浅水方程式

浅水方程式（SWE ）は、流体（自由表面の場合もあるが、必ずしもそうではない）の圧力面下の流れを記述する一連の双曲型偏微分方程式（粘性せん断を考慮する場合は放物型）である。^[1] 一方向形式の浅水方程式は、アデマール・ジャン・クロード・バレ・ド・サン・ヴナンにちなんで（ド）サン・ヴナン方程式とも呼ばれる（下記の関連セクションを参照）。

これらの方程式は、水平方向の長さスケールが垂直方向の長さスケールよりはるかに大きい場合に、ナビエ・ストークス方程式を深さ方向に積分することで導出されます^{[2] 。この条件下では、質量保存則により、流体の垂直方向の速度スケールは水平方向の速度スケールに比べて小さいことになります。運動量方程式から、垂直方向の圧力勾配はほぼ}静水圧であり、水平方向の圧力勾配は圧力面の変位によるものであることが示され、これは水平方向の速度場が流体の深さ全体にわたって一定であることを意味します。垂直方向に積分することで、方程式から垂直方向の速度を取り除くことができます。このようにして浅水方程式が導出されます。

浅水方程式には垂直速度項はありませんが、この速度は必ずしもゼロではないことに注意してください。これは重要な区別です。たとえば、床の深さが変わると垂直速度はゼロにはならず、ゼロであれば浅水方程式で使用できるのは平らな床だけになります。解 (つまり、水平速度と自由表面の変位) が見つかると、連続方程式を介して垂直速度を復元できます。

流体力学では、水平方向の長さのスケールが垂直方向の長さのスケールよりはるかに大きい状況がよく見られるため、浅水方程式は広く適用可能です。浅水方程式は、大気の流れの基本方程式を簡略化したものであって、大気および海洋のモデリングにおいてコリオリの力とともに使用されます。

浅水方程式モデルには垂直レベルが 1 つしかないため、高さに応じて変化する要因を直接取り込むことはできません。ただし、平均状態が十分に単純な場合は、垂直方向の変化を水平方向の変化から分離することができ、複数の浅水方程式セットで状態を記述できます。

浅水方程式は質量保存方程式と線形運動量保存方程式（ナビエ・ストークス方程式）から導かれ、跳水など浅水仮定が崩れた場合でも成立します。水平床の場合、コリオリの力、摩擦力、粘性力は無視できるため、浅水方程式は次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial (\rho \eta )}{\partial t}}&+{\frac {\partial (\rho \eta u)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\rho \eta v)}{\partial y}}=0,\\[3pt]{\frac {\partial (\rho \eta u)}{\partial t}}&+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\rho \eta u^{2}+{\frac {1}{2}}\rho g\eta ^{2}\right)+{\frac {\partial (\rho \eta uv)}{\partial y}}=0,\\[3pt]{\frac {\partial (\rho \eta v)}{\partial t}}&+{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\rho \eta v^{2}+{\frac {1}{2}}\rho g\eta ^{2}\right)+{\frac {\partial (\rho \eta uv)}{\partial x}}=0.\end{aligned}}}$$

ここで、η は流体柱の全高さ（ x、y、tの関数としての瞬間的な流体の深さ）であり、2Dベクトル（u、v）は流体の水平流速で、垂直柱全体で平均化されます。さらに、gは重力加速度、 ρ は流体の密度です。最初の式は質量保存則から導かれ、次の2つは運動量保存則から導かれます。^[3]

上記の導関数を積の法則を使って展開すると、浅水方程式の非保存形式が得られます。速度は基本的な保存方程式に従わないため、非保存形式は衝撃波や跳水波を越えることはできません。また、コリオリ力、摩擦力、粘性力の適切な項も含まれており、次の式が得られます（流体密度が一定の場合）。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial h}{\partial t}}&+{\frac {\partial }{\partial x}}{\Bigl (}(H+h)u{\Bigr )}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\Bigl (}(H+h)v{\Bigr )}=0,\\[3pt]{\frac {\partial u}{\partial t}}&+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}-fv=-g{\frac {\partial h}{\partial x}}-ku+\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right),\\[3pt]{\frac {\partial v}{\partial t}}&+u{\frac {\partial v}{\partial x}}+v{\frac {\partial v}{\partial y}}+fu=-g{\frac {\partial h}{\partial y}}-kv+\nu \left({\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}\right),\end{aligned}}}$$

