周期関数

周期関数とは、一定の間隔で値を繰り返す関数のことです。例えば、波やその他の周期的な現象を記述するために用いられる三角関数は周期関数です。月の満ち欠け、振り子の揺れ、心臓の鼓動など、自然界の多くの現象にも周期的な性質が見られます。

周期関数が繰り返される区間の長さを周期という。周期関数でない関数は非周期関数と呼ばれる。

意味

関数の値が一定の間隔で繰り返される場合、その関数は周期関数であると定義されます。例えば、時計の針の位置は、12時間ごとに同じ位置を循環するため、周期的な挙動を示します。この繰り返される間隔は周期と呼ばれます。

より正式には、関数 $f$ 非ゼロ定数が存在する場合、周期的である。 $P$ そのため

f(x+P)=f(x)

すべての値に対して $x$ 定義域内。ゼロでない定数 $P$ この条件が成り立つ区間を関数の周期と呼ぶ。 ^{[ 1 ]}

期間 $P$ 存在する、任意の整数倍 $nP$ （正の整数の場合） $n$ も周期です。最小の正の周期が存在する場合、それは基本周期（原始周期または基本周期）。^{[ 2 ]}関数の周期は、その基本周期を指す場合が多い。

幾何学的に、周期関数のグラフは並進対称性を示す。そのグラフは並進に対して不変である。 $x$ -距離による方向 $P$ これは、グラフ全体が、ある特定の部分のコピーを一定間隔で繰り返すことによって形成されることを意味する。

例

周期的な挙動は、身近な日常的な例と、より形式的な数学関数の両方を通して説明することができる。

実数値関数

実数を実数に写像する関数は周期性を示すことがあり、それはしばしばグラフ上で視覚化される。

のこぎり波

例としては、関数があります。 $f$ これは引数の「小数部分」を表します。周期は 1 です。たとえば、

f(0.5)=f(1.5)=f(2.5)=\cdots =0.5

関数のグラフ $f$ のこぎり波です。

三角関数

{\displaystyle f(x)=\sin(x)} — プロット $f(x)=\sin(x)$ そして $g(x)=\cos(x)$ 両方の関数は周期を持つ周期関数である。 $2π$ 。

三角関数は周期関数の一般的な例です。正弦関数と余弦関数は周期関数であり、基本周期は $2π$ 右図に示すように、正弦関数では、これは次のように表されます。

\sin(x+2\pi )=\sin x

すべての値に対して $x$ 。

フーリエ級数の分野では、任意の周期関数が、周期が一致する三角関数の和として表現できるという概念を研究する。

特殊な機能

周期関数の中には、直感的に理解しにくい性質を持つものがある。例えば、ディリクレ関数は周期関数であり、ゼロでない任意の有理数が周期となる。しかし、基本周期は存在しない。

複素数値関数

複素数に定義域を持つ関数は、より複雑な周期性を示すことがある。

複素指数関数

複素指数関数は、純虚数周期を持つ周期関数である。

e^{ikx}=\cos kx+i\,\sin kx

コサイン関数とサイン関数はどちらも周期を持つ周期関数であることを考慮すると、 $2π$ オイラーの公式は、複素指数関数が周期を持つことを示している。 $L$ そのため

L={\frac {2\pi }{k}}

。

二重周期関数

複素平面上の関数は、定数関数でなくても、互いに異なる2つの周期を持つことができる。楕円関数はそのような関数の代表的な例である。（ここでいう「互いに異なる」とは、周期が実数の倍数ではないことを意味する。）

物件

周期関数は何度も値をとることができます。より具体的には、関数が $f$ 周期は周期的である $P$ そして、すべての $x$ の領域において $f$ およびすべての正の整数 $n$ [ ³^]

f(x+nP)=f(x)

積分に関連する重要な特性は、 $f(x)$ は周期を持つ積分可能な周期関数である $P$ すると、長さの任意の区間におけるその定積分は $P$ 同じである。^{[ 3 ]}つまり、任意の実数に対して $a$ :

