ジョンソンサークル

幾何学において、ジョンソン円の集合は、半径rが等しい3 つの円が1 つの共通交点H を共有することから構成される。このような構成では、円には通常、合計 4 つの交点 (少なくとも 2 つの円が交わる点) がある。つまり、すべての円が共有する共通点Hと、3 組の円のそれぞれについてもう 1 つの交点 (ここでは 2 交点と呼ぶ) である。2 つの円が接触する場合は、共通点はHのみであり、その場合はHが 2 交点であるとみなされる。2 つの円が一致する場合は、2 交点はH の正反対の点であると宣言する。3 つの 2 交点は、図の基準三角形を定義する。この概念は、ロジャー・アーサー・ジョンソンにちなんで名付けられた。 ^{[1] [2] [3]}

1. ジョンソン円の中心は、Hを中心とするジョンソン円と同じ半径rの円上にあります。これらの中心はジョンソン三角形を形成します。
2. Hを中心とし、半径2 rの円は反補円と呼ばれ、各ジョンソン円に接します。3 つの接点は、ジョンソン三角形の頂点を中心とする点Hの反射です。
3. ジョンソン円と反補円の接点は、基準三角形の反補三角形と呼ばれる別の三角形を形成します。これはジョンソン三角形に似ており、共通の外心Hを中心として係数 2 で相似です。
4. ジョンソンの定理: ジョンソン円の 2 つの交点 (基準三角形△ ABCの頂点) は、ジョンソン円と同じ半径rの円上にあります。この性質は、ルーマニアでは「ゲオルゲ・ツィツェイカの5 レイ硬貨問題」としてもよく知られています。
5. 基準三角形は実際にはジョンソン三角形と合同であり、係数 -1 で相似です。
6. 点H は基準三角形の垂心であり、ジョンソン三角形の外心です。
7. ジョンソン三角形と基準三角形の相似中心は、それらの共通の9 点の中心です。

性質 1 は定義から明らかです。性質 2 も明らかです。半径rの任意の円とその上の任意の点Pについて、 Pを中心とする半径2 rの円は、 Pと反対側の点で円に接します。これは特にP = Hに適用され、反対補円C になります。相似性の定式化における性質 3 はすぐにわかります。接点の三角形は反対補三角形として知られています。

特性 4 と 5 については、まず、3 つのジョンソン円のうちの任意の 2 つが、Hとそれらの 2 次交点 (または、これらの点が一致する場合はHでの共通接線) を結ぶ線の反射によって交換され、この反射によって、これらの円上にある反補三角形の 2 つの頂点も交換されることに注目してください。したがって、2 次交点は反補三角形の 1 辺の中点であり、H はこの辺の垂直二等分線上にあります。ここで、任意の三角形の辺の中点は、三角形の重心を中心とする、係数 -½ の相似による頂点の像です。ジョンソン三角形から係数 2 の相似によって得られる反補三角形に適用すると、相似の合成から、基準三角形は係数 -1 でジョンソン三角形に相似であることがわかります。このような相似性は合同なので、性質 5 が得られます。また、合同な三角形には等しい半径の 外接円があるため、ジョンソン円定理も得られます。

性質 6 については、反補三角形の辺の垂直二等分線はすべて点H を通ることがすでに確立されています。その辺は基準三角形の辺と平行なので、これらの垂直二等分線は基準三角形の 高さでもあります。

特性 7 は特性 6 から直接導かれます。なぜなら、係数が -1 である相似中心は、 基準三角形の 外心Oとジョンソン三角形のHの中点にある必要があるからです。後者は基準三角形の垂心であり、その 9 点中心はその中点であることがわかっています。中心対称性により、基準三角形の垂心はジョンソン三角形の垂心にマッピングされるため、相似中心はジョンソン三角形の 9 点中心でもあります。

ジョンソン円定理には、単純なベクトル計算を使った代数的証明もあります。長さがすべてrのベクトルがあり、ジョンソン円はそれぞれ を中心としています。この場合、2 交点はそれぞれ であり、点は明らかにこれらの 2 交点のいずれに対しても r の距離にあります。${\displaystyle {\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}},}$${\displaystyle H+{\vec {u}},H+{\vec {v}},H+{\vec {w}}.}$${\displaystyle H+{\vec {u}}+{\vec {v}},H+{\vec {u}}+{\vec {w}},H+{\vec {v}}+{\vec { w}}}$${\displaystyle H+{\vec {u}}+{\vec {v}}+{\vec {w}}}$

3つのジョンソン円は、基準三角形の外接円を基準三角形の3辺それぞれについて反射したものと考えることができる。さらに、基準三角形の3辺についての反射では、その垂心Hは、外接垂心三角形の頂点を形成する基準三角形の外接円上の3点に写像され、その外心Oはジョンソン三角形の頂点に写像され、そのオイラー線（ O、N、Hを通る線）は、 X （110）で一致する3本の線を生成する。

ジョンソン三角形とその基準三角形は、同じ 9 点の中心、同じオイラー直線、同じ9 点円を共有しています。基準三角形とそのジョンソン三角形の頂点から形成される 6 つの点はすべて、9 点の中心を中心とし、基準三角形の点X (216) をその遠近法とするジョンソン外接円錐上にあります。外接円錐と外接円は、基準三角形の 4 番目の点X (110) を共有しています。

最後に、基準三角形とそのジョンソン三角形の 6 つの頂点、および外心、垂心、9 点の中心を通る、興味深い文書化された外三次曲線が 2 つあります。最初のものは、第 1 ムッセルマン三次曲線 ( K 026) として知られています。この三次曲線は、中位三角形の 6 つの頂点とジョンソン三角形の中位三角形も通ります。2 番目の三次曲線は、オイラー中心三次曲線 ( K 044)として知られています。この三次曲線は、垂位三角形の 6 つの頂点とジョンソン三角形の垂位三角形 も通ります。

X ( i )点表記は、三角形の中心のClark Kimberling ETC分類です。

ウィキメディア・コモンズには、ジョンソン・サークルに関連するメディアがあります。

• Weisstein, Eric W.「ジョンソンの定理」。MathWorld。
• FM Jackson およびWeisstein, Eric W.「ジョンソン サークル」。MathWorld。
• FM Jackson およびWeisstein, Eric W.「ジョンソン三角形」。MathWorld。
• Weisstein、Eric W.「ジョンソン円錐曲線」。MathWorld。
• Weisstein、Eric W.「反補三角形」。MathWorld。
• Weisstein、Eric W.「円周三角形」。MathWorld。
• ベルナール・ジベール サーカムキュービック K026
• ベルナール・ジベール サーカムキュービック K044
• Clark Kimberling、「三角形の中心の百科事典」。(あらゆる三角形に関連する約 3000 個の興味深い点をリストします。)