確率境界分析

確率境界分析( PBA ) は、さまざまな種類の不確実性に直面して定性的および定量的な計算を行うための不確実性伝播の手法の集合です。これは、数式を使用してランダム変数やその他の量に関する部分的な情報を投影するために使用されます。たとえば、入力の分布に関する確実な境界のみが与えられた場合、合計、積、またはより複雑な関数の分布に関する確実な境界を計算します。このような境界は確率ボックスと呼ばれ、累積確率分布(密度や質量関数ではなく) を制約します。

この境界アプローチにより、分析者はパラメータ値、変数間の依存関係、さらには分布の形状について過度に正確な仮定を必要とせずに計算を行うことができます。確率境界分析は、基本的に標準区間分析と古典的な確率論の手法を組み合わせたものです。確率境界分析は、範囲情報のみが利用可能な場合、区間分析と同じ答えを出します。また、入力分布とその依存関係を正確に指定するのに十分な情報がある場合、モンテカルロシミュレーションと同じ答えを出します。したがって、これは区間分析と確率論の両方の一般化です。

確率境界分析を構成するさまざまな方法は、入力値、その依存関係、または数式自体の形式に不確実性がある場合に、数式を評価するアルゴリズムを提供します。入力 p-box がそれぞれの分布を確実に囲んでいる場合、計算によって、出力変数のすべての可能な分布を囲むことが保証された結果が得られます。場合によっては、計算された p-box は、可能な分布の一部を除外することなく境界をこれ以上狭くすることはできないという意味で、可能な限り最善のものになります。

P ボックスは通常、可能な分布の境界に過ぎません。境界は、それ自体は不可能な分布を囲むこともよくあります。たとえば、2 つの (正確な) 分布から独立性を仮定せずにランダムな値を追加することによって得られる可能性のある確率分布のセットは、通常、合計のために計算された p ボックスによって囲まれるすべての分布の適切なサブセットです。つまり、出力 p ボックス内には、2 つの入力分布間の依存関係の下では発生しない分布があります。ただし、入力 p ボックスがそれぞれの基礎となる分布を確実に囲んでいる限り、出力 p ボックスには、可能なすべての分布が常に含まれます。この特性は、リスク分析や不確実性下での計算を必要とするその他の分野での使用には十分であることがよくあります。

境界確率の考え方は、確率論の歴史を通じて非常に長い伝統を持っています。実際、1854年にジョージ・ブールは、彼の著書『思考の法則』の中で、確率の区間境界という概念を使用しました。^{[1] [2]}これも19世紀後半に遡るものです。チェビシェフの不等式は、変数の平均と分散のみがわかっている場合の分布の境界を記述し、マルコフの関連する不等式は、平均のみがわかっている場合の正の変数の境界を見つけました。キーバーグ^{[3]は、区間確率の歴史をレビューし、}ケインズが支持した比較不可能な確率という重要な概念を含む、20世紀を通しての重要なアイデアの発展をたどりました。

特に注目すべきは、 1930年代にフレシェが依存性の仮定なしに全確率の計算に境界を導いたことである。確率の境界設定は今日まで続いている（例えば、ウォーリーの不正確な確率の理論^[4]） 。

リスク評価で日常的に使用できる確率境界分析の方法は、1980年代に開発されました。Hailperin ^{[2] は}、ブールの考えを拡張した境界論理計算の計算スキームについて説明しました。Yager ^[5]は、独立性の仮定の下で畳み込みの境界を計算できる基本的な手順について説明しました。ほぼ同じ時期に、Makarov ^[6]と Rüschendorf ^{[7] は独立に、} Kolmogorovによって最初に提起された、周辺分布はわかっているが結合分布はわかっているランダム変数の合計の確率分布の上限と下限をどのように見つけるかという問題を解決しました。Frank ら^{[8]は、Makarov の結果を一般化し、}コピュラで表現しました。それ以来、和の公式とアルゴリズムは一般化され、さまざまな依存関係の仮定の下での差、積、商、その他の2項関数と1項関数に拡張されました。^{[9] [10] [11] [12] [13] [14]}