どこ

多くの場合、バルク移流の効果を表すuとvの 2 次項は、他の項に比べて小さくなります。これは地衡平衡と呼ばれ、ロスビー数が小さいと言っているのと同じです。また、波の高さが平均の高さに比べて非常に小さい ( h ≪ H ) と仮定すると、次の式が得られます (横方向の粘性力なし)。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial h}{\partial t}}&+H\left({\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)=0,\\[3pt]{\frac {\partial u}{\partial t}}&-fv=-g{\frac {\partial h}{\partial x}}-ku,\\[3pt]{\frac {\partial v}{\partial t}}&+fu=-g{\frac {\partial h}{\partial y}}-kv.\end{aligned}}}$$

1 次元 (1-D) サン・ヴナン方程式は、アデマール・ジャン・クロード・バレ・ド・サン・ヴナンによって導き出され、非定常開水路流れと表面流出をモデル化するためによく使用されます。この方程式は、2 次元 (2-D) 浅水方程式 (2 次元サン・ヴナン方程式とも呼ばれます) の縮約形として考えることができます。1 次元サン・ヴナン方程式には、ある程度、水路断面形状の主な特性が含まれています。

1-D方程式は、完全な浅水方程式よりもはるかに簡単に解けるため、TUFLOW、Mascaret（EDF）、SIC（Irstea）、HEC-RAS、^[5] SWMM5、ISIS、^[5] InfoWorks、^[5] Flood Modeller、SOBEK 1DFlow、MIKE 11、^[5] MIKE SHEなどのコンピュータモデルで広く使用されています。1-Dサン・ヴナン方程式の一般的な用途には、河川に沿った洪水経路（洪水のリスクを軽減するための対策の評価を含む）、ダム決壊解析、開水路での暴風雨パルス、地表流での暴風雨流出などがあります。

1871年の論文（式19と20）でサン＝ヴナンが導出し提示した、任意の断面を持つ開水路内の1次元非圧縮流を記述する偏微分方程式系は次の通りである。 ^[6]

そして

ここで、xはチャネル軸に沿った空間座標、tは時間、A ( x、t ) は位置xにおける流れの断面積、u ( x、t ) は流速、ζ ( x、t ) は自由表面の標高、 τ( x、t ) はxにおける断面の濡れ周囲P ( x、t )に沿った壁面せん断応力です。さらに、 ρ は（一定の）流体の密度、g は重力加速度です。

双曲型方程式( 1 ) - ( 2 )の閉包は、断面積Aと各位置xにおける表面標高 ζ との間の関数関係を提供することによって、断面の形状から得られます。たとえば、一定の水路幅Bと水路床標高z _{b を}持つ長方形断面の場合、断面積は、A = B (ζ − z _b ) = B hです。瞬間水深はh ( x、t ) = ζ( x、t ) − z _b ( x )であり、z _b ( x ) は床レベル (つまり、基準面からの床の最も低い点の標高、断面図を参照) です。移動しない水路壁の場合、式 ( 1 ) の断面積Aは、次のように表すことができます。 b ( x、h ) は、流体深がhのときの位置xにおける水路断面の有効幅であるため、長方形水路ではb ( x、h ) = B ( x )です。^[7]$${\displaystyle A(x,t)=\int _{0}^{h(x,t)}b(x,h')\,dh',}$$

壁面せん断応力τ は流速uに依存し、例えばダルシー・ワイスバッハの式、マニングの式、シェジーの式などを使用して関連付けることができます。

また、式（１ ）は連続の方程式であり、この非圧縮性均質流体の水の体積保存を表す。式（２）は運動量方程式であり、力と運動量変化率のバランスを与える。

河床勾配S ( x )、摩擦勾配Sf ( x , t )、水力半径R ( x , t )は 次 _のように定義される。 $${\displaystyle S=-{\frac {\mathrm {d} z_{\mathrm {b} }}{\mathrm {d} x}},}$$ $${\displaystyle S_{\mathrm {f} }={\frac {\tau }{\rho gR}}}$$$${\displaystyle R={\frac {A}{P}}.}$$

