上段と下段のセット

数学における上集合${\displaystyle S}$半順序集合の${\displaystyle X}$は、 sがSに含まれ、かつXのx がsより大きい場合、xがSに含まれるような部分集合です。下側集合は 、同様に、 Sの要素より前に来るX の要素 xは必ずS の要素でもあるという性質を持つXの部分集合Sとして定義されます。

上側集合と下側集合は、他にも多くの名称で知られています。上側集合は、上方閉集合、アップセット、等値集合、または順序フィルターとも呼ばれ、下側集合は、下方閉集合、ダウンセット、減少集合、セミイデアル、または順序イデアルとも呼ばれます。^{[ 1 ] [ 2 ]} ただし、「順序イデアル」と「順序フィルター」という用語は、より限定的な概念にも使用されます。^{[ 3 ]}

させて${\displaystyle (X,\leq )}$予約注文セットであること（一部注文セットと同じだが、要件が異なる）${\displaystyle x\leq y,\,y\leq x}$暗示する${\displaystyle x=y}$（削除される）。

上部セット​${\displaystyle X}$（上方閉集合、上方集合、増加集合、または等値集合とも呼ばれる）^{[ 1 ]}は部分集合である${\displaystyle U}$それは、次の意味で「上昇の下で閉じている」：すべての${\displaystyle u}$で${\displaystyle U}$そして${\displaystyle x}$で${\displaystyle X}$、 もし${\displaystyle u\leq x}$、 それから${\displaystyle x}$は${\displaystyle U}$。

双対概念は下側集合（下方閉集合、下方集合、減少集合、または半イデアルとも呼ばれる）であり、これは部分集合である。${\displaystyle L}$それは「下降局面にある閉鎖」です。${\displaystyle l}$で${\displaystyle L}$そしてすべて${\displaystyle x}$で${\displaystyle X}$、 もし${\displaystyle x\leq l}$、 それから${\displaystyle x}$は${\displaystyle L.}$

順序イデアルという用語は、下側集合の同義語として使われることがあります。^{[ 4 ] [ 2 ] [ 5 ]}しかし、イデアルは、上向きに方向付けられた下側集合として具体的に定義されることもよくあります。^{[ 3 ] [ 6 ]}同様に、フィルタは下向きに方向付けられた上側集合です（つまり、すべての有限部分集合には下限があります）。

整列集合の場合、下位集合は通常、初期セグメントと呼ばれます。

以下の性質は上側集合に関して述べられているが、下側集合についても同様の双対性質が成り立つ。

• 予約注文されたセットはどれも、それ自体が上位セットである。
• 任意の上側集合の族の共通部分と和集合は、再び上側集合となる。
• 上位集合の補集合は下位集合であり、その逆もまた然りである。
• 部分的に順序付けられた集合が与えられた場合${\displaystyle (X,\leq ),}$上位集合の族${\displaystyle X}$包含関係で順序付けられたものは完全束、上集合束である。
• すべての上部セット${\displaystyle Y}$有限半順序集合の${\displaystyle X}$は、すべての最小要素を含む最小の上位集合に等しい。${\displaystyle Y.}$
• 下降鎖条件を満たす半順序の場合、反鎖と上側集合は次の全単射によって1対1に対応します。各反鎖をその上側閉包に写像します（下記参照）。逆に、各上側集合をその最小要素の集合に写像します。この対応関係は、より一般的な半順序、例えば実数の集合には当てはまりません。${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x>0\}}$そして${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x>1\}}$両方とも空のアンチチェーンにマッピングされます。

上側集合と下側集合は、数学の様々な分野に現れる。

• 実数の全順序集合において${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}$下段には「左光線」などが含まれる。${\displaystyle (-\infty ,3]}$そして${\displaystyle (-\infty ,5)}$空集合も同様${\displaystyle \emptyset }$そしてセット全体。上部のセットには次のような「右光線」が含まれます。${\displaystyle (3,\infty )}$そして${\displaystyle [5,\infty )}$。
• 実解析では、実数はしばしばデデキントカットとして定義される。定義によれば、これは空でない真の下部分集合である。${\displaystyle \mathbb {Q} }$最大要素を持たない。
• させて${\displaystyle X}$位相空間であり、${\displaystyle x}$その中に一点。${\displaystyle F}$は、すべての (必ずしも開放ではない) 近隣の集合とする。${\displaystyle x}$。 それから${\displaystyle F}$は、冪集合の上位集合である。${\displaystyle X}$包含関係によって順序付けられる。なぜなら、ある点の近傍を含む集合はすべて、その点の近傍だからである。
• セット内のどのフィルターでも${\displaystyle X}$は、冪集合の上位集合である。${\displaystyle X}$包含関係によって順序付けられる。位相空間内の点の近傍フィルタの先の例は、この例である。
• 抽象単体複体- 包含関係に関して下方閉じている集合族。

要素が与えられた場合${\displaystyle x}$予約注文したセットの${\displaystyle (X,\leq ),}$上部閉鎖または上方閉鎖${\displaystyle x}$定義される