加算、減算、乗算、除算、最小値、最大値、累乗、指数、対数、平方根、絶対値などの演算を含む算術式は、リスク分析や不確実性モデリングでよく使用されます。畳み込みは、確率分布によって指定された独立したランダム変数の合計の確率分布を求める演算です。この用語は、他の数学関数（積、差、商、およびより複雑な関数）の分布や、変数間の依存関係に関する他の仮定を求めることにも拡張できます。入力間の依存関係に関するさまざまな仮定の下で、これらの一般化された畳み込みを計算する便利なアルゴリズムがあります。^{[5] [9] [10] [14]}

実数上の分布関数の空間を表すとすると、 ${\displaystyle \mathbb {D} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

${\displaystyle \mathbb {D} =\{D|D:\mathbb {R} \to [0,1],D(x)\leq D(y){\text{ すべての }}x<y\} に対して。}$

Pボックスは5つ組

${\displaystyle \left\{{\overline {F}},{\underline {F}},m,v,\mathbf {F} \right\},}$

ここで、および、およびは実数区間、およびです。この5つ組は、次のような分布関数の集合を表します。 ${\displaystyle {\overline {F}}}$${\displaystyle {\underline {F}}\in \mathbb {D} }$${\displaystyle m}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \mathbf {F} \subset \mathbb {D} }$${\displaystyle F\in \mathbf {F} \subset \mathbb {D} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\forall x\in \mathbb {R} :\qquad &{\overline {F}}(x)\leq F(x)\leq {\underline {F}}(x)\\[6pt]&\int _{\mathbb {R} }xdF(x)\in m&&{\text{期待条件}}\\&\int _{\mathbb {R} }x^{2}dF(x)-\left(\int _{\mathbb {R} }xdF(x)\right)^{2}\in v&&{\text{分散条件}}\end{aligned}}}$

関数が上記の条件をすべて満たす場合、その関数はp-box内にあるとされます。場合によっては、p-box のエッジを構成する 2 つの分布関数にエンコードされているもの以外に、モーメントまたは分布ファミリに関する情報がないことがあります。その場合、p-box を表す 5 組は[ B ₁ , B ₂ ]とより簡潔に表記できます。この表記は、端点が点ではなく分布である点を除いて、実数直線上の区間の表記に似ています。 ${\displaystyle \{B_{1},B_{2},[-\infty ,\infty ],[0,\infty ],\mathbb {D} \}}$

この表記は、分布関数Fに従う確率変数であるという事実、つまり、 ${\displaystyle X\sim F}$${\displaystyle X\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\begin{cases}F:\mathbb {R} \to [0,1]\\x\mapsto \Pr(X\leq x)\end{cases}}}$

p -box で使用するためにチルダ表記を一般化しましょう。X ~ Bと書くと、 X はB内にあること以外は分布関数が不明なランダム変数であることを意味します。したがって、分布関数を明示的に指定せずに、 X ~ F ∈ Bを X ~ B と短縮することができます。

XとYがそれぞれ分布FとGを持つ独立確率変数である場合、X + Y = Z ~ Hは次のように表される。

${\displaystyle H(z)=\int _{z=x+y}F(x)G(y)dz=\int _{\mathbb {R} }F(x)G(z-x)dx=F*G.}$

この操作はFとGの畳み込みと呼ばれます。p-box の類似の操作は合計に対しては簡単です。

${\displaystyle X\sim A=[A_{1},A_{2}],\quad {\text{and}}\quad Y\sim B=[B_{1},B_{2}].}$

XとYが確率的に独立している場合、 Z = X + Yの分布はpボックス内にあります。

${\displaystyle \left[A_{1}*B_{1},A_{2}*B_{2}\right].}$

XとYの依存関係を仮定せずに和Z = X + Y の分布の境界を見つけることは、独立性を仮定する問題よりも実際には簡単です。マカロフ^{[6] [8] [9]}は、

${\displaystyle Z\sim \left[\sup _{z=x+y}\max(F(x)+G(y)-1,0),\inf _{z=x+y}\min(F(x)+G(y),1)\right]}$

これらの境界はフレシェ・ヘフディング コピュラ境界によって暗示される。この問題は数理計画法を用いて解くこともできる。^[13]

XとYが正の依存関係にあるという中間の仮定の下での畳み込みも同様に計算が容易であり、 XとYの間に完全な正の依存関係または完全な負の依存関係があるという極端な仮定の下での畳み込みも同様に計算が容易である。^[14]

減算、乗算、除算などの他の演算の一般化された畳み込みは、変換を使用して導出できます。たとえば、p-box 減算A − B はA + (− B )と定義できます。ここで、p-box B = [ B ₁、B ₂ ]の負は[ B ₂ (− x )、B ₁ (− x )] です。