したがって、運動量方程式（２）は次のように書ける：^[7]

運動量方程式（３ ）は、サン・ヴナン方程式（１）と（３ ）に代数的操作を加えることで、いわゆる保存形式にすることもできる。放電Q = Auに関して：^[8]

ここで、A、I ₁、I _{2 は、チャネル幅}B (σ, x )の項で記述されるチャネル形状の関数です。ここで、 σ は、位置xにおける断面の最低点からの高さです (断面図を参照)。したがって、 σ は、河床レベルz _b ( x ) からの高さです (断面の最低点から)。 $${\displaystyle {\begin{aligned}A(\sigma ,x)&=\int _{0}^{\sigma }B(\sigma ',x)\;\mathrm {d} \sigma ',\\I_{1}(\sigma ,x)&=\int _{0}^{\sigma }(\sigma -\sigma ')\,B(\sigma ^{\prime },x)\;\mathrm {d} \sigma '\qquad {\text{and}}\\I_{2}(\sigma ,x)&=\int _{0}^{\sigma }(\sigma -\sigma ')\,{\frac {\partial B(\sigma ',x)}{\partial x}}\;\mathrm {d} \sigma '.\end{aligned}}}$$

上記の運動量方程式（4）の保存形式では、A、I ₁、I _2はσ = h（x、t）で評価されます。g I _1の項は、特定の断面における静水力を表します。また、非角柱状チャネルの場合、g I _2はチャネル軸xに沿った形状の変化の影響を与えます。

応用においては、問題に応じて、非保存形式の運動量方程式( 2 )または( 3 )、あるいは保存形式( 4 )のいずれかを使用することが好まれることが多い。例えば、跳水を説明する場合には、運動量流束が跳水域全体で連続的である ため、保存形式が好まれる。

サン・ヴナン方程式（1）～（2 ）は特性曲線法を用いて解析することができる。^{[9] [10] [11] [12]}特性曲線上の2つの速度d x /d tは^[8] で、$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=u\pm c,}$$$${\displaystyle c={\sqrt {\frac {gA}{B}}}.}$$

フルード数 Fr = | u | / c は、流れが亜臨界( Fr < 1 ) か超臨界( Fr > 1 ) かを決定します。

一定の幅Bの長方形および角柱状のチャネル、すなわちA = B hおよびc = √ ghの場合、リーマン不変量は次のようになる: ^[9] したがって、 特性形式の方程式は次のようになる: ^[9]$${\displaystyle r_{+}=u+2{\sqrt {gh}}}$$$${\displaystyle r_{-}=u-2{\sqrt {gh}},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(u+2{\sqrt {gh}}\right)=g\left(S-S_{f}\right)&&{\text{along}}\quad {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=u+{\sqrt {gh}}\quad {\text{and}}\\&{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(u-2{\sqrt {gh}}\right)=g\left(S-S_{f}\right)&&{\text{along}}\quad {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=u-{\sqrt {gh}}.\end{aligned}}}$$

任意の断面を持つ角柱状チャネルのリーマン不変量と特性法は、Didenkulova & Pelinovsky (2011)によって説明されている。^[12]

特性とリーマン不変量は流れの挙動に関する重要な情報を提供するだけでなく、（解析的または数値的な）解を得るプロセスにも使用できる。^{[13] [14] [15] [16]}

