残差有限群

数学の群論の分野において、群 Gが残差有限または有限近似可能であるとは、 G内の単位元でないすべての元gに対して、 Gから有限群への準同型写像h が存在し、

${\displaystyle h(g)\neq 1.\,}$^[1]

同等の定義はいくつかあります。

• 群内の非単位元ごとに、その元を含まない有限インデックスの正規部分群が存在する場合、その群は残差有限です。
• 群が残差有限であるためには、有限指数を持つその部分群の共通部分が自明である必要があります。
• 群が残差有限となるのは、有限指数を持つそのすべての正規部分群の交差が自明である場合のみです。
• 群が残差有限となるのは、有限群の族の直積内に埋め込むことができる場合のみです。

残差有限な群の例としては、有限群、自由群、有限生成 冪零群、多環式有限群、有限生成 線型群、コンパクト3 次元多様体の基本群などがあります。

残余有限群の部分群は残余有限であり、残余有限群の直積は残余有限である。残余有限群の任意の逆極限は残余有限である。特に、すべてのprofinite 群は残余有限である。

非残差有限群の例は、有限生成残差有限群はすべてホップ群であるという事実を使って構築できます。たとえば、バウムスラッグ-ソリター群 B (2,3) はホップ群ではないため、残差有限ではありません。

あらゆる群Gは、単位群の開近傍の基底として、 G内の有限指数のすべての正規部分群の集合をとることによって、位相群にすることができます。結果として得られる位相は、G上のprofinite 位相と呼ばれます。群が残差有限であるためには、その profinite 位相がハウスドルフである必要があります。

巡回部分群が前有限位相で閉じている群はと呼ばれます。それぞれの有限生成部分群が前有限位相で閉じている群は、部分群分離可能（またはLERF、局所拡張残差有限）と呼ばれます。すべての共役類が前有限位相で閉じている群は、共役分離可能と呼ばれます。 ${\displaystyle \Pi _{C}\,}$

1 つの疑問は、すべてのグループが残差有限である 多様体の特性は何かということです。これに関する 2 つの結果は次のとおりです。

• 残差有限群のみからなる多様体は、A 群によって生成されます。
• 残余有限群のみからなる任意の多様体には、すべてのメンバーがその有限群の直積に埋め込まれるような有限群が含まれます。

• 残余財産（数学）

• 上記の主張のいくつかを証明する記事