クローン不可定理

物理学において、複製禁止定理とは、任意の未知の量子状態の独立した同一のコピーを作成することは不可能であるとするもので、量子コンピューティングの分野などに深い意味を持つ。この定理は、ジェームズ・パーク^{[1]が1970年に発表した}禁止定理の発展形であり、パークは、単純かつ完全な非撹乱測定スキームは存在し得ないことを実証している（同じ結果は、1982年にウィリアム・ウッターズと ヴォイチェフ・H・ズーレク^[2]、および同年にデニス・ディークス^{[3]によって独立に導き出された）。前述の定理は、1つのシステムの状態が別のシステムの状態と}エンタングルメントすることを排除するものではなく、複製は特に同一の要素を持つ分離可能な状態の作成を指す。たとえば、エンタングルメント状態のサブシステムの観点からは明確に定義された状態は定義できないため、非複製定理に違反することなく2 つの量子ビットをエンタングルメントするために、制御 NOT ゲートとウォルシュ・アダマール ゲートを使用できます。非複製定理 (一般に理解されているように) は純粋な状態のみに関係しますが、混合状態に関する一般化されたステートメントは非ブロードキャスト定理として知られています。

複製不可定理には、時間反転した双対である削除不可定理がある。これらは一緒になって、量子力学の圏論、特にダガーコンパクト圏としての解釈の基礎となっている。^{[4] [5]}この定式化は、圏論的量子力学として知られ、今度は量子力学から量子情報理論の論理としての線型論理への接続を可能にする（直観主義論理がデカルトの閉圏から生じるのと同じ意味で）。

アッシャー・ペレス^[6]とデイヴィッド・カイザー^[7]によると、 1982年にウッターズとズーレク^[2]とディークス^[3]がクローン不可定理を証明した論文の発表は、量子もつれを利用した超光速通信装置のニック・ハーバート^[8]の提案に促されたもので、ジャンカルロ・ギラルディ^[9]はウッターズとズーレクによる証明が発表される18か月前に、その提案に対する査読レポートでこの定理を証明していた（編集者からの手紙^[9]によって証明されている）。しかし、フアン・オルティゴソ^[10]は2018年に、量子力学における単純な非擾乱測定の欠如に関する解釈とともに完全な証明がすでに1970年にパークによってなされていたことを指摘した。^[1]

共通のヒルベルト空間を持つ2 つの量子システムAとBがあるとします。任意の元の状態(ブラケット記法を参照) に対して、量子システムAの状態を量子システムBの状態にコピーする手順があるとします。つまり、状態 から始めて、状態 で終了したいとします。状態Aの「コピー」を作成するには、とは独立した未知の初期状態、つまり事前の知識がない空白状態でシステムBと組み合わせます。 ${\displaystyle H=H_{A}=H_{B}}$${\displaystyle |\phi \rangle _{A}}$${\displaystyle |e\rangle _{B}}$${\displaystyle |\phi \rangle _{A}}$${\displaystyle |\phi \rangle _{A}\otimes |e\rangle _{B}}$${\displaystyle |\phi \rangle _{A}\otimes |\phi \rangle _{B}}$${\displaystyle |e\rangle _{B}}$${\displaystyle |\phi \rangle _{A}}$

初期複合システムの状態は、次のテンソル積によって記述されます( 以下では記号を省略し、暗黙的に保持します)。 $${\displaystyle |\phi \rangle _{A}\otimes |e\rangle _{B}.}$$${\displaystyle \otimes }$

複合システムを操作できる 許容される量子操作は2 つだけです。

• 観測 を実行すると、システムは観測可能なものの固有状態に不可逆的に崩壊し、量子ビットに含まれる情報が破損します。これは明らかに、私たちが望んでいることではありません。
• あるいは、複合システムのハミルトニアン、つまり時間発展演算子U ( t ) を制御することもできます。たとえば、時間に依存しないハミルトニアンの場合は、 です。ある固定時間まで発展すると、複合システムのヒルベルト空間上のユニタリ演算子U が生成されます。ただし、そのようなユニタリ演算子U はすべての状態を複製することはできません。 ${\displaystyle U(t)=e^{-iHt/\hbar }}$${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle H\otimes H}$

