ₁ + α ₂ < 1の場合のパラメーターθのレベル 100(1 − α ₁ − α ₂ )% 信頼区間です。ここで、            ${\displaystyle H_{n}^{-1}(\beta )}$は 100 β % 分位数です${\displaystyle H_{n}(\theta )}$または、方程式のθを解く${\displaystyle H_{n}(\theta )=\beta }$信頼水準が限界内で達成されるCDについても同様である。一部の著者は、カバレッジやパフォーマンス目的ではなく、どのパラメータ値がデータと整合しているかをグラフィカルに表示するためにこれらを使用することを提案している。^{[ 29 ] [ 30 ]}

点推定量は、関心のあるパラメータの信頼分布推定量から構築することもできます。たとえば、パラメータθの CD がH _n ( θ ) である場合、点推定量の自然な選択肢には、中央値M _n = H _n ^{− 1} (1/2)、平均などが含まれます。  ${\textstyle {\bar {\theta }}_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }t\,\mathrm {d} H_{n}(t)}$、CD密度の最大値

$${\displaystyle {\widehat {\theta }}_{n}=\arg \max _{\theta }h_{n}(\theta ),h_{n}(\theta )=H'_{n}(\theta ).}$$

いくつかの控えめな条件の下では、他の特性の中でも、これらの点推定量はすべて一致性を持つことを証明できる。^{[ 6 ] [ 22 ]}特定の信頼分布は最適な頻度主義推定量を与えることができる。^{[ 28 ]}

パラメータθに関する片側検定または両側検定の p 値は、その信頼分布H _n ( θ ) から導出できる。^{[ 6 ] [ 22 ]}信頼分布関数の下での集合Cの確率質量を で表す。 ${\textstyle p_{s}(C)=H_{n}(C)=\int _{C}\mathrm {d} H(\theta ).}$このp _s (C) は CD 推論では「サポート」と呼ばれ、フィデューシャル文献では「信念」としても知られています。^{[ 31 ]}

1. 片側検定K ₀ : θ  ∈ C vs. K ₁ : θ ∈ C ^{c （} Cは ( − ∞, b ] または [ b , ∞)の型）の場合、CD の定義から sup _{θ ∈ C} P _θ ( p _s ( C ) ≤ α ) = αが成り立つことが示せる。したがって、p _s ( C ) = H _n ( C ) は、この検定に対応する p 値である。             
2. 単一検定K ₀ : θ  = b vs. K ₁ : θ ≠ bの場合、P _{{ K 0 : θ = b }} (2 min{ p _s ( C _{lo )} ) は、CD の定義から p _s ( C _up )} ≤ α ) = αであることを示すことができます。したがって、2 min{ p _s ( C _lo ), p _s ( C _up )} = 2 min{ H _n ( b ), 1 − H _n ( b )} は、対応する検定の p 値です。ここで、C _lo = ( − ∞, b ] およびC _up = [ b , ∞) です。                     

CD推論の図解については、XieとSingh（2011）^{[ 6 ]の図1を参照してください。}