ニュートンのアイデンティティ

数学において、ニュートンの恒等式（ジラール・ニュートン公式とも呼ばれる）は、2種類の対称多項式、すなわち、べき乗和と基本対称多項式の関係を示す。1変数の単項多項式Pの根で評価すると、実際に根を求めることなく、 Pの係数に関して、Pのすべての根のk乗の和（重複度も考慮）を表すことができる。これらの恒等式は、1666年頃にアイザック・ニュートンによって発見されたが、明らかにアルバート・ジラールによる以前の研究（1629年）を知らなかった。これらは、ガロア理論、不変量論、群論、組合せ論など、数学の多くの分野に応用されているほか、一般相対性理論など、数学以外の分野にも応用されている。

x ₁ , ..., x _nを変数とし、k  ≥ 1 に対してp _k ( x ₁ , ..., x _n )でk乗和を表します。

${\displaystyle p_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}=x_{1}^{k}+\cdots +x_{n}^{k},}$

そしてk  ≥ 0に対してe _k ( x ₁ , ..., x _n )を基本対称多項式（つまりk個の異なる変数のすべての異なる積の和）と表すので、

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{0}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=1,\\e_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n},\\e_{2}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=\sum _{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j},\\&\;\;\vdots \\e_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=x_{1}x_{2}\cdots x_{n},\\e_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=0,\quad {\text{for}}\ k>n.\\\end{aligned}}}$

ニュートンの等式は次のように述べられる。

${\displaystyle ke_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i-1}e_{ki}(x_{1},\ldots ,x_{n})p_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}),}$

n ≥ k ≥ 1のすべてに有効です。

また、

${\displaystyle 0=\sum _{i=kn}^{k}(-1)^{i-1}e_{ki}(x_{1},\ldots ,x_{n})p_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}),}$

すべてのk > n ≥ 1に対して。

具体的には、 kの最初のいくつかの値について次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=p_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\\2e_{2}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=e_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})p_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})-p_{2}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\\3e_{3}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=e_{2}(x_{1},\ldots ,x_{n})p_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})-e_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})p_{2}(x_{1},\ldots ,x_{n})+p_{3}(x_{1},\ldots ,x_{n}).\end{aligned}}}$

これらの方程式の形と妥当性は変数の数nに依存しない（ただし、左辺が 0 になる点、つまりn番目の恒等式以降は依存する）。そのため、対称関数の環における恒等式として表すことができる。その環では、

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}&=p_{1},\\2e_{2}&=e_{1}p_{1}-p_{2}=p_{1}^{2} -p_{2},\\3e_{3}&=e_{2}p_{1}-e_{1}p_{2}+p_{3}={\tfrac {1}{2}}p_{1}^{3}-{\tfrac {3}{2}}p_{1}p_{2}+p_{3},\\4e_{4}&=e_{ 3}p_{1}-e_{2}p_{2}+e_{1}p_{3}-p_{4}={\tfrac {1}{6}}p_{1}^{4}-p_{1}^{2}p_{2}+{\tfrac {4}{3}}p_{1}p_{3}+{\tfrac {1}{2}}p_{2}^{2}-p_{4},\\\end{aligned}}}$

など。ここで左辺がゼロになることはありません。これらの式は、e _{i を}p _kで再帰的に表すことを可能にします。逆を行うには、次のように書き直すことができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{1}&=e_{1},\\p_{2}&=e_{1}p_{1}-2e_{2}=e_{1}^ {2}-2e_{2},\\p_{3}&=e_{1}p_{2}-e_{2}p_{1}+3e_{3}=e_{1}^{3}-3e_{ 1}e_{2}+3e_{3},\\p_{4}&=e_{1}p_{3}-e_{2}p_{2}+e_{3}p_{1}-4e_{4} =e_{1}^{4}-4e_{1}^{2}e_{2}+4e_{1}e_{3}+2e_{2}^{2}-4e_{4},\\&{}\ \ \vdots \end{aligned}}}$

一般的に、私たちは

${\displaystyle p_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=(-1)^{k-1}ke_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})+\sum _{i=1}^{k-1}(-1)^{k-1+i}e_{ki}(x_{1},\ldots ,x_{n})p_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}),}$

n  ≥ k ≥ 1のすべてに有効です 。

また、

${\displaystyle p_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=kn}^{k-1}(-1)^{k-1+i}e_{ki}(x_{1},\ldots ,x_{n})p_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}),}$

