アポロニウスの円

幾何学において、アポロニウス円は、第 1 の族のすべての円が第 2 の族のすべての円と直交し、その逆も成り立つような2つの円族 (円束)です。これらの円は双極座標の基礎となります。これらは、有名なギリシャの幾何学者であるペルガのアポロニウスによって発見されました。

アポロニウス円は、CDで示される線分によって 2 つの異なる方法で定義されます。

最初のファミリーの各円 (図の青い円) は、正の実数 rに関連付けられており、点Xの軌跡として定義され、XからCおよびDへの距離の比がr に等しくなります。 r の値がゼロに近い場合、対応する円はCに近くなり、 rの値が∞に近い場合、対応する円はDに近くなります。中間の値r = 1の場合、円は直線、つまりCDの垂直二等分線に退化します。これらの円を軌跡として定義する式は、より大きな重み付き点の集合のフェルマー・アポロニウス円を定義するように一般化できます。 $${\displaystyle \left\{X\ {\Biggl |}\ {\frac {d(X,C)}{d(X,D)}}=r\right\}.}$$

2番目のファミリーの各円（図の赤い円）は角度θに関連付けられており、内接角∠CXDがθに等しい点Xの軌跡として定義されます。 $${\displaystyle \left\{X\ {\Bigl |}\ C{\hat {X}}D=\theta \right\}.}$$

θ を0 からπまでスキャンすると、 2 つの点CとD を通過するすべての円の集合が生成されます。

すべての赤い円が交差する 2 つの点は、青いファミリーの円のペアの 限界点です。

与えられた青い円と与えられた赤い円は、2 つの点で交差します。双極座標を取得するには、どの点が正しいかを指定する方法が必要です。等角円弧は、点C、Dを与えられたベクトルの方向角で 見る点Xの軌跡です。つまり、 このような円弧は赤い円に含まれ、点C、Dによって囲まれます。対応する赤い円の残りの部分はisopt( θ + π )です。赤い円全体が必要な場合は、直線の方向角を使用した記述を使用する必要があります。 $${\displaystyle \operatorname {isopt} (\theta )=\left\{X\ {\Biggl |}\ \measuredangle {\biggl (}{\overrightarrow {XC}},{\overrightarrow {XD}}{\biggr )}=\theta +2k\pi \right\}.}$$$${\displaystyle {\text{完全な赤い円}}=\left\{X\ {\Biggl |}\ \measuredangle {\biggl (}{\overrightarrow {XC}},{\overrightarrow {XD}}{\biggr )}=\theta +k\pi \right\}}$$

アポロニウス円の族は両方とも円束である。それぞれは、その要素のうちの任意の 2 つ、つまり円束の生成元によって決定される。具体的には、1 つは楕円形円束(図の赤い円族) で、ちょうど2 つの点 ( C、D ) で互いを通過する 2 つの生成元によって定義される。もう 1 つは双曲形円束(図の青い円族) で、どの点でも互いに交差しない 2 つの生成元によって定義される。^[1]

鉛筆内のこれらの円のうちの2つは同じ根軸を持ち、鉛筆内のすべての円の中心は同一線上にあります。同じファミリーの3つ以上の円は、同軸円または同軸円と呼ばれます。^[2]

2 点C、D を通る楕円鉛筆(図の赤い円の集合) は、線CD を根軸とします。この鉛筆の円の中心は、CDの垂直二等分線上にあります。点C、Dで定義される双曲鉛筆(青い円) は、線CDの垂直二等分線上に根軸があり、すべての円の中心は線CD上にあります。

円反転は、円を円に、円の鉛筆を円の鉛筆にマッピングする方法で平面を変換します。鉛筆の種類は保持されます。楕円鉛筆の反転は別の楕円鉛筆になり、双曲鉛筆の反転は別の双曲鉛筆になり、放物線鉛筆の反転は別の放物線鉛筆になります。

アポロニアン円では、すべての青い円がすべての赤い円と直交する、つまり直角で交差していることは、反転を使用して示すのが比較的簡単です。点Cを中心とする円に関して青いアポロニアン円を反転すると、点Dの像を中心とする同心円の束が得られます。同じ反転により、赤い円はすべてDの像を含む直線の集合に変換されます。したがって、この反転により、アポロニアン円によって定義される双極座標系が極座標系に変換されます。明らかに、変換された束は直角で交わります。反転は等角変換であるため、変換する曲線間の角度が保存され、元のアポロニアン円も直角で交わります。

あるいは、^[3] 2 つの鉛筆の直交性は、根軸の定義特性から導かれます。根軸上の任意の点Xから、 P内の各円への接線の長さはすべて等しいということです。このことから、これらの接線に等しい長さを持つ X を中心とする円は、 P のすべての円と垂直に交差することがわかります。同じ構成をPの根軸上の各Xに適用して、 Pに垂直な別の円の鉛筆を形成することもできます。

より一般的には、すべての円束に対して、その最初の束に垂直な円からなる唯一の束が存在する。1つの束が楕円形であれば、それに垂直な束は双曲形であり、その逆もまた同様である。この場合、2つの束はアポロニウスの円の集合を形成する。放物線状の束に垂直な円束もまた放物線状である。それは、同じ共通接点を持ち、その点に垂直な接線を持つ円から構成される。^[4]

アポロンの軌道は、干渉場や結合場（光子波や結合ポラリトン波など）を含むいくつかの物理システムにおいて、渦核やその他の定義された擬似スピン状態によって運動することが示されています。 ^[5]軌道は、ブロッホ球のラビ回転と、観測が行われる実空間へのその立体投影から生じます。

• ペルガのアポロニウス
• ギリシャの数学

• Akopyan, AV; Zaslavsky, AA (2007)、「円錐曲線の幾何学」、Mathematical World、vol. 26、アメリカ数学会、pp. 57–62、ISBN 978-0-8218-4323-9。
• シュヴェルトフェガー、ハンス（1962）、複素数の幾何学、トロント大学出版局ドーバー再版、1979年、ISBN 0-486-63830-8。 

• ファイファー、リチャード E.; ヴァン フック、キャスリーン (1993)、「円、ベクトル、線形代数」、数学雑誌、66 (2): 75–86、doi :10.2307/2691113、JSTOR  2691113。
• サミュエル、ピエール（1988）、射影幾何学、シュプリンガー、pp. 40-43。
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• ワイスシュタイン、エリック W.、「同軸円」、MathWorld
• デイビッド・B・スロウスキー：高校上級数学。31 ページ