ヤング率

ヤング率（またはヤング率）は、力が縦方向に加えられたときの引張剛性または圧縮剛性を測定する固体材料の機械的特性です。これは、引張または軸方向圧縮に対する弾性係数です。ヤング率は、物体に加えられた応力（単位面積あたりの力）と、材料の 線形弾性領域で生じる軸方向ひずみ（変位または変形）の比として定義されます。

ヤング率は19世紀のイギリスの科学者トーマス・ヤングにちなんで名付けられましたが、その概念は1727年にレオンハルト・オイラーによって開発されました。ヤング率の概念を現代的な形で使用した最初の実験は、ヤングの研究より25年も前の1782年にイタリアの科学者ジョルダーノ・リカッティによって行われました。 ^{[1]係数という用語は、}測定を意味するラテン語 の語源 modus に由来しています。

ヤング率は、材料の線形弾性領域における引張応力または圧縮応力（単位面積あたりの力）と軸方向ひずみ（比例変形）の関係を定量化します。 ^[2]${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \sigma}$ ${\displaystyle \epsilon }$ $${\displaystyle E={\frac {\sigma }{\varepsilon }}}$$

ヤング率は一般に国際単位系 (SI) のパスカル(Pa)の倍数で測定され、一般的な値はギガパスカル(GPa)の範囲にあります。

例:

• ゴム（圧力が増加すると長さが急速に増加するため、低くなります${\displaystyle E}$）
• アルミニウム（圧力の増加：長さがゆっくりと増加するため、高くなる${\displaystyle E}$）

固体材料は、圧縮または伸張時に小さな荷重が加えられると 弾性変形を起こします。弾性変形は可逆的であり、荷重が除去されると材料は元の形状に戻ります。

応力とひずみがほぼゼロの場合、応力-ひずみ曲線は直線になり、応力とひずみの関係は、応力がひずみに比例するというフックの法則によって説明されます。比例係数はヤング率です。係数が高いほど、同じ量のひずみを生成するために必要な応力が大きくなります。理想的な剛体のヤング率は無限大になります。逆に、非常に柔らかい材料（流体など）は力がなくても変形し、ヤング率はゼロになります。

材料の剛性は、次の特性とは異なる特性です。

• 強度: 材料が弾性（可逆）変形状態にある間に耐えることができる最大応力。
• 幾何学的剛性: 物体の全体的な特性であり、物体の形状によって決まり、材料の局所的な特性だけに依存するものではありません。たとえば、長さあたりの質量が同じ場合、 I 型梁は同じ材料の棒よりも曲げ剛性が高くなります。
• 硬度: より硬い物体による浸透に対する材料表面の相対的な抵抗。
• 靭性: 材料が破壊される前に吸収できるエネルギーの量。
• 点 E は、応力がひずみに比例し、外力が除去された後に材料が元の形状に戻る弾性限界または材料の降伏点です。

ヤング率により、等方性弾性材料で作られた棒が引張荷重または圧縮荷重を受ける際の寸法変化を計算できます。たとえば、材料サンプルが引張荷重下でどれだけ伸びるか、または圧縮荷重下でどれだけ縮むかを予測できます。ヤング率は、一軸応力の場合、つまり、一方向に引張応力または圧縮応力があり、他の方向には応力がないケースに直接適用されます。ヤング率は、梁の支持部間の一点に荷重がかかったときに静的に決定された 梁に発生するたわみを予測するためにも使用されます。

その他の弾性計算では通常、せん断弾性率 、体積弾性率、ポアソン比などの弾性特性をさらに 1 つ使用する必要があります。これらのパラメータのうち 2 つがあれば、等方性材料の弾性を完全に記述するのに十分です。たとえば、癌性皮膚組織の物理的特性を計算すると、ポアソン比は 0.43±0.12、平均ヤング率は 52 KPa であることが測定され判明しています。皮膚の弾性特性を定義することは、弾性を臨床ツールに変える第一歩となるかもしれません。^[3]均質な等方性材料の場合、弾性定数の間には単純な関係があり、2 つがわかっていればすべての定数を計算できます。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \nu}$