リスク評価でよく使われるフォールトツリーやイベントツリーの分析では、論理積（AND演算）、論理和（OR演算）、排他的論理和、同値、条件などを含む論理式またはブール式が使われる。ブール^[1]やケインズ^[3]などが示唆するように、イベントの確率が区間によって特徴付けられる場合、これらの2項演算は簡単に評価できる。たとえば、イベントAの確率が区間P(A) = a = [0.2, 0.25]にあり、イベントBの確率が区間P(B) = b = [0.1, 0.3]にある場合、結合の確率は確実に区間

  P(A & B) = a × b

= [0.2, 0.25] × [0.1, 0.3]

= [0.2 × 0.1、0.25 × 0.3]

= [0.02, 0.075]

AとBが独立したイベントであると仮定できる限り。独立でない場合も、古典的なフレシェ不等式を使用して結合を制限できます。この場合、少なくとも、結合イベントAとBの確率が確実に区間内にあると推測できます。

  P(A & B) = env(max(0, a + b −1), min( a , b ))

= env(max(0, [0.2, 0.25]+[0.1, 0.3]−1), min([0.2, 0.25], [0.1, 0.3]))

= env([最大(0, 0.2+0.1–1), 最大(0, 0.25+0.3–1)], [最小(0.2,0.1), 最小(0.25, 0.3)])

= 環境([0,0], [0.1, 0.25])

= [0, 0.25]

ここでenv([ x ₁ , x ₂ ], [ y ₁ , y ₂ ])は[min( x ₁ , y ₁ ), max( x ₂ , y _{2 )]である。同様に、}選言の確率は確実に次の区間内にある。

  P(A 対 B) = a + b − a × b = 1 − (1 − a ) × (1 − b )

= 1 − (1 − [0.2, 0.25]) × (1 − [0.1, 0.3])

= 1 − [0.75, 0.8] × [0.7, 0.9]

= 1 − [0.525, 0.72]

= [0.28, 0.475]

AとBが独立なイベントである場合。独立でない場合は、フレシェ不等式により選言が制限される。

  P(A v B) = env(max( a , b ), min(1, a + b )) です。

= env(max([0.2, 0.25], [0.1, 0.3]), min(1, [0.2, 0.25] + [0.1, 0.3]))

= 環境([0.2, 0.3], [0.3, 0.55])

= [0.2, 0.55]。

A と B の間の依存関係に関する他の仮定の下で、論理積または論理和の区間境界を計算することもできます。たとえば、それらが正に依存していると仮定すると、結果として得られる区間は独立性を仮定した場合の答えほど厳密ではありませんが、フレシェ不等式によって与えられる答えよりは厳密です。否定、排他的論理和などの他の論理関数にも同様の計算が使用されます。評価されるブール式が複雑になると、式の最適な境界を得るために、数理計画法^{[2]を使用して評価する必要がある場合があります。同様の問題が}確率論理の場合にも発生します(たとえば、Gerla 1994 を参照)。イベントの確率が区間ではなく確率分布または p ボックスによって特徴付けられる場合は、同様の計算を実行して、トップ イベントの確率を特徴付ける分布または p ボックスの結果を取得できます。

p ボックスDで表される不確実な数が0 未満である確率は、区間 Pr( D < 0) = [ F (0), F̅ (0)] です。ここで、F̅ (0) は確率ボックスDの左境界、F (0) は右境界で、どちらも 0 と評価されます。確率ボックスで表される 2 つの不確実な数は、次のエンコードを使用して数値の大きさを比較できます。

A < B = Pr( A − B < 0)、

A > B = Pr( B − A < 0)、

A ≤ B = Pr( A − B ≤ 0)、かつ

A ≥ B = Pr( B − A ≤ 0)。

したがって、 AがBより小さい確率は、それらの差がゼロより小さい確率と同じであり、この確率は式A < Bの値であると言えます。

算術演算や論理演算と同様に、これらの大きさの比較は一般にAとBの間の確率的依存関係に依存し、エンコード時の減算はその依存関係を反映する必要があります。依存関係が不明な場合は、フレシェ演算を使用して、仮定を立てずに差を計算できます。