\int _{a}^{a+P}f(x)\,dx=\int _{0}^{P}f(x)\,dx

この性質は、係数が1周期にわたる積分によって決定されるフーリエ級数などの分野において非常に重要です。

もし $f(x)$ 周期を持つ関数です $P$ 、それから $f(ax)$ 、どこ $a$ はゼロでない実数で、 $ax$ の範囲内にある $f$ は周期的に周期的である。 ${\frac {P}{|a|}}$ 。例えば、 $f(x)=\sin(x)$ 期間がある $2π$ したがって、 $\sin(5x)$ 期間があります ${\frac {2\pi }{5}}$ 。

多くの周期関数の重要な特性は、フーリエ級数で記述できることです。この級数は、周期関数をより単純な周期関数、すなわち正弦関数と余弦関数の和として表します。例えば、楽器の音波は、基本音と様々な倍音に分解できます。この分解は、物理学や信号処理などの分野で強力なツールです。ほとんどの「扱いやすい」周期関数はこのように表現できますが、^{[ 4 ]}フーリエ級数は周期関数または有限長で定義された関数にのみ使用できます。 $f$ は周期関数であり、周期は $P$ フーリエ級数で記述できる場合、級数の係数は長さの区間の積分で記述できます。 $P$ 。

同じ周期を持つ周期関数の組み合わせである関数は、すべて周期関数である（ただし、基本周期は小さい場合がある）。これには以下が含まれる。

周期関数の加算、減算、乗算、除算、^{[ 1 ]}および
周期関数のべき乗または根を取る（ただし、すべての周期関数に対して定義されている場合） $x$ ）

一般化

周期性の概念は、実数直線上の関数以外にも一般化できる。例えば、繰り返しパターンの概念は、平面の周期的な敷き詰めなど、多次元の形状にも適用できる。数列は自然数上で定義された関数とみなすことができ、周期数列の概念もそれに応じて定義される。

抗周期機能

周期関数のサブセットの一つに反周期関数がある。これは関数である。 $f$ そのため $f(x+P)=-f(x)$ すべての人々のために $x$ 例えば、正弦関数と余弦関数は $\pi$ -抗周期性および $2π$ -周期的。 $P$ -反周期関数は $2P$ 周期関数であっても、その逆は必ずしも真ではない。^{[ 5 ]}

ブロッホ周期関数

さらに一般化は、様々な周期微分方程式の解を支配するブロッホの定理とフロケ理論の文脈で現れる。この文脈では、（一次元における）解は典型的には次の形式の関数である。

f(x+P)=e^{ikP}f(x)~,

どこ $k$ は実数または複素数（ブロッホ波数ベクトルまたはフロケ指数）です。この形式の関数は、この文脈ではブロッホ周期関数と呼ばれることがあります。周期関数は、の特殊なケースです。 $k=0$ 反周期関数は、その特殊なケースである。 $k=\pi /P$ 。いつでも $kP/\pi$ 関数が有理関数であれば、その関数は周期関数でもある。

商空間を定義域とする

信号処理では、フーリエ級数が周期関数を表し、フーリエ級数が畳み込み定理を満たす（つまり、フーリエ級数の畳み込みは表現された周期関数の乗算に対応し、その逆も成り立つ）という問題に遭遇しますが、関係する積分が発散するため、通常の定義では周期関数を畳み込むことはできません。この問題を解決する一つの方法は、有界ではあるが周期的な領域上で周期関数を定義することです。そのために、商空間の概念を用いることができます。

{\mathbb {R} /\mathbb {Z} }=\{x+\mathbb {Z} :x\in \mathbb {R} \}=\{\{y:y\in \mathbb {R} \land yx\in \mathbb {Z} \}:x\in \mathbb {R} \}

。

つまり、 ${\mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ は、同じ小数部を共有する実数の同値類です。したがって、次のような関数は $f:{\mathbb {R} /\mathbb {Z} }\to \mathbb {R}$ これは1周期関数の表現です。

