パウリの排他原理

量子力学において、パウリの排他原理は、半整数スピンを持つ2つ以上の同一の粒子（フェルミオン）は、量子力学の法則に従うシステム内で同時に同じ量子状態を占めることはできないと述べています。この原理は、1925年にオーストリアの物理学者ヴォルフガング・パウリによって電子に対して定式化され、後に1940年のスピン統計定理によってすべてのフェルミオンに拡張されました。

原子内の電子の場合、排他原理は次のように述べることができます。多電子原子では、どの 2 つの電子も、その 4 つの量子数すべてにおいて同じ 2 つの値を持つことは不可能です。4 つの量子数とは、主量子数 n 、方位量子数 ℓ 、磁気量子数m ℓ 、スピン量子数m sです。たとえば_、 2つの電子_が同じ軌道に存在する場合、それらのn、ℓ、およびm _ℓの値は等しくなります。その場合、m _s (スピン) ペアの 2 つの値は異なる必要があります。スピン射影m _{sの可能な値は +1/2 と −1/2 の 2 つだけなので、1 つの電子は}m _s = +1/2 を持ち、もう 1つの電子はm _s = −1/2を持つことになります。

整数スピンを持つ粒子（ボソン）は、パウリの排他原理の対象ではありません。レーザーによって生成される光子やボーズ・アインシュタイン凝縮体に含まれる原子など、任意の数の同一のボソンが同じ量子状態を占めることができます。

より厳密な表現は、2 つの同一粒子の交換において、全波動関数(多粒子)はフェルミオンに対しては反対称、ボソンに対しては対称である、というものです。つまり、2 つの同一粒子の空間座標とスピン座標を交換すると、全波動関数はフェルミオンに対しては符号が変わりますが、ボソンに対しては符号が変わりません。

したがって、仮に 2 つのフェルミオンが同じ状態 (たとえば、同じスピンを持つ同じ軌道の同じ原子) にある場合、それらを交換しても何も変わらず、全体の波動関数は変化しません。ただし、全体の波動関数が符号を変更 (フェルミオンの場合に必要) し、かつ変更されない唯一の方法は、そのような関数がどこでもゼロである必要があるため、そのような状態は存在できません。この推論は、符号が変化しないため、ボソンには適用されません。

パウリの排他原理は、すべてのフェルミオン（半整数スピンを持つ粒子）の挙動を説明しますが、ボソン（整数スピンを持つ粒子）は他の原理に従います。フェルミオンには、クォーク、電子、ニュートリノなどの素粒子が含まれます。さらに、陽子や中性子（3つのクォークから構成される亜原子粒子）などの重粒子や、ヘリウム3などの一部の原子はフェルミオンであるため、パウリの排他原理によっても説明されます。原子は全体的なスピンが異なる場合があり、それによってフェルミオンであるかボソンであるかが決まります。たとえば、ヘリウム3はスピンが1/2であるためフェルミオンですが、ヘリウム4はスピンが0であるためボソンです。^{[2] ：123–125}パウリの排他原理は、大規模な安定性から原子の化学的挙動まで、日常の物質の多くの特性の基盤となっています。

半整数スピンとは、フェルミオンの固有角運動量の値が（換算プランク定数）の半整数倍（1/2、3/2、5/2など）であることを意味します。量子力学の理論では、フェルミオンは反対称状態によって記述されます。対照的に、整数スピンを持つ粒子（ボソン）は対称波動関数を持ち、同じ量子状態を共有する場合があります。ボソンには、光子、超伝導の原因となるクーパー対、WボソンとZボソンが含まれます。フェルミオンは、それが従うフェルミ-ディラック統計分布にちなんで名付けられ、ボソンはボーズ-アインシュタイン分布にちなんで名付けられています。 ${\displaystyle \hbar =h/2\pi }$