非クローン定理は、次の質問に否定的に答えます:システム A の状態に関係なく、システム B の状態が常にシステム A の状態に進化するような、 に作用するユニタリ演算子U を構築することは可能ですか? ${\displaystyle H_{A}\otimes H_{B}=H\otimes H}$

追加の位相因子は、量子力学的状態がヒルベルト空間内の正規化ベクトルを位相因子までのみ、つまり射影ヒルベルト空間の要素として定義するという事実を表します。

定理を証明するために、ヒルベルト空間における任意の状態のペアとを選択する。Uはユニタリであると仮定されているので、次のようになる 。 量子状態は正規化されていると仮定されているので、次のようになる。 ${\displaystyle |\phi \rangle _{A}}$${\displaystyle |\psi \rangle _{A}}$${\displaystyle H}$$${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle \langle e|e\rangle \equiv \langle \phi |_{A}\langle e|_{B}|\psi \rangle _{A}|e\rangle _{B}=\langle \phi |_{A}\langle e|_{B}U^{\dagger }U|\psi \rangle _{A}|e\rangle _{B}=e^{-i(\alpha (\phi ,e)-\alpha (\psi ,e))}\langle \phi |_{A}\langle \phi |_{B}|\psi \rangle _{A}|\psi \rangle _{B}\equiv e^{-i(\alpha (\phi ,e)-\alpha (\psi ,e))}\langle \phi |\psi \rangle ^{2}.}$$${\displaystyle |e\rangle }$$${\displaystyle |\langle \phi |\psi \rangle |^{2}=|\langle \phi |\psi \rangle |.}$$

これは、または のいずれかを意味します。したがって、コーシー・シュワルツの不等式により、または のいずれかが に直交します。ただし、これは 2 つの任意の状態には当てはまりません。したがって、単一の普遍的なU は、一般的な量子状態を複製することはできません。これは、複製不可定理を証明しています。 ${\displaystyle |\langle \phi |\psi \rangle |=1}$${\displaystyle |\langle \phi |\psi \rangle |=0}$${\displaystyle |\phi \rangle =e^{i\beta }|\psi \rangle }$${\displaystyle |\phi \rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle }$

量子ビットを例に挙げてみましょう。量子ビットは、確率振幅( 1 に正規化) と呼ばれる 2 つの複素数、つまり 3 つの実数 (2 つの極角と 1 つの半径) で表すことができます。古典的なコンピューターで任意のコピー アンド ペースト操作を使用して 3 つの数値をコピーすることは簡単です (有限精度まで)。しかし、量子ビットがユニタリ変換されて (たとえば、アダマール量子ゲートによって) 偏光されると (このユニタリ変換は射影等長変換です)、問題が顕在化します。このような場合、量子ビットは 2 つの実数 (1 つの極角と 1 に等しい 1 つの半径) だけで表すことができますが、このような表現では 3 番目の値は任意です。しかし、量子ビットの実現(たとえば、偏光エンコードされた光子) は、その「構造」内に量子ビット情報サポート全体を保存できます。したがって、複製不可定理によれば、単一の普遍的ユニタリ進化U では任意の量子状態を複製することはできません。それは変換された量子ビット（初期）状態に依存するはずであり、したがって普遍的なものではなかったでしょう。

定理の記述では、コピーされる状態が純粋状態であり、提案されたコピー機がユニタリ時間発展を介して動作するという 2 つの仮定が立てられています。これらの仮定によって一般性が失われることはありません。コピーされる状態が混合状態である場合、それを「純粋化」、つまりより大きなシステムの純粋状態として扱うことができます。あるいは、混合状態に直接作用する別の証明を与えることもできます。この場合、定理は非ブロードキャスト定理と呼ばれることがよくあります。^{[11] [12]同様に、}補助を導入し、適切なユニタリ発展を実行することで、 任意の量子操作を実装できます。 ^{[説明が必要]} したがって、非クローン定理は完全に一般性があります。