すべてのk  >  n  ≥ 1 に対して。

x _iの根を持つ多項式は次のように展開される。

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}e_{k}x^{n-k},}$

ここで係数は 上で定義した対称多項式である。根の べき乗和が与えられれば${\displaystyle e_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

${\displaystyle p_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k},}$

根を持つ多項式の係数は、次のように累乗和で再帰的に表現できる。 ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{0}&=1,\\[4pt]-e_{1}&=-p_{1},\\[4pt]e_{2}&={\frac {1}{2}}(e_{1}p_{1}-p_{2}),\\[4pt]-e_{3}&=-{\frac {1}{3}}(e_{2}p_{1}-e_{1}p_{2}+p_{3}),\\[4pt]e_{4}&={\frac {1}{4}}(e_{3}p_{1}-e_{2}p_{2}+e_{1}p_{3}-p_{4}),\\&{}\ \ \vdots \end{aligned}}}$

このように多項式を定式化することは、DelvesとLynessの方法^[1]を使用して解析関数のゼロを見つけるのに役立ちます。

上記の多項式が行列の特性多項式である場合（特に が多項式のコンパニオン行列である場合）、根は代数的重複度で数えられた行列の固有値です。任意の正の整数 に対して、行列はのべき乗を固有値として持ち、の各固有値はの固有値の重複度に寄与します。この場合、 の特性多項式の係数は、それらのべき乗における基本対称多項式によって与えられます。特に、の特性多項式の根の- 乗和である の和は、そのトレースによって与えられます。 ${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbf {A} ^{k}}$${\displaystyle x_{i}^{k}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle x_{i}^{k}}$${\displaystyle \mathbf {A} ^{k}}$${\displaystyle \mathbf {A} ^{k}}$ ${\displaystyle x_{i}^{k}}$${\displaystyle x_{i}^{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle p_{k}}$${\displaystyle \mathbf {A} }$

$${\displaystyle p_{k}=\operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{k})\,.}$$

ニュートン恒等式は、累乗のトレースを の特性多項式の係数に関連付けます。これを逆に使用して、基本対称多項式を累乗和で表すと、累乗とそのトレースのみを計算することで特性多項式を見つけることができます。 ${\displaystyle \mathbf {A} ^{k}}$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {A} ^{k}}$

この計算では、行列のべき乗のトレースを計算し、三角方程式を解く必要があります。どちらも複雑度クラスNCで実行できます(三角方程式を解くのは分割統治法で実行できます)。したがって、行列の特性多項式は NC で計算できます。ケイリー・ハミルトン定理により、すべての行列はその特性多項式を満たし、簡単な変換でNC で随伴行列を見つけることができます。 ${\displaystyle \mathbf {A} ^{k}}$

計算を効率的な形式に再配置すると、Faddeev-LeVerrier アルゴリズム(1840) が生まれ、その高速並列実装は L. Csanky (1976) によるものです。欠点は、整数による除算が必要なため、一般に、フィールドの標数は 0 になる必要があることです。

与えられたnに対して、 k  = 1,..., nの基本対称多項式e _k ( x ₁ ,..., x _n ) は、 x ₁ ,.... x _nの対称多項式の空間の代数基底を形成します。つまり、これらの変数のすべての順列に対して不変であるx _iのすべての多項式式は、これらの基本対称多項式の多項式式で与えられ、この式は多項式式の同値性を除いて一意です。これは対称多項式の基本定理として知られる一般的な事実であり、ニュートンの恒等式は、べき和対称多項式の場合に明示的な式を提供します。これを、すべての係数a _{k を}自由パラメータとして単項多項式に適用すると、根のすべての対称多項式S ( x ₁ ,..., x _n ) は、係数のみで、つまり根の知識を必要とせずに、多項式P ( a ₁ ,..., a _n ) として表現できることを意味します。この事実は、ガロア理論の一般的な考察からも導かれます( a _{k を}、ガロア群が完全対称群に従って根を並べ替える拡大体に根を持つ基本体の要素と見なし、ガロア群のすべての要素の下で固定された体が基本体です)。 ${\textstyle t^{n}+\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}a_{k}t^{n-k}}$

ニュートン恒等式は、基本的な対称多項式をべき乗和対称多項式で表現することを可能にし、任意の対称多項式をべき乗和でも表現できることを示しています。実際、最初のn乗和は、対称多項式の空間の代数的基底も形成します。

