関係のカテゴリー

数学において、カテゴリ Relには、オブジェクトとしての集合のクラスと、射としての二項関係のクラスがあります。

このカテゴリにおける射（または矢印）R : A → Bは集合Aと集合Bの間の関係なので、R ⊆ A × Bです。

2つの関係 R : A → BとS : B → Cの合成は次のように表される。

( a , c )∈S o R ≡ あるb∈Bに対して、( a , b ) ∈Rかつ( b , c ) ∈Sである。 [ 1 ^]

Relは「集合の対応のカテゴリ」とも呼ばれています。^[2]

プロパティ

カテゴリRel には、（広い）サブカテゴリとして集合のカテゴリSetがあり、ここでSetの矢印f : X → Yは、 ( x , y ) ∈ F ≡ f ( x ) = yで定義される関係F ⊆ X × Yに対応します。^{[注 1]}^[3]

Relの射は関係であり、Relの反対のカテゴリの対応する射は矢印が逆になっているため、逆関係になります。したがって、Relはその反対を含み、自己双対です。^[4]

逆関係を取ることによって表現される反転は、Rel をダガーカテゴリにするダガーを提供します。

カテゴリには、 hom 関手によって与えられる 2 つの関手が自身に存在します。2項関係R ⊆ A × Bとその転置R ^T ⊆ B × Aは、 RR ^TまたはR ^TRとして合成できます。最初の合成はA上の同次関係になり、2 番目はB上の同次関係になります。これらの hom 関手の像はRel自体にあるため、この場合 hom は内部 hom 関手です。内部 hom 関手により、Rel は閉じたカテゴリであり、さらに短剣コンパクトカテゴリです。

カテゴリRel は、共変関数として解釈される冪集合に対応する関数を持つモナドのKleisli カテゴリとして、カテゴリSetから取得できます。

一見すると少し意外かもしれませんが、Relの積は、 Setのように直積ではなく、離散和^[4]^{: 181}で与えられ、余積も同様です。

Relはモノイド閉である、と定義されるのは、モノイド積A⊗Bと内部homA⇒Bの両方を集合の直積で定義した場合である。モノイド積を集合の非結合和で定義した場合もモノイド圏である。^[5]

カテゴリRel は、1990 年にPeter J. Freydと Andre Scedrovによってアレゴリーと呼ばれる代数構造のプロトタイプでした。^{[6]彼らは、}通常のカテゴリと関数F : A → Bから始めて、誘導関数 Rel( A,B ) → Rel( FA, FB ) の特性に注目しました。たとえば、それは合成、変換、および交差を保存します。このような特性は、アレゴリーの公理を提供するために使用されます。

オブジェクトとしての関係

デイヴィッド・ライドハードとロッド・バーストールは、 Relには同次関係であるオブジェクトがあると考えている。例えば、A は集合であり、R ⊆ A × AはA上の二項関係である。このカテゴリの射は、関係を保存する集合間の関数である。例えば、S ⊆ B × Bが2番目の関係であり、f : A → Bがfが射となるような関数であるとする。^[7] $xRy\implies f(x)Sf(y),$

同じ考え方はアダメック、ヘルリッヒ、ストレッカーによって提唱されており、彼らはオブジェクト（A、R）と（B、S）、集合と関係を指定している。^[8]

注記

^ このカテゴリは、 Rydeheard と Burstall によってSet _Relと呼ばれています。

参考文献

^ Mac Lane, S. (1988). Categories for the Working Mathematician (第1版). Springer. p. 26. ISBN 0-387-90035-7。
^ パレイギス、ボド (1970)。カテゴリーと関手。純粋および応用数学。第39巻。アカデミックプレス。p.6。ISBN 978-0-12-545150-5。
^ Bergman, George (1998). 「§7.2 RelSet」一般代数と普遍的構成への招待。ヘンリー・ヘルソン。ISBN 0-9655211-4-1。
^ ab Barr, Michael ; Wells, Charles (1990). 計算科学のためのカテゴリー理論(PDF) . Prentice Hall. p. 181. ISBN 978-0131204867。
^ Fong, Brendan; David I Spivak (2019). 「対称モノイドカテゴリにおける機能追加」arXiv : 1908.02633 [math.CT].
^ ピーター・J・フロイド;アンドレ・セドロフ (1990)。カテゴリー、アレゴリー。北オランダ。ページ79、196。ISBN 0-444-70368-3。
^ ライドハード、デイビッド、バースタル、ロッド(1988)。計算カテゴリー理論。プレンティス・ホール。p. 41。ISBN 978-0131627369。
^ Adamek, Juri; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (2004) [1990]. 「§3.3、例2(d)」. 抽象カテゴリーと具象カテゴリー(PDF) . KatMAT研究グループ、ブレーメン大学。p. 22。2022-08-11にオリジナル(PDF)からアーカイブ。

ボルセ、フランシス (1994)。カテゴリーと構造。カテゴリー代数ハンドブック。第 2 巻。ケンブリッジ大学出版局。p. 115。ISBN 978-0-521-44179-7。

[3] このカテゴリは、 Rydeheard と Burstall によってSet _Relと呼ばれています。

[1] Mac Lane, S. (1988). Categories for the Working Mathematician (第1版). Springer. p. 26. ISBN 0-387-90035-7。

[2] パレイギス、ボド (1970)。カテゴリーと関手。純粋および応用数学。第39巻。アカデミックプレス。p.6。ISBN 978-0-12-545150-5。

[4] Bergman, George (1998). 「§7.2 RelSet」一般代数と普遍的構成への招待。ヘンリー・ヘルソン。ISBN 0-9655211-4-1。

[MB&CW-5] Barr, Michael ; Wells, Charles (1990). 計算科学のためのカテゴリー理論(PDF) . Prentice Hall. p. 181. ISBN 978-0131204867。

[6] Fong, Brendan; David I Spivak (2019). 「対称モノイドカテゴリにおける機能追加」arXiv : 1908.02633 [math.CT].

[7] ピーター・J・フロイド;アンドレ・セドロフ (1990)。カテゴリー、アレゴリー。北オランダ。ページ79、196。ISBN 0-444-70368-3。

[R&B-8] ライドハード、デイビッド、バースタル、ロッド(1988)。計算カテゴリー理論。プレンティス・ホール。p. 41。ISBN 978-0131627369。

[9] Adamek, Juri; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (2004) [1990]. 「§3.3、例2(d)」. 抽象カテゴリーと具象カテゴリー(PDF) . KatMAT研究グループ、ブレーメン大学。p. 22。2022-08-11にオリジナル(PDF)からアーカイブ。