トートロジーバンドル

数学において、トートロジーバンドルは、グラスマン多様体上に自然なトートロジー的な方法で現れるベクトルバンドルです。の-次元部分空間のグラスマン多様体に対して、 - 次元ベクトル部分空間に対応するグラスマン多様体の点が与えられると、 上のファイバーはその部分空間自体になります。射影空間の場合、トートロジーバンドルはトートロジー直線バンドルとして知られています。${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$${\displaystyle k}$${\displaystyle W\subseteq V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle W}$

トートロジーバンドルは、コンパクト空間^{[1]上の任意のベクトルバンドルがトートロジーバンドルの引き戻しであるため、}普遍バンドルとも呼ばれます。つまり、グラスマン多様体はベクトルバンドルの分類空間です。このため、トートロジーバンドルは特性類の研究において重要です。

トートロジーバンドルは代数位相幾何学と代数幾何学の両方で構築されます。代数幾何学では、トートロジー直線バンドル（可逆層として）は

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-1),}$

超平面束またはセールのねじれ層の双対。超平面束は、における超平面（因子）に対応する直線束である。トートロジー直線束と超平面束は、まさに射影空間のピカール群の2つの生成元である。 ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(1)}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

マイケル・アティヤの「K理論」では、複素射影空間上のトートロジー直線束は標準直線束と呼ばれます。標準束の球面束は通常ホップ束と呼ばれます。(ボット生成器を参照。)

より一般的には、グラスマン束だけでなくベクトル束の射影束にもトートロジー束が存在します。

古い用語である「正準バンドル」は、数学用語では「正準」という語がすでに過度に多用されており、（さらに悪いことに）代数幾何学における「正準クラス」との混同が避けられないという理由で、使用されなくなっています。

グラスマン多様体は、定義により、与えられたベクトル空間における、与えられた次元の線型部分空間 のパラメータ空間です。 がグラスマン多様体で、 がにおけるに対応するの部分空間である場合、これはすでにベクトル束に必要なデータ、つまり各点 に対するベクトル空間で、連続的に変化します。 この指示からトートロジー束の定義を妨げる唯一のものは、 が交差するという困難さです。 これを修正するには、互いに素な和集合のデバイスを日常的に適用し、束の射影が の同一のコピーで構成される全空間から行われ、それらのコピーは交差しなくなります。 これにより、束が得られます。 ${\displaystyle W}$${\displaystyle G}$${\displaystyle V_{g}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle g}$${\displaystyle G}$${\displaystyle g}$${\displaystyle V_{g}}$${\displaystyle V_{g}}$

射影空間の場合も含まれます。慣例により、 は双対空間の意味でトートロジーバンドルを運ぶことができます。つまり、双対空間では、 の点は、上の線型関数(の射線) として考えた場合、その核である のベクトル部分空間を運びます。 が次元 を持つ場合、トートロジー直線バンドルは1 つのトートロジーバンドルであり、先ほど説明したもう 1 つは階数 です。 ${\displaystyle P(V)}$${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle P(V)}$${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle n}$

を のn次元ベクトル部分空間のグラスマン多様体とすると、それは のすべてのn次元ベクトル部分空間の集合です。たとえば、n = 1 の場合、それは実射影k空間です。 ${\displaystyle G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+k};}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+k}.}$

次のようにして、トートロジーバンドル γ _{n , k}を定義する。バンドルの全空間は、グラスマン多様体の点VとVのベクトルvからなるすべてのペア ( V , v ) の集合である。これは、直積の部分空間位相で与えられる。射影写像 π は、π( V , v ) = Vで与えられる。F が π による V の逆像である場合、ベクトル空間の構造は、a ( V , v ) + b ( V , w ) = ( V , av + bw ) で与えられる。最後に、局所的自明性を確認するために、グラスマン多様体の点Xが与えられたとき、 Xへの直交射影p がV をXに同型に写すすべてのVの集合をUとし、^[3]を定義する。 ${\displaystyle G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})}$${\displaystyle G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})\times \mathbb {R} ^{n+k}.}$

${\displaystyle {\begin{cases}\phi :\pi ^{-1}(U)\to U\times X\subseteq G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})\times X\\\phi (V,v)=(V,p(v))\end{cases}}}$