20世紀初頭には、電子の数が偶数である原子や分子は、電子の数が奇数であるものよりも化学的に安定していることが明らかになった。例えば、ギルバート・N・ルイスによる1916年の論文「原子と分子」では、化学的挙動に関する6つの公理のうち3番目として、原子はどの殻にも偶数の電子を保持する傾向があり、特に8個の電子を保持する傾向があると述べており、彼はそれが典型的には立方体の8つの角に対称的に配置されていると仮定した。^[3] 1919年に化学者アーヴィング・ラングミュアは、原子内の電子が何らかの方法で接続または密集していれば周期表を説明できると示唆した。電子のグループは、原子核の周りの電子殻のセットを占めていると考えられていた。 ^[4] 1922年、ニールス・ボーアは、特定の数の電子（例えば2、8、18）が安定した「閉殻」に対応すると仮定して原子モデルを更新した。 ^{[5] : 203}

パウリは、当初は経験的であったこれらの数値の説明を模索した。同時に、彼は原子分光学と強磁性におけるゼーマン効果の実験結果を説明しようとしていた。彼は、1924年のエドモンド・C・ストーナーの論文に重要な手がかりを見出した。その論文では、主量子数( n )の与えられた値に対して、すべての縮退したエネルギー準位が分離された外部磁場中のアルカリ金属スペクトルにおける単一電子のエネルギー準位の数は、同じnの値に対する希ガスの閉殻内の電子数に等しいと指摘されていた。これによりパウリは、閉殻内の複雑な電子数は、電子状態が4つの量子数を使用して定義される場合、状態ごとに1つの電子という単純な規則に簡略化できることに気付いた。この目的のために、彼は新しい2値の量子数を導入し、サミュエル・グードシュミットとジョージ・ウーレンベックによって電子スピンとして特定された。^{[6] [7]}

パウリはノーベル賞受賞講演で、排他原理における量子状態の対称性の重要性を明らかにした。^[8]

さまざまな対称性のクラスのうち、最も重要なクラス（しかも、2 つの粒子に対してはこれらが唯一のクラス）は、 2 つの粒子の空間座標とスピン座標が入れ替わっても波動関数の値が変わらない対称クラスと、そのような入れ替わりに対して波動関数の符号が変わる反対称クラスです...[反対称クラスは]排他原理の正しい一般的な波動力学的定式化です。

単一値の多粒子波動関数に関するパウリの排他原理は、波動関数が交換に関して反対称であることを要求するのと同等です。 およびが1 粒子系を記述するヒルベルト空間の基底ベクトルの範囲にある場合、テンソル積は 2 つのそのような粒子系を記述するヒルベルト空間の基底ベクトルを生成します。任意の 2 粒子状態は、これらの基底ベクトルの重ね合わせ(つまり、合計)として表すことができます。 ${\displaystyle |x\rangle }$${\displaystyle |y\rangle }$${\displaystyle |x,y\rangle =|x\rangle \otimes |y\rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{x,y}A(x,y)|x,y\rangle ,}$

ここで、各A ( x , y )は（複素）スカラー係数です。交換の下での反対称性とは、A ( x , y ) = − A ( y , x )を意味します。これは、x = yのときにA ( x , y ) = 0を意味し、これはパウリの排他性です。基底の局所的変更によって反対称行列は反対称のままになるので、これは任意の基底で当てはまります。

逆に、対角量A ( x , x )がすべての基底でゼロであれば、波動関数成分

${\displaystyle A(x,y)=\langle \psi |x,y\rangle =\langle \psi |{\Big (}|x\rangle \otimes |y\rangle {\Big )}}$

は必ず反対称である。それを証明するために、行列要素を考える。

${\displaystyle \langle \psi |{\Big (}(|x\rangle +|y\rangle )\otimes (|x\rangle +|y\rangle ){\Big )}.}$

これはゼロです。なぜなら、2つの粒子が重ね合わせ状態にある確率はゼロだからです。しかし、これは ${\displaystyle |x\rangle +|y\rangle }$

${\displaystyle \langle \psi |x,x\rangle +\langle \psi |x,y\rangle +\langle \psi |y,x\rangle +\langle \psi |y,y\rangle .}$