${\displaystyle E=2G(1+\nu )=3K(1-2\nu ).}$

ヤング率は、応力と歪みを関連付けるフックの法則における比例係数を表します。ただし、フックの法則は、弾性と線形応答を前提とした場合にのみ有効です。実際の材料は、非常に長い距離にわたって引き伸ばされたり、非常に大きな力がかかったりすると、最終的には破損して壊れますが、すべての固体材料は、十分に小さい歪みや応力に対してほぼフックの挙動を示します。フックの法則が有効な範囲が、材料にかかると予想される典型的な応力に比べて十分に大きい場合、その材料は線形であると言われます。そうでない場合（適用される典型的な応力が線形範囲外である場合）、その材料は非線形であると言われます。

鋼鉄、炭素繊維、ガラスなどは一般に線形材料と考えられ、ゴムや土などの他の材料は非線形です。しかし、これは絶対的な分類ではありません。非線形材料に非常に小さな応力やひずみが加えられた場合、応答は線形になりますが、線形材料に非常に高い応力やひずみが加えられた場合、線形理論では不十分になります。たとえば、線形理論は可逆性を意味するため、高負荷がかかった鋼鉄橋の破損を説明するために線形理論を使用するのは不合理です。鋼鉄はほとんどの用途では線形材料ですが、このような壊滅的な破損の場合はそうではありません。

固体力学では、任意の点における応力-ひずみ曲線の傾きを接線係数と呼びます。これは、材料サンプルに対して実施される 引張試験中に作成される応力-ひずみ曲線の傾きから実験的に決定できます。

ヤング率は、材料のすべての方向で常に同じであるとは限りません。ほとんどの金属とセラミックは、他の多くの材料と同様に等方性であり、その機械的特性はすべての方向で同じです。ただし、金属とセラミックは特定の不純物で処理することができ、金属は機械的に加工して粒子構造に方向性を持たせることができます。これらの材料は異方性になり、ヤング率は力のベクトルの方向に応じて変化します。^[4]異方性は多くの複合材料でも見られます。たとえば、炭素繊維は、力が繊維に平行（粒子に沿って）に負荷されると、ヤング率がはるかに高くなります（はるかに硬くなります）。その他のそのような材料には、木材や鉄筋コンクリートなどがあります。エンジニアはこの方向性現象を構造物の作成に有利に利用できます。

金属のヤング率は温度によって変化し、原子間の結合の変化によって実現されるため、その変化は金属の仕事関数の変化に依存することがわかります。 従来、この変化はフィッティングによって予測され、明確な基礎となるメカニズム（たとえば、ウォッチマンの公式）はありませんが、Rahemi-Li モデル^[5]は、電子仕事関数の変化が金属のヤング率の変化にどのようにつながるかを示し、レナード-ジョーンズ ポテンシャルの固体への一般化を使用して、計算可能なパラメーターでこの変化を予測します。 一般に、温度が上昇すると、ヤング率は によって減少します。ここで、電子仕事関数は温度によって のように変化し、は結晶構造（たとえば、BCC、FCC）に依存する計算可能な材料特性です。は T=0 での電子仕事関数であり、変化の間中一定です。 ${\displaystyle E(T)=\beta (\varphi (T))^{6}}$${\displaystyle \varphi (T)=\varphi _{0}-\gamma {\frac {(k_{B}T)^{2}}{\varphi _{0}}}}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle \varphi_{0}}$${\displaystyle \beta}$

ヤング率は、物理的応力-ひずみ曲線の弾性（初期、線形）部分における引張応力 を工学的伸張ひずみで割ることによって計算されます。 ${\displaystyle \sigma (\varepsilon )}$${\displaystyle \epsilon }$

$${\displaystyle E\equiv {\frac {\sigma (\varepsilon )}{\varepsilon }}={\frac {F/A}{\Delta L/L_{0}}}={\frac {FL_{0 }}{A\,\デルタ L}}}$$ どこ