摩擦がなく、チャネルの断面が直方体の場合、サン＝ヴナン方程式はハミルトン構造を持ちます。^[17]ハミルトニアンHは自由表面流のエネルギーに等しく、 チャネル幅B が一定で流体密度ρが一定です。ハミルトン方程式は次のようになります。∂ A /∂ ζ = B )で あるためです。 $${\displaystyle H=\rho \int \left({\frac {1}{2}}Au^{2}+{\frac {1}{2}}gB\zeta ^{2}\right)\mathrm {d} x,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}&\rho B{\frac {\partial \zeta }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial H}{\partial u}}\right)=\rho \left(B{\frac {\partial \zeta }{\partial t}}+{\frac {\partial (Au)}{\partial x}}\right)=\rho \left({\frac {\partial A}{\partial t}}+{\frac {\partial (Au)}{\partial x}}\right)=0,\\&\rho B{\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial H}{\partial \zeta }}\right)=\rho B\left({\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+g{\frac {\partial \zeta }{\partial x}}\right)=0,\end{aligned}}}$$

動的波は完全な1次元サン・ヴナン方程式です。数値的に解くのは困難ですが、すべてのチャネルフローシナリオに有効です。動的波は、Mascaret（EDF）、SIC（Irstea）、HEC-RAS、^[18] InfoWorks_ICM Archived 2016-10-25 at the Wayback Machine、^[19] MIKE 11、^[20] Wash 123d ^[21]、SWMM5などのモデリングプログラムで一時的な嵐をモデリングするために使用されます。

単純化が進む順に、完全な 1D サン・ヴナン方程式 (別名、動的波動方程式) のいくつかの項を削除することで、これも古典的な拡散波動方程式と運動波動方程式が得られます。

拡散波の場合、慣性項は重力、摩擦、圧力項よりも小さいと想定されます。したがって、拡散波はより正確には非慣性波として記述でき、次のように記述されます。 $${\displaystyle g{\frac {\partial h}{\partial x}}+g(S_{f}-S)=0.}$$

拡散波は、慣性加速度が他のすべての加速度よりもはるかに小さい場合、つまり、主に亜臨界流れがあり、フルード値が低い場合に有効です。拡散波の仮定を使用するモデルには、MIKE SHE ^[22]と LISFLOOD-FP ^[23]があります。SIC (Irstea) ソフトウェアでは、2 つの慣性項 (またはそのいずれか) をインターフェイスのオプションで削除できるため、このオプションも使用できます。

運動波の場合、流れは均一であり、摩擦勾配はチャネルの勾配とほぼ等しいと仮定します。これにより、完全なサン・ヴナン方程式が運動波に簡略化されます。 $${\displaystyle S_{f}-S=0.}$$

運動波は、波高と距離、速度と距離および時間の変化が河床勾配に比べて無視できる場合、例えば急斜面上の浅い流れの場合に有効である。^{[24]運動波は}HEC-HMS で使用されている。^[25]

1 次元のサン・ヴナン運動量方程式は、流体の運動を記述するナビエ・ストークス方程式から導出できます。ナビエ・ストークス方程式のx成分は、 x方向の直交座標で表すと、次のように表すことができます。 $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}+w{\frac {\partial u}{\partial z}}=-{\frac {\partial p}{\partial x}}{\frac {1}{\rho }}+\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)+f_{x},}$$

ここで、uはx方向の速度、 vはy方向の速度、wはz方向の速度、tは時間、pは圧力、ρ は水の密度、ν は動粘性、f _{x は}x方向の体積力です。

1. 摩擦が体積力として考慮されていると仮定すると、 はゼロと仮定できるため、次のようになります。${\displaystyle \nu }$$${\displaystyle \nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)=0.}$$
2. x方向の一次元の流れを仮定すると次のようになる: ^[26] $${\displaystyle v{\frac {\partial u}{\partial y}}+w{\frac {\partial u}{\partial z}}=0}$$
3. また、圧力分布がほぼ静水圧であると仮定すると、次の式が得られます。^[26] または微分形式では、次の式が得られます。これらの仮定をナビエ・ストークス方程式のx成分に適用すると、次の式が得られます。$${\displaystyle p=\rho gh}$$$${\displaystyle \partial p=\rho g(\partial h).}$$$${\displaystyle -{\frac {\partial p}{\partial x}}{\frac {1}{\rho }}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\rho g\left(\partial h\right)}{\partial x}}=-g{\frac {\partial h}{\partial x}}.}$$
4. チャネル流体には、重力と摩擦という 2 つの体積力が作用します。ここで、f _x,gは重力による体積力、f _{x,f は}摩擦による体積力です。$${\displaystyle f_{x}=f_{x,g}+f_{x,f}}$$
5. f _{x , gは}基本的な物理学と三角法を使って計算できます。^[27] ここでF _gはx方向の重力、θは角度、Mは質量です。$${\displaystyle F_{g}=\sin(\theta )gM}$$