ニュートンの恒等式とは区別されるべきであるが、ニュートンの恒等式と非常に密接に関連している恒等式（のファミリー）が数多く存在します。

h _kを完全同次対称多項式（つまり、k次 すべての単項式の和）とすると、べき和多項式もニュートン恒等式と同様の恒等式を満たすが、マイナス符号は含まれない。対称関数の環におけるの恒等式として表すと、

${\displaystyle kh_{k}=\sum _{i=1}^{k}h_{k-i}p_{i},}$

は、すべての n ≥  k  ≥ 1 に対して有効である。ニュートンの恒等式とは反対に、左辺は k が大きい場合もゼロにならず、右辺にはゼロでない項がどんどん増えていく。k の最初のいくつかの値については、

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=p_{1},\\2h_{2}&=h_{1}p_{1}+p_{2},\\3h_{3}&=h_{2}p_{1}+h_{1}p_{2}+p_{3}.\\\end{aligned}}}$

これらの関係は、上記の冪級数の係数を比較する議論と類似した議論によって正当化できる。この場合、生成関数の恒等式に基づいている。

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }h_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})t^{k}=\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{1-x_{i}t}}.}$

以下に示すようなニュートンの恒等式の証明は、それらの恒等式の変形を証明するために簡単に適応することはできません。

前述のように、ニュートンの恒等式は、基本的な対称多項式をべき乗和で再帰的に表現するために使用できます。これを行うには整数分母を導入する必要があるため、有理係数を持つ対称関数の環 Λ _Qで行うことができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}&=p_{1},\\e_{2}&=\textstyle {\frac {1}{2}}p_{1}^{2}-{\frac {1}{2}}p_{2}&&=\textstyle {\frac {1}{2}}(p_{1}^{2}-p_{2}),\\e_{3}&=\textstyle {\frac {1}{6}}p_{1}^{3}-{\frac {1}{2}}p_{1}p_{2}+{\frac {1}{3}}p_{3}&&=\textstyle {\frac {1}{6}}(p_{1}^{3}-3p_{1}p_{2}+2p_{3}),\\e_{4}&=\textstyle {\frac {1}{24}}p_{1}^{4}-{\frac {1}{4}}p_{1}^{2}p_{2}+{\frac {1}{8}}p_{2}^{2}+{\frac {1}{3}}p_{1}p_{3}-{\frac {1}{4}}p_{4}&&=\textstyle {\frac {1}{24}}(p_{1}^{4}-6p_{1}^{2}p_{2}+3p_{2}^{2}+8p_{1}p_{3}-6p_{4}),\\&~~\vdots \\e_{n}&=(-1)^{n}\sum _{m_{1}+2m_{2}+\cdots +nm_{n}=n \atop m_{1}\geq 0,\ldots ,m_{n}\geq 0}\prod _{i=1}^{n}{\frac {(-p_{i})^{m_{i}}}{m_{i}!\,i^{m_{i}}}}\\\end{aligned}}}$

^[2]一般式は次のように表現できる 。

${\displaystyle e_{k}={\frac {(-1)^{k}}{k!}}B_{k}(-p_{1},-1!\,p_{2},-2!\,p_{3},\ldots ,-(k-1)!\,p_{k}),}$

ここで、B _{n は}完全な指数ベル多項式です。この式から、生成関数の次の恒等式も得られます。

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }e_{k}\,t^{k}=\exp \left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}p_{k}\,t^{k}\right).}$

これらの式を単項多項式に適用すると、係数は根のべき乗和で表されます。つまり、各e _{i を}a _iに、各p _{k を}s _kに置き換えます。

完全同次対称多項式に関する類似の関係も同様に展開でき、次の式が得られる。

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=p_{1},\\h_{2}&=\textstyle {\frac {1}{2}}p_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}p_{2}&&=\textstyle {\frac {1}{2}}(p_{1}^{2}+p_{2}),\\h_{3}&=\textstyle {\frac {1}{6}}p_{1}^{3}+{\frac {1}{2}}p_{1}p_{2}+{\frac {1}{3}}p_{3}&&=\textstyle {\frac {1}{6}}(p_{1}^{3}+3p_{1}p_{2}+2p_{3}),\\h_{4}&=\textstyle {\frac {1}{24}}p_{1}^{4}+{\frac {1}{4}}p_{1}^{2}p_{2}+{\frac {1}{8}}p_{2}^{2}+{\frac {1}{3}}p_{1}p_{3}+{\frac {1}{4}}p_{4}&&=\textstyle {\frac {1}{24}}(p_{1}^{4}+6p_{1}^{2}p_{2}+3p_{2}^{2}+8p_{1}p_{3}+6p_{4}),\\&~~\vdots \\h_{k}&=\sum _{m_{1}+2m_{2}+\cdots +km_{k}=k \atop m_{1}\geq 0,\ldots ,m_{k}\geq 0}\prod _{i=1}^{k}{\frac {p_{i}^{m_{i}}}{m_{i}!\,i^{m_{i}}}}\end{aligned}}}$