• ${\displaystyle E}$ヤング率（弾性係数）です。
• ${\displaystyle F}$張力がかかった物体に働く力。
• ${\displaystyle A}$実際の断面積であり、これは加えられた力に垂直な断面の面積に等しい。
• ${\displaystyle \Delta L}$物体の長さが変化する量です（材料が伸びた場合は正、圧縮された場合は負になります）。${\displaystyle \Delta L}$
• ${\displaystyle L_{0}}$オブジェクトの元の長さです。

材料のヤング率は、特定のひずみ下で材料が及ぼす力を計算するために使用できます。

${\displaystyle F={\frac {EA\,\Delta L}{L_{0}}}}$

ここで、 は、によって収縮または伸張されたときに材料によって及ぼされる力です。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle \Delta L}$

伸張されたワイヤに対する フックの法則は、次の式から導かれます。

${\displaystyle F=\left({\frac {EA}{L_{0}}}\right)\,\Delta L=kx}$

飽和状態になる場所

${\displaystyle k\equiv {\frac {EA}{L_{0}}}\,}$そして${\displaystyle x\equiv \Delta L.}$

コイルばねの弾性は、ヤング率ではなく、せん断弾性率から生じることに注意してください。ばねが引き伸ばされると、その線材の長さは変化しませんが、形状は変化します。これが、ばねの伸びに関係するのはせん断弾性率のみである理由です。^{[引用が必要]}

線形弾性材料に蓄えられた弾性位置エネルギーは、フックの法則の積分によって与えられます。

${\displaystyle U_{e}=\int {kx}\,dx={\frac {1}{2}}kx^{2}.}$

次に、強度変数について説明します。

${\displaystyle U_{e}=\int {\frac {EA\,\Delta L}{L_{0}}}\,d\Delta L={\frac {EA}{L_{0}}}\int \Delta L\,d\Delta L={\frac {EA\,{\Delta L}^{2}}{2L_{0}}}}$

つまり、弾性位置エネルギー密度（つまり、単位体積あたり）は次のように表されます。

${\displaystyle {\frac {U_{e}}{AL_{0}}}={\frac {E\,{\Delta L}^{2}}{2L_{0}^{2}}}={\frac {1}{2}}\times {\frac {E\,{\Delta L}}{L_{0}}}\times {\frac {\Delta L}{L_{0}}}={\frac {1}{2}}\times \sigma (\varepsilon )\times \varepsilon }$

または、単純な表記で言えば、線形弾性材料の場合、ひずみが と定義されているため、 となります。 ${\textstyle u_{e}(\varepsilon )=\int {E\,\varepsilon }\,d\varepsilon ={\frac {1}{2}}E{\varepsilon }^{2}}$${\textstyle \varepsilon \equiv {\frac {\Delta L}{L_{0}}}}$

非線形弾性材料では、ヤング率はひずみの関数であるため、2 番目の等価性は成立せず、弾性エネルギーはひずみの 2 次関数ではありません。

${\displaystyle u_{e}(\varepsilon )=\int E(\varepsilon )\,\varepsilon \,d\varepsilon \neq {\frac {1}{2}}E\varepsilon ^{2}}$

ヤング率は、サンプルの組成や試験方法の違いにより多少異なる場合があります。特にポリマーの場合、変形率は収集されたデータに最も大きな影響を与えます。ここでの値は概算であり、相対比較のみを目的としています。

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• ASTM E 111、「ヤング率、接線係数、弦係数の標準試験方法」
• ASMハンドブック(各巻) には、さまざまな材料のヤング率と計算に関する情報が含まれています。オンライン版(購読が必要)

• Matweb: 175,000 種類以上の材料のエンジニアリング特性の無料データベース
• 材料群のヤング率とそのコスト