計算期間

重ね合わされた周波数からなる実際の波形を考えます。これは基本周波数fに対する比率としてセットで表されます。F = 1 ⁄ f [f ₁ f ₂ f ₃ ... f _N ] ここで、すべての非ゼロ要素は ≥ 1 であり、セットの要素の少なくとも 1 つは 1 です。周期 T を求めるには、まずセット内のすべての要素の最小公倍数を求めます。周期は T = LCD ⁄ fとして求められます。単純な正弦波の場合、T = 1 ⁄ fであることを考慮すると、LCD は周期乗数と見なすことができます。

西洋長音階のすべての音を表すセット：[1 9 ⁄ 8 5 ⁄ 4 4 ⁄ 3 3 ⁄ 2 5 ⁄ 3 15 ⁄ 8 ]の場合、LCDは24なので、T = 24 ⁄ fです。
長三和音のすべての音を表すセット [1 5 ⁄ 4 3 ⁄ 2 ] の場合、LCD は 4 なので、T = 4 ⁄ fとなります。
短三和音のすべての音を表すセット [1 6 ⁄ 5 3 ⁄ 2 ] の場合、LCD は 10 なので、T = 10 ⁄ fとなります。

最小公倍数が存在しない場合、例えば上記の要素のいずれかが無理数である場合、波は周期的ではない。^{[ 6 ]}

参考文献

1 2トルストフ、ゲオルギイ・パブロヴィチ。トルストフ、ゲオルギー・パブロヴィッチ (2009)。フーリエ級数。ドーバーの数学に関する本 (Nachdr 編)。ニューヨーク: ドーバー出版。 p. 1.ISBN 978-0-486-63317-6。
↑定数関数やディリクレ関数（有理数の指示関数）のような関数では、最小正周期（すべての正周期の下限）が存在しない場合があります。 $P$ （ゼロの場合）。
1 2トルストフ、ゲオルギイ・パブロヴィッチ (2009)。フーリエ級数。ドーバーの数学に関する本 (Nachdr編)。ニューヨーク: ドーバー出版。 p. 2.ISBN 978-0-486-63317-6。
↑例えば、 L ²関数については、カールソンの定理によれば、それらは点ごとの(ルベーグ)ほぼ至るところで収束するフーリエ級数を持つ。
↑ Weisstein, Eric W. "反周期関数" . mathworld.wolfram.com . 2024-06-06に取得.
↑ Summerson, Samantha R. (2009年10月5日). "周期性、実フーリエ級数、フーリエ変換" (PDF) . 2019年8月25日にオリジナル(PDF)からアーカイブ済み。 2018年3月24日取得。

イーヴァル、エケランド(1990)。 "1つ"。ハミルトン力学における凸法。 Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [数学および関連分野の結果 (3)]。 Vol. 19. ベルリン: Springer-Verlag。 pp.x +247。ISBN 3-540-50613-6MR 1051888 .

外部リンク

「周期関数」 .数学百科事典. EMS Press. 2001 [1994].
ワイススタイン、エリック W. 「周期関数」 . MathWorld .

[:0-1] 1 2トルストフ、ゲオルギイ・パブロヴィチ。トルストフ、ゲオルギー・パブロヴィッチ (2009)。フーリエ級数。ドーバーの数学に関する本 (Nachdr 編)。ニューヨーク: ドーバー出版。 p. 1.ISBN 978-0-486-63317-6。

[2] 定数関数やディリクレ関数（有理数の指示関数）のような関数では、最小正周期（すべての正周期の下限）が存在しない場合があります。 $P$ （ゼロの場合）。

[:1-3] 1 2トルストフ、ゲオルギイ・パブロヴィッチ (2009)。フーリエ級数。ドーバーの数学に関する本 (Nachdr編)。ニューヨーク: ドーバー出版。 p. 2.ISBN 978-0-486-63317-6。

[4] 例えば、 L ²関数については、カールソンの定理によれば、それらは点ごとの(ルベーグ)ほぼ至るところで収束するフーリエ級数を持つ。

[5] Weisstein, Eric W. "反周期関数" . mathworld.wolfram.com . 2024-06-06に取得.

[6] Summerson, Samantha R. (2009年10月5日). "周期性、実フーリエ級数、フーリエ変換" (PDF) . 2019年8月25日にオリジナル(PDF)からアーカイブ済み。 2018年3月24日取得。

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意味

例