などがあり、プラス記号のみがある。完全なベル多項式では、

${\displaystyle h_{k}={\frac {1}{k!}}B_{k}(p_{1},1!\,p_{2},2!\,p_{3},\ldots ,(k-1)!\,p_{k}).}$

これらの式は、べき和p _{i を}不定値として解釈すれば、対称群のサイクル指数多項式と正確に対応します。つまり、任意の単項式p ₁ ^{m ₁} p ₂ ^{m ₂} ... p _l ^{m _l}のh _kの式の係数は、 m _{1 個}の固定点、長さ_{2のサイクルが}m 2個、...、長さlのサイクルがm _l個あるkのすべての順列の割合に等しくなります。明示的には、この係数はと書くことができます。ここで、 N は、指定されたサイクル タイプの任意の順列πと交換できる順列の数です 。基本的な対称関数の式は、係数の絶対値は同じですが、符号が πの符号に等しく、つまり (−1) ^{m ₂ + m ₄ +...}です。 ${\displaystyle 1/N}$${\textstyle N=\prod _{i=1}^{l}(m_{i}!\,i^{m_{i}})}$

これは、次の帰納的ステップを考慮することによって証明できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}mf(m;m_{1},\ldots ,m_{n})&=f(m-1;m_{1}-1,\ldots ,m_{n})+\cdots +f(m-n;m_{1},\ldots ,m_{n}-1)\\m_{1}\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{i^{m_{i}}m_{i}!}}+\cdots +nm_{n}\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{i^{m_{i}}m_{i}!}}&=m\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{i^{m_{i}}m_{i}!}}\end{aligned}}}$

の生成関数の導出と同様に、 の生成関数も、次のようにべき乗和の観点から得ることができます。 ${\displaystyle e_{n}}$${\displaystyle h_{n}}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }h_{k}\,t^{k}=\exp \left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {p_{k}}{k}}\,t^{k}\right).}$

したがって、この生成関数はのプレシスティック指数です。 ${\displaystyle p_{1}t=(x_{1}+\cdots +x_{n})t}$

ニュートンの恒等式を使用して、分母を導入しない基本的な対称多項式でべき乗和を表現することもできます。

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{1}&=e_{1},\\p_{2}&=e_{1}^{2}-2e_{2},\\p_{3}&=e_{1}^{3}-3e_{2}e_{1}+3e_{3},\\p_{4}&=e_{1}^{4}-4e_{2}e_{1}^{2}+4e_{3}e_{1}+2e_{2}^{2}-4e_{4},\\p_{5}&=e_{1}^{5}-5e_{2}e_{1}^{3}+5e_{3}e_{1}^{2}+5e_{2}^{2}e_{1}-5e_{4}e_{1}-5e_{3}e_{2}+5e_{5},\\p_{6}&=e_{1}^{6}-6e_{2}e_{1}^{4}+6e_{3}e_{1}^{3}+9e_{2}^{2}e_{1}^{2}-6e_{4}e_{1}^{2}-12e_{3}e_{2}e_{1}+6e_{5}e_{1}-2e_{2}^{3}+3e_{3}^{2}+6e_{4}e_{2}-6e_{6}.\end{aligned}}}$

最初の4つの公式は1629年にアルバート・ジラールによって（つまりニュートンより前に）得られました。^[3]

一般式（すべての正の整数mに対して）は次のとおりです。

${\displaystyle p_{m}=(-1)^{m}m\sum _{r_{1}+2r_{2}+\cdots +mr_{m}=m \atop r_{1}\geq 0,\ldots ,r_{m}\geq 0}{\frac {(r_{1}+r_{2}+\cdots +r_{m}-1)!}{r_{1}!\,r_{2}!\cdots r_{m}!}}\prod _{i=1}^{m}(-e_{i})^{r_{i}}.}$