これは明らかに同相写像です。したがって、結果は階数nのベクトル束になります。

上記の定義は、複素体で置き換えても意味をなします。${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

定義により、無限グラスマン多様体はの直接極限である。バンドル γ _nの直接極限をとると_、kのトートロジーバンドル γ _nが得られる。これは、各コンパクト空間Xに対して、自然な一対一が存在する という意味で普遍バンドルである。${\displaystyle G_{n}}$${\displaystyle G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})}$${\displaystyle k\to \infty .}$${\displaystyle G_{n}.}$

${\displaystyle {\begin{cases}[X,G_{n}]\to \operatorname {Vect} _{n}^{\mathbb {R} }(X)\\f\mapsto f^{*}(\gamma _{n})\end{cases}}}$

ここで、左側の括弧はホモトピー類を意味し、右側は階数nの実ベクトル束の同型類の集合である。逆写像は次のように与えられる。Xはコンパクトであるため、任意のベクトル束Eは自明な束の部分束である。あるkに対して、Eは写像を決定する。 ${\displaystyle E\hookrightarrow X\times \mathbb {R} ^{n+k}}$

${\displaystyle {\begin{cases}f_{E}:X\to G_{n}\\x\mapsto E_{x}\end{cases}}}$

ホモトピーまで一意。

注：逆に、トートロジーバンドルを普遍バンドルとして定義することもできる。自然一対一が存在すると仮定する。

${\displaystyle [X,G_{n}]=\operatorname {Vect} _{n}^{\mathbb {R} }(X)}$

任意のパラコンパクト空間 Xに対して成立する。はコンパクト空間の直接的な極限なので、パラコンパクトであり、したがって 上の恒等写像に対応する唯一のベクトル束が存在する。 これはまさにトートロジー束であり、制限により、すべての上のトートロジー束が得られる。${\displaystyle G_{n}}$${\displaystyle G_{n}}$${\displaystyle G_{n}.}$${\displaystyle G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k}).}$

実射影k空間上の超平面バンドル Hは次のように定義されます。 Hの全空間は、 Lの原点を通る直線LとL上の線型関数fからなるすべてのペア ( L、f ) の集合です。射影マップ π は π( L、f ) = Lで与えられます (したがって、 L上のファイバーはLの双対ベクトル空間です)。残りはトートロジー直線バンドルとまったく同じです。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k+1}}$

言い換えれば、H はトートロジー直線束の 双対束です。

代数幾何学において、超平面束は、超平面因子に対応する線束（可逆層として）である。

${\displaystyle H=\mathbb {P} ^{n-1}\subset \mathbb {P} ^{n}}$

例えば、x ₀ = 0 と与えられ、x _{i は}同次座標である。これは次のように見ることができる。D が 1 上の (Weil) 因子である場合、対応する直線束O ( D )をX上で次の ように定義する。${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{n},}$

${\displaystyle \Gamma (U,O(D))=\{f\in K|(f)+D\geq 0{\text{ on }}U\}}$

ここで、K はX上の有理関数の体です。D をHとすると、次の式が得られます。

${\displaystyle {\begin{cases}O(H)\simeq O(1)\\f\mapsto fx_{0}\end{cases}}}$

ここで、x _{0は、通常どおり、ねじれ層}O (1)のグローバルセクションとして見なされます。(実際、上記の同型は、ヴェイユ因子とカルティエ因子の間の通常の対応の一部です。) 最後に、ねじれ層の双対は、トートロジー直線束に対応します (以下を参照)。

代数幾何学では、この概念は任意の体k上に存在します。具体的な定義は次のとおりです。 およびとします。次の式が成り立つことに注意してください。 ${\displaystyle A=k[y_{0},\dots ,y_{n}]}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}=\operatorname {Proj} A}$

${\displaystyle \mathbf {Spec} \left({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}[x_{0},\ldots ,x_{n}]\right)=\mathbb {A} _{\mathbb {P} ^{n}}^{n+1}=\mathbb {A} ^{n+1}\times _{k}{\mathbb {P} ^{n}}}$