一部のアナリスト^{[15] [16] [17] [18] [19] [20]}は、確率境界を計算するために、モンテカルロシミュレーション、ラテン超方格法、重要度サンプリングなどのサンプリングベースのアプローチを使用しています。これらのシミュレーション方法は近似値であるため、結果の数学的厳密性を保証することはできませんが、シミュレーションの複製回数を増やすだけでパフォーマンスを向上できます。したがって、解析定理や数理計画法に基づく方法とは異なり、サンプリングベースの計算では通常、検証済みの計算を生成できません。ただし、サンプリングベースの方法は、解析的に解決したり厳密に境界を設定するのが困難なさまざまな問題に対処するのに非常に役立ちます。重要な例の 1 つは、高次元の問題で区間不確実性を伝播する際の次元の呪いを回避するためにコーシー偏角サンプリングを使用することです。 ^[21]

PBA は、不正確な確率を使用して偶然性と認識論的不確実性を同時に表現する手法のクラスに属します。PBA は、モンテ カルロ シミュレーションで一般的に実装されている区間解析と確率的畳み込みの両方を一般化したものです。PBA は、ベイズ感度分析と呼ばれることもあるロバスト ベイズ分析とも密接に関連しています。PBA は、2 次モンテ カルロ シミュレーションの代替手段です。

P ボックスと確率境界分析は、次のような工学および環境科学の多くの分野にわたる多くのアプリケーションで使用されてきました。

• エンジニアリングデザイン^[22]
• 専門家の意見聴取^[23]
• 種の感受性分布の分析^[24]
• アリアン5ロケットのフロントスカートの座屈荷重に関する航空宇宙工学の感度解析^[25]
• 化学反応器ダイナミクスのODEモデル^{[26] [27]}
• 吸入VOCの薬物動態変動^[28]
• 地下水モデリング^[29]
• 直列システムの限界故障確率^[30]
• 製鉄所跡地の土壌における重金属汚染^{[31] [32]}
• 塩分リスクモデルにおける不確実性の伝播^[33]
• 電力供給システムの安全性評価^[34]
• 汚染土壌リスク評価^[35]
• 飲料水処理のための工学システム^[36]
• 土壌スクリーニングレベルの計算^[37]
• 米国EPAによるフーサトニック川スーパーファンドサイトのPCB汚染に関する人体健康と生態系へのリスク分析^{[38] [39]}
• カルカシュー河口スーパーファンドサイトの環境アセスメント^[40]
• 超音速ノズル推力に関する航空宇宙工学^[41]
• 工学的問題に対する科学的計算の検証と妥当性確認^[42]
• 環境水銀汚染による小型哺乳類への毒性^[43]
• 地下水中の汚染物質の移動時間のモデル化^[44]
• 信頼性分析^[45]
• リードビーターポッサムの再導入に関する絶滅危惧種評価^[46]
• 食虫鳥類の農薬への曝露^[47]
• 気候変動予測^{[31] [48] [49]}
• 待ち行列システムにおける待ち時間^[50]
• オリンピック半島におけるアカアシシマフクロウの絶滅リスク分析^[51]
• 侵入種や農業害虫の侵入に対するバイオセキュリティ^[52]
• 有限要素 構造解析^{[53] [54] [55]}
• 費用見積り^[56]
• 核兵器備蓄の認証^[57]
• 水圧破砕による水質汚染のリスク^[58]

• 確率ボックス
• 堅牢なベイズ分析
• 不正確な確率
• 2次モンテカルロシミュレーション
• モンテカルロシミュレーション
• 区間分析
• 確率論
• リスク分析

• Bernardini, Alberto; Tonon, Fulvio (2010)。土木工学における不確実性の境界：理論的背景。ベルリン：Springer。ISBN 978-3-642-11189-1。
• ファーソン、スコット (2002)。RAMAS Risk Calc 4.0ソフトウェア: 不確実な数値によるリスク評価。フロリダ州ボカラトン: Lewis Publishers。ISBN 978-1-56670-576-9。
• Gerla, G. (1994). 「確率論理における推論」.人工知能. 70 ( 1– 2): 33– 52. doi :10.1016/0004-3702(94)90102-3.
• Oberkampf, William L.; Roy, ​​Christopher J. (2010)。科学計算における検証と妥当性確認。ニューヨーク: Cambridge University Press。ISBN 978-0-521-11360-1。

• 環境リスク評価における確率境界分析
• 区間と確率分布
• 認識論的不確実性プロジェクト
• 不正確な確率に関する学会：理論と応用