量子コンピュータの拡張では、事後選択型または双方向型量子コンピュータを使用する場合、複製不可定理は有効のままである。 ^[13]しかし、閉じた時間曲線を追加すると、量子状態の複製が可能になると主張されている。^[14]

• 複製禁止定理により、量子状態に対する特定の古典的なエラー訂正技術の使用が禁止されます。たとえば、量子計算の途中の状態のバックアップ コピーを作成して、後続のエラーを訂正するために使用することはできません。エラー訂正は実用的な量子計算に不可欠ですが、しばらくの間、それが可能かどうかは不明でした。1995 年、ショアとスティーンは、複製禁止定理を回避する最初の量子エラー訂正コードを独立して考案し、それが可能であることを示しました。
• 同様に、クローニングは、量子状態を古典的なビットのシーケンス（ビットの無限シーケンスであっても）に変換し、それらのビットを新しい場所にコピーし、新しい場所で元の量子状態のコピーを再作成することは不可能であるという非テレポーテーション定理に違反します。これは、量子状態をある場所で破壊し、正確なコピーを別の場所に再作成することを可能にするエンタングルメント支援テレポーテーションと混同しないでください。
• 複製不可定理は通信不可定理によって暗示され、これは量子エンタングルメントは古典情報 (超光速であろうと低速であろうと) の伝送には使用できないというものです。つまり、複製はエンタングルメントと相まって、そのような通信を可能にするということです。これを理解するには、EPR 思考実験を考え、量子状態が複製できると仮定します。最大限にエンタングルされた ベル状態の一部がアリスとボブに分配されていると仮定します。アリスは、次の方法でボブにビットを送信できます。アリスが「0」を送信したい場合、 z方向の電子スピンを測定し、ボブの状態を または に縮小します。アリスは「1」を送信する場合、自分の量子ビットに何も行いません。ボブは自分の電子状態のコピーを多数作成し、各コピーのz方向のスピンを測定します。ボブは、すべての測定で同じ結果が出ればアリスが「0」を送信したと認識します。そうでない場合、測定では結果がまたはとなり、確率は同じです。これにより、アリスとボブは古典的なビットを相互に通信できるようになります（おそらく空間的な分離を越えて、因果律に違反します）。${\displaystyle |z+\rangle _{B}}$${\displaystyle |z-\rangle _{B}}$${\displaystyle |z+\rangle _{B}}$${\displaystyle |z-\rangle _{B}}$
• 量子状態は完全には区別できない。^[15]
• 複製禁止定理は、ブラックホールのホログラフィック原理を、情報のコピーが 2 つ存在し、1 つは事象の地平線にあり、もう 1 つはブラックホールの内部にあるという意味であると解釈することを防ぎます。これにより、ブラックホールの相補性などのより過激な解釈が生まれます。
• 複製不可定理は、すべてのダガーコンパクトカテゴリに適用されます。つまり、この種の非自明なカテゴリには普遍的な複製射は存在しません。^{[16]この定理はこのカテゴリの定義に内在していますが、これがそうであることは自明ではありません。このカテゴリには、}集合と関係のカテゴリやコボルディズムのカテゴリ など、有限次元ヒルベルト空間ではないものが含まれるため、この洞察は重要です。

未知の量子状態の完全なコピーを作ることは不可能ですが、不完全なコピーを作ることは可能です。これは、クローン化されるシステムに、より大きな補助システムを結合し、結合されたシステムにユニタリ変換を適用することで実現できます。ユニタリ変換が正しく選択されれば、結合されたシステムのいくつかのコンポーネントは、元のシステムの近似コピーに進化します。1996年、V. BuzekとM. Hilleryは、ユニバーサルクローニングマシンが、5/6という驚くほど高い忠実度で未知の状態のクローンを作成できることを示しました。^[17]

不完全な量子クローンは、量子情報科学における他の用途の中でも、 量子暗号プロトコルに対する 盗聴攻撃として使用される可能性があります。

• V. BuzekとM. Hillery、「量子クローニング」、Physics World 14 (11) (2001)、pp. 25–29。