   

   sin θ の式は、三角法を使用して次のように簡略化できます。θ が小さい場合(ほとんどすべてのストリームで妥当)、次のように想定できます。f _{x が}単位質量あたりの力を表す場合、式は次のようになります。$${\displaystyle \sin \theta ={\frac {\text{opp}}{\text{hyp}}}.}$$$${\displaystyle \sin \theta =\tan \theta ={\frac {\text{opp}}{\text{adj}}}=S}$$$${\displaystyle f_{x,g}=gS.}$$
6. エネルギー勾配線が水路勾配と同じではないと仮定し、一定の勾配の範囲では一定の摩擦損失があると仮定すると、次のようになります。^[28] $${\displaystyle f_{x,f}=S_{f}g.}$$
7. これらすべての仮定を組み合わせると、 x方向の 1 次元サン・ヴナン方程式が得られます。ここで、(a) は局所加速度項、(b) は対流加速度項、(c) は圧力勾配項、(d) は摩擦項、(e) は重力項です。$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+g{\frac {\partial h}{\partial x}}+g(S_{f}-S)=0,}$$ $${\displaystyle (a)\quad \ \ (b)\quad \ \ \ (c)\qquad \ \ \ (d)\quad (e)\ }$$

条項

局所加速度 (a) は、時間の経過に伴う速度の変化を表すため、「非定常項」と考えることもできます。対流加速度 (b) は、位置による速度の変化によって生じる加速度です。たとえば、狭窄部または開口部に流入する流体の速度が増減します。これらの項は両方とも、1 次元のサン・ヴナン方程式の 慣性項を構成します。

圧力勾配項 (c) は、圧力が位置によってどのように変化するかを表します。圧力は静水圧であると想定されるため、これはヘッドオーバー位置の変化です。摩擦項 (d) は摩擦によるエネルギー損失を考慮し、重力項 (e) は河床勾配による加速度です。

浅水方程式は、大気、河川、湖沼、海洋におけるロスビー波やケルビン波、さらにより小さな領域における重力波（例えば、浴槽の表面波）をモデル化するために使用することができる。浅水方程式が有効であるためには、モデル化しようとしている現象の波長が、その現象が発生する盆地の深さよりもはるかに大きくなければならない。いくらか短い波長は、ブシネスク近似を用いて浅水方程式を拡張し、分散効果を組み込むことによって扱うことができる。^[29]浅水方程式は、非常に大きな長さスケール（数百キロメートル以上）を持つ潮汐をモデル化するのに特に適している。潮汐運動の場合、非常に深い海であっても、その深さは常に潮汐波長よりもはるかに小さいため、浅いとみなすことができる。

浅水方程式は、その非線形形式では、大気や海洋の乱流、すなわち地球物理学的乱流をモデル化する上で明らかな候補である。準地衡方程式に対するこの方程式の利点は、重力波のような解を導き出しつつ、エネルギーと潜在渦度も保存できることである。しかし、地球物理学的応用に関する限り、いくつかの欠点もある。全エネルギーの非二次式表現と、波が衝撃波になる傾向があることである。^[30]衝撃波の形成を防ぐ代替モデルがいくつか提案されている。1つの代替案は、運動量方程式の「圧力項」を変更することであるが、運動エネルギーの複雑な表現となる。^[31]もう1つの選択肢は、すべての方程式の非線形項を変更することである。これは、運動エネルギーの二次式表現を与え、衝撃波の形成を回避し、線形化された 潜在渦度のみを保存する。^[32]

• 波と浅瀬

• 第一原理からの浅水方程式の導出（ナビエ・ストークス方程式を簡略化するのではなく、いくつかの解析解）