ここで、Spec は相対的な Specです。次に、次のように入力します。

${\displaystyle L=\mathbf {Spec} \left({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}[x_{0},\dots ,x_{n}]/I\right)}$

ここで、I は大域切断によって生成されるイデアル層です。すると、L は同じ基底スキーム上のの閉じた部分スキームになります。さらに、 Lの閉じた点は、 x がゼロであるか、 xの像がyであるの点 ( x、y ) とまったく同じです。したがって、k が実数体または複素数体である 場合、 L は前に定義したトートロジー直線束です。${\displaystyle x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {P} ^{n}}^{n+1}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{n+1}\times _{k}\mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

より簡潔に言えば、L はアフィン空間の原点の拡大であり、 L内の軌跡x = 0は例外的な因子です。(Hartshorne、第 1 章、§ 4 の最後を参照。) ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n+1}}$

一般に、は有限ランクの局所自由層Eに対応する代数的ベクトル束である。^[4]正確なシーケンスがあるので、 ${\displaystyle \mathbf {Spec} (\operatorname {Sym} {\check {E}})}$

${\displaystyle 0\to I\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}[x_{0},\ldots ,x_{n}]{\overset {x_{i}\mapsto y_{i}}{\longrightarrow }}\operatorname {Sym} {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(1)\to 0,}$

上で定義したトートロジー直線束Lは、セールのねじれ層の双対に対応する。実際には、両方の概念（トートロジー直線束とねじれ層の双対）は互換的に使用される。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-1)}$

体上では、その双対直線束は超平面因子 Hに関連付けられた直線束であり、その大域断面は線型形式である。そのチャーン類は− Hである。これは反過剰直線束の例である。これ上では、それが負の直線束であると言うことと同値であり、そのチャーン類を引いたものが標準ケーラー形式の de Rham 類であることを意味する。 ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$

• トートロジー直線束 γ _{1, k は}、 k ≥ 1に対して局所的には自明だが自明ではない。これは他の体でも成り立つ。^[要出典]

実際、 k = 1 の場合、実トートロジー直線束は、その全空間がメビウスの帯であるよく知られた束に他ならないことは簡単に示せます。上記の事実の完全な証明については、^{[5]を参照してください。}

• 上の直線束のピカール群は無限巡回であり、トートロジー直線束は生成元である。${\displaystyle \mathbb {P} (V)}$

• 射影空間の場合、トートロジーバンドルは直線バンドルであり、関連付けられた可逆なセクション層は、超平面バンドルまたはセールねじれ層のテンソル逆 (つまり、双対ベクトルバンドル) です。言い換えると、超平面バンドルは (因子として) 正の次数を持つピカール群の生成元であり、トートロジーバンドルはその反対、つまり負の次数の生成元です。${\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$

• ホップバンドル
• スティフェル・ホイットニー級
• オイラー数列
• チャーン類(トートロジーバンドルのチャーン類は、無限グラスマン多様体のコホモロジー環の代数的に独立した生成元です。)
• ボレルの定理
• トム空間（n →∞としてのトートロジーバンドル γ _nのトム空間はトムスペクトルと呼ばれる。）
• グラスマンバンドル

• アティヤ、マイケル・フランシス（1989）、K理論、Advanced Book Classics（第2版）、Addison-Wesley、ISBN 978-0-201-09394-0、MR  1043170
• グリフィス、フィリップ、ハリス、ジョセフ（1994）、代数幾何学の原理（PDF）、ワイリークラシックスライブラリー、ニューヨーク：ジョンワイリーアンドサンズ、doi：10.1002 / 9781118032527、ISBN 978-0-471-05059-9、MR  1288523。
• ハーツホーン、ロビン（1977）、代数幾何学、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90244-9、MR  0463157、OCLC  13348052。
• ミルナー、ジョン W. ;スタシェフ、ジェームズ D. (1974)、「特性クラス」、数学研究年報、第 76 巻、プリンストン、ニュージャージー: プリンストン大学出版局、MR  0440554
• ルベイ、エレナ（2014）、代数幾何学：簡潔な辞典、ベルリン/ボストン：ウォルター・デ・グリュイター、ISBN 978-3-11-031622-3