最初と最後の項は対角要素でゼロであり、全体の合計はゼロに等しくなります。したがって、波動関数の行列要素は次のようになります。

${\displaystyle \langle \psi |x,y\rangle +\langle \psi |y,x\rangle =0,}$

または

${\displaystyle A(x,y)=-A(y,x).}$

n > 2粒子のシステムの場合、多粒子基底状態は1 粒子基底状態のn重テンソル積になり、波動関数の係数はn 個の 1 粒子状態によって識別されます。反対称性の条件は、任意の 2 つの状態が交換されるたびに係数の符号が反転する必要があることを示しています。任意のに対して です。排他原理は、任意の に対して である場合に という帰結です。これは、 n個の粒子のいずれも同じ状態にはならないことを示しています。 ${\displaystyle A(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle A(\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{j},\ldots )=-A(\ldots ,x_{j},\ldots ,x_{i},\ldots )}$${\displaystyle i\neq j}$${\displaystyle x_{i}=x_{j}}$${\displaystyle i\neq j,}$${\displaystyle A(\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{j},\ldots )=0.}$

スピン統計定理によれば、整数スピンを持つ粒子は対称量子状態を占め、半整数スピンを持つ粒子は反対称状態を占める。さらに、量子力学の原理では、スピンの整数値または半整数値のみが許可されます。相対論的量子場理論では、虚数時間の回転演算子を半整数スピンの粒子に 適用することでパウリの原理が導かれます。

1 次元では、ボソンもフェルミオンも排他原理に従うことができる。無限の強さのデルタ関数反発相互作用を持つ 1 次元ボーズ気体は、自由フェルミオンの気体と等価である。この理由は、1 次元では、粒子の交換には粒子が互いを通り抜ける必要があるが、無限に強い反発ではこれは起こり得ないためである。このモデルは、量子非線形シュレーディンガー方程式によって記述される。運動量空間では、排他原理は、デルタ関数相互作用を持つボーズ気体における有限反発にも有効であり、^[9] 1 次元で相互作用するスピンとハバードモデル、およびベーテ仮説で解ける他のモデルにも有効である。ベーテ仮説で解けるモデルの基底状態はフェルミ球である。

パウリの排他原理は、さまざまな物理現象を説明するのに役立ちます。この原理の特に重要な結論の 1 つは、原子の精巧な電子殻構造と原子が電子を共有する方法であり、これによりさまざまな化学元素とその化学的組み合わせが説明されます。電気的に中性の原子には、原子核内の陽子の数と同じ数の束縛電子が含まれています。電子はフェルミオンであるため、他の電子と同じ量子状態を占めることができないため、電子は原子内で「積み重ね」る必要があります。つまり、以下で説明するように、同じ電子軌道にありながら異なるスピンを持つ必要があります。

一例として、中性ヘリウム原子(He) が挙げられます。この原子には 2 つの束縛電子があり、どちらも反対のスピンを獲得することで最低エネルギー ( 1s ) 状態を占めることができます。スピンは電子の量子状態の一部であるため、2 つの電子は異なる量子状態にあり、パウリの原理に違反しません。ただし、スピンは 2 つの異なる値 (固有値) しか取ることができません。3つの束縛電子を持つリチウム原子 (Li) では、3 番目の電子は 1s 状態に存在することができず、代わりにより高いエネルギー状態を占める必要があります。使用可能な最低状態は 2s であるため、 Li の基底状態は 1s ² 2s です。同様に、連続的に大きくなる元素には、連続的に高いエネルギーの殻が必要です。元素の化学的性質は、最も外側の殻にある電子の数に大きく依存します。占有されている電子殻の数が異なっていても、最も外側の殻にある電子の数が同じである原子は、同様の性質を持ち、これが元素の周期表の根拠となっています。^{[10] : 214–218}

ヘリウム原子のパウリの排他原理をテストするために、ゴードン・ドレイク^[11]は、パウリの排他原理に違反するヘリウム原子の仮想状態、いわゆるパロニック状態について非常に正確な計算を行った。その後、K.デイラミアンら^[12]は、原子ビーム分光計を使用して、ドレイクによって計算されたパロニック状態1s2s ¹ S ₀を探索した。探索は成功せず、このパロニック状態の統計的重みには上限があることが示された。5 × 10 ⁻⁶。（排他原理により重みはゼロになります。）