${\displaystyle \uparrow \!x=\{u\in X:x\leq u\}}$

下部閉鎖または下方閉鎖${\displaystyle x}$による

${\displaystyle \downarrow \!x=\{l\in X:l\leq x\}.}$^{[ 7 ]}

フォームの上部と下部のセット${\displaystyle \uparrow \!x}$そして${\displaystyle \downarrow \!x}$これらは主フィルタと呼ばれます。要素の上閉路は、その要素によって生成される主フィルタと同じものです。なぜなら、それも下向きだからです。

より一般的には、部分集合が与えられた場合${\displaystyle A\subset X,}$上部閉鎖と下部閉鎖${\displaystyle A}$と定義される${\displaystyle \uparrow \!A=\bigcup _{a\in A}\uparrow \!a}$ そして${\displaystyle \downarrow \!A=\bigcup _{a\in A}\downarrow \!a}$; ^{[ 7 ]}これらはそれぞれ、最小の上集合と下集合であり、${\displaystyle A}$上閉包と下閉包は、冪集合からの関数として見た場合、${\displaystyle X}$自身に対する閉包は、 クラトフスキー閉包演算子の例である。結果として、集合の上閉包は、その集合を含むすべての上閉包の共通部分に等しくなり、下閉包についても同様である。

圏論では、半順序集合は射を記述することによって圏として見なすことができ（そしてしばしば見なされる）、${\displaystyle x\to y}$かつその場合に限り${\displaystyle x\leq y}$下側の閉鎖${\displaystyle \downarrow x}$スライスカテゴリに対応します${\displaystyle x}$上部のクロージャーは下部${\displaystyle x}$[ ^{8 ]​}

させて${\displaystyle X}$半順序集合とする。すると^{[ 9 ]}

${\displaystyle \eta :X\hookrightarrow {\mathfrak {P}}(X)}$

どこ${\displaystyle {\mathfrak {P}}(X)}$は、${\displaystyle X}$そして${\displaystyle \eta (x)={\downarrow \!x}}$下部閉鎖は${\displaystyle x}$地図${\displaystyle \eta }$これは、単射かつ単調であるという意味での埋め込みである。

${\displaystyle x\leq y\Longleftrightarrow {\downarrow \!x}\subseteq {\downarrow \!y}.}$^{[ 10 ]}

したがって、上記の構成は、与えられた順序を集合包含によって置き換えるために使用でき、最小上界が常に存在する（おそらくイメージの外側）などの利点も得られます。${\displaystyle \eta }$すなわち、和集合である。例えば、この手法を用いることで、ゾルンの補題の証明を集合の半順序集合の場合に還元することができる。^{[ 11 ]}

ポール・テイラーが指摘するように、上記の${\displaystyle \eta }$これは圏論における米田の補題の埋め込みの類似物である。 ^{[ 12 ] [ 13 ]}

イメージ${\displaystyle \eta }$は、すべての下位集合の集合に含まれる。${\displaystyle X}$しかし、より具体的には、それは、で表すすべての有向下集合（イデアル）の集合に含まれる。${\displaystyle I(X)}$そして理想的な完成と呼ばれた${\displaystyle X}$[ ^{14 ]}それ^から${\displaystyle \eta :X\hookrightarrow I(X)}$普遍的な性質を満たす${\displaystyle I}$自由関手とは、 dcposの圏からposets の圏への忘却関手に左随伴する関手である。^{[ 15 ]}

半順序集合間の関数は、単調である場合（つまり、${\displaystyle \leq }$）そして有向上項を保持する。^{[ 16 ]}すると半順序集合${\displaystyle X}$部分集合がトポロジーを持つ${\displaystyle U}$特性関数が${\displaystyle U}$はスコット連続である。この位相はスコット位相と呼ばれる。具体的には、この位相における開集合は、 となるような上集合である。${\displaystyle \textstyle \sup _{i}x_{i}\in U}$有向集合の場合${\displaystyle x_{i}}$、 それから${\displaystyle x_{i}}$は${\displaystyle U}$一部の人にとって${\displaystyle i}$[ ^{17 ]}ここでの直感は、supは最良の近似値に対応し、最良の近似値が集合内に存在する場合、その集合内にはすでに何らかの有限近似値が存在するということです^。

スコット位相は、コンピュータ科学と密接な関係を持つ順序理論の一分野である領域理論において重要な位置を占めている。代数幾何学で用いられるザリスキー位相と同様に、スコット位相は非ハウスドルフ位相空間の重要な例である。

与えられた半順序集合のすべての下位集合の集合${\displaystyle P}$包含関係によって順序付けされる。結果として得られる半順序集合は、${\displaystyle J(P)}$は格子である（つまり、 のすべての部分集合が${\displaystyle J(P)}$最小上界と最大下界を持ち、実際に分配束（最小上界と最大下界の2つの演算が互いに分配されることを意味する）である。 バーコフの表現定理は、すべての有限分配束は、（同型を除いて）このようにして、一意の有限半順序集合の下界の束として生じると主張している。

• 共同最終セット– 部分集合${\displaystyle U}$半順序集合の${\displaystyle (X,\leq )}$すべての要素を含む${\displaystyle x\in X,}$何らかの要素${\displaystyle y}$そのため${\displaystyle x\leq y.}$

• 上位トポロジー

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