これは通常のベル多項式で次のように 簡単に表現できる。

${\displaystyle p_{m}=(-1)^{m}m\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k}}{\hat {B}}_{m,k}(-e_{1},\ldots ,-e_{m-k+1}),}$

または生成関数として同等である：^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}p_{k}{\frac {t^{k}}{k}}&=\ln \left(1+e_{1}t+e_{2}t^{2}+e_{3}t^{3}+\cdots \right)\\&=e_{1}t-{\frac {1}{2}}\left(e_{1}^{2}-2e_{2}\right)t^{2}+{\frac {1}{3}}\left(e_{1}^{3}-3e_{1}e_{2}+3e_{3}\right)t^{3}+\cdots ,\end{aligned}}}$

これは前の節で示した ベル多項式 指数生成関数に類似しています。

上記の多重和の公式は、次の帰納的ステップを考慮することによって証明できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}f(m;\;r_{1},\ldots ,r_{n})={}&f(m-1;\;r_{1}-1,\cdots ,r_{n})+\cdots +f(m-n;\;r_{1},\ldots ,r_{n}-1)\\[8pt]={}&{\frac {1}{(r_{1}-1)!\cdots r_{n}!}}(m-1)(r_{1}+\cdots +r_{n}-2)!+\cdots \\&\cdots +{\frac {1}{r_{1}!\cdots (r_{n}-1)!}}(m-n)(r_{1}+\cdots +r_{n}-2)!\\[8pt]={}&{\frac {1}{r_{1}!\cdots r_{n}!}}\left[r_{1}(m-1)+\cdots +r_{n}(m-n)\right]\left[r_{1}+\cdots +r_{n}-2\right]!\\[8pt]={}&{\frac {1}{r_{1}!\cdots r_{n}!}}\left[m(r_{1}+\cdots +r_{n})-m\right]\left[r_{1}+\cdots +r_{n}-2\right]!\\[8pt]={}&{\frac {m(r_{1}+\cdots +r_{n}-1)!}{r_{1}!\cdots r_{n}!}}\end{aligned}}}$

最後に、同様に完全同次対称多項式を含む変種恒等式を使用して、それらの項でべき乗和を表すことができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{1}&=+h_{1},\\p_{2}&=-h_{1}^{2}+2h_{2},\\p_{3}&=+h_{1}^{3}-3h_{2}h_{1}+3h_{3},\\p_{4}&=-h_{1}^{4}+4h_{2}h_{1}^{2}-4h_{3}h_{1}-2h_{2}^{2}+4h_{4},\\p_{5}&=+h_{1}^{5}-5h_{2}h_{1}^{3}+5h_{2}^{2}h_{1}+5h_{3}h_{1}^{2}-5h_{3}h_{2}-5h_{4}h_{1}+5h_{5},\\p_{6}&=-h_{1}^{6}+6h_{2}h_{1}^{4}-9h_{2}^{2}h_{1}^{2}-6h_{3}h_{1}^{3}+2h_{2}^{3}+12h_{3}h_{2}h_{1}+6h_{4}h_{1}^{2}-3h_{3}^{2}-6h_{4}h_{2}-6h_{1}h_{5}+6h_{6},\\\end{aligned}}}$

以下同様です。各e _iを対応するh _iに置き換えること以外に、前の恒等式の族に対する唯一の変更点は項の符号にあり、この場合、項の符号は存在する因数の数だけに依存します。単項式の符号は−(−1) ^{m ₁ + m ₂ + m ₃ +...}です。特に、係数の絶対値に関する上記の説明はここでも当てはまります。 ${\textstyle \prod _{i=1}^{l}h_{i}^{m_{i}}}$

一般式（すべての非負整数mに対して）は次のとおりです。

${\displaystyle p_{m}=-\sum _{r_{1}+2r_{2}+\cdots +mr_{m}=m \atop r_{1}\geq 0,\ldots ,r_{m}\geq 0}{\frac {m(r_{1}+r_{2}+\cdots +r_{m}-1)!}{r_{1}!\,r_{2}!\cdots r_{m}!}}\prod _{i=1}^{m}(-h_{i})^{r_{i}}}$

ニュートンの恒等式の最初のn個（または完全同次多項式に対応するもの）を、基本対称関数が既知でべき乗和が未知数（またはその逆）である線形方程式とみなし、クラメールの規則を適用して最後の未知数の解を求めることで、上記の式の行列式の明示的な公式を得ることができます。たとえば、次の形式のニュートンの恒等式をとれば、

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}&=1p_{1},\\2e_{2}&=e_{1}p_{1}-1p_{2},\\3e_{3}&=e_{2}p_{1}-e_{1}p_{2}+1p_{3},\\&\,\,\,\vdots \\ne_{n}&=e_{n-1}p_{1}-e_{n-2}p_{2}+\cdots +(-1)^{n}e_{1}p_{n-1}+(-1)^{n-1}p_{n}\end{aligned}}}$

とを未知数として考え、最後のを解くと、 ${\displaystyle p_{1},-p_{2},p_{3},\ldots ,(-1)^{n}p_{n-1}}$${\displaystyle p_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{n}={}&{\begin{vmatrix}1&0&\cdots &&e_{1}\\e_{1}&1&0&\cdots &2e_{2}\\e_{2}&e_{1}&1&&3e_{3}\\\vdots &&\ddots &\ddots &\vdots \\e_{n-1}&\cdots &e_{2}&e_{1}&ne_{n}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&0&\cdots &\\e_{1}&1&0&\cdots \\e_{2}&e_{1}&1&\\\vdots &&\ddots &\ddots \\e_{n-1}&\cdots &e_{2}&e_{1}&1\end{vmatrix}}^{-1}\\[7pt]={(-1)^{n-1}}&{\begin{vmatrix}1&0&\cdots &&e_{1}\\e_{1}&1&0&\cdots &2e_{2}\\e_{2}&e_{1}&1&&3e_{3}\\\vdots &&\ddots &\ddots &\vdots \\e_{n-1}&\cdots &e_{2}&e_{1}&ne_{n}\end{vmatrix}}\\[7pt]={}&{\begin{vmatrix}e_{1}&1&0&\cdots \\2e_{2}&e_{1}&1&0&\cdots \\3e_{3}&e_{2}&e_{1}&1\\\vdots &&&\ddots &\ddots \\ne_{n}&e_{n-1}&\cdots &&e_{1}\end{vmatrix}}.\end{aligned}}}$

を の代わりにを解くことは、完全同次対称多項式に対する類似の計算と同様です。いずれの場合も、詳細は最終結果よりも少し複雑です。最終結果は次のとおりです (Macdonald 1979、p. 20)。 ${\displaystyle e_{n}}$${\displaystyle p_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{n}={\frac {1}{n!}}&{\begin{vmatrix}p_{1}&1&0&\cdots \\p_{2}&p_{1}&2&0&\cdots \\\vdots &&\ddots &\ddots \\p_{n-1}&p_{n-2}&\cdots &p_{1}&n-1\\p_{n}&p_{n-1}&\cdots &p_{2}&p_{1}\end{vmatrix}}\\[7pt]p_{n}=(-1)^{n-1}&{\begin{vmatrix}h_{1}&1&0&\cdots \\2h_{2}&h_{1}&1&0&\cdots \\3h_{3}&h_{2}&h_{1}&1\\\vdots &&&\ddots &\ddots \\nh_{n}&h_{n-1}&\cdots &&h_{1}\end{vmatrix}}\\[7pt]h_{n}={\frac {1}{n!}}&{\begin{vmatrix}p_{1}&-1&0&\cdots \\p_{2}&p_{1}&-2&0&\cdots \\\vdots &&\ddots &\ddots \\p_{n-1}&p_{n-2}&\cdots &p_{1}&1-n\\p_{n}&p_{n-1}&\cdots &p_{2}&p_{1}\end{vmatrix}}.\end{aligned}}}$

行列式を使用すると、の式に比べて の式にマイナス符号が追加されますが、前述の展開形式の状況は逆であることに注意してください。 (Littlewood 1950、p. 84) で述べたように、 の式は、の行列式の代わりとして行列のパーマネントを取ることによっても得られます。より一般的には、任意のシュア多項式の式は、この行列の対応する内在を取ることによって得られます。 ${\displaystyle h_{n}}$${\displaystyle e_{n}}$${\displaystyle h_{n}}$${\displaystyle e_{n}}$

ニュートンの恒等式はそれぞれ初等代数学で簡単に確認できますが、一般にその有効性は証明が必要です。次にいくつかの導出例を示します。

を代入することでk変数 のk次ニュートン恒等式を得ることができる。

${\displaystyle \prod _