導体と半導体には、エネルギーレベルの連続的なバンド構造を効果的に形成する非常に多数の分子軌道があります。強導体（金属）では、電子は非常に縮退しているため、金属の熱容量にほとんど寄与できません。 ^{[13] ：133–147}固体の多くの機械的、電気的、磁気的、光学的、化学的特性は、パウリの排他律の直接的な結果です。

原子内の各電子状態の安定性は原子の量子論によって説明され、電子が原子核に近づくと必然的に電子の運動エネルギーが増加することを示しています。これはハイゼンベルクの不確定性原理の応用です。^[14]しかし、多くの電子と多くの核子を持つ大規模なシステムの安定性は別の問題であり、パウリの排他原理が必要です。^[15]

パウリの排他原理は、通常のバルク物質が安定しており、体積を占めているという事実の原因であることが示されています。この提案は、1931年にポール・エーレンフェストによって初めてなされました。彼は、各原子の電子がすべて最低エネルギーの軌道に入ることはできず、より大きな殻を順に占めなければならないことを指摘しました。したがって、原子は体積を占め、互いにあまり密集することはできません。^[16]

最初の厳密な証明は1967年にフリーマン・ダイソンとアンドリュー・レナード（de）によって提供され、彼らは引力（電子と原子核）と斥力（電子と電子、原子核と原子核）のバランスを考慮し、パウリの原理がなければ通常の物質は収縮して占める体積がはるかに小さくなることを示しました。 ^{[17] [18]} その後、 1975年にエリオット・H・リーブとウォルター・サーリングによってはるかに単純な証明が見つかりました。彼らは、テラーの定理により安定しているトーマス・フェルミ模型の観点から量子エネルギーの下限を示しました。この証明では、現在リープ・サーリングの不等式と呼ばれている運動エネルギーの下限を使用しました。

ここでのパウリの原理の結果は、同じスピンの電子は、長距離の静電力またはクーロン力と同時に作用する短距離効果である反発交換相互作用によって分離されているということです。この効果は、2 つの固体物体が同時に同じ場所に存在することはできないという、マクロの世界で日常的に観察される現象の一部です。

ダイソンとレナードは、一部の天体で発生する極端な磁力や重力を考慮していませんでした。1995年にエリオット・リーブと同僚は、通常の物質よりもはるかに高密度ではあるものの、中性子星などの強力な磁場でもパウリの原理が安定性につながることを示しました。 ^[19]十分に強力な重力場では、物質が崩壊してブラックホールを形成するのは、一般相対性理論の結果です。

天文学では、白色矮星と中性子星という形で、パウリの原理の効果を壮観に実証しています。どちらの天体も、原子構造は極度の圧力によって乱されていますが、星は縮退圧（フェルミ圧とも呼ばれる）によって静水圧平衡に保たれています。このエキゾチックな形態の物質は縮退物質として知られています。星の質量による巨大な重力は通常、星の中心核での熱核融合で発生した熱によって生じる熱圧によって平衡に保たれています。核融合を起こさない白色矮星では、重力に対抗する力が電子縮退圧によって提供されます。さらに強い重力を受ける中性子星では、電子が陽子と融合して中性子を形成しています。中性子は、より短い範囲ではありますが、さらに高い縮退圧、つまり中性子縮退圧を生み出すことができます。これにより、中性子星がそれ以上崩壊するのを防げるが、白色矮星よりも小さく、高密度になる。中性子星は最も「硬い」天体として知られており、そのヤング率（より正確には体積弾性率）はダイヤモンドの20桁も大きい。しかし、この巨大な剛性も、トルマン・オッペンハイマー・フォルコフ限界を超える質量の中性子星の重力場によって克服され、ブラックホールの形成につながる。^{[20] ：286–287}

一般的な

• ノーベル賞受賞講演: 排他原理と量子力学 パウリによる排他原理の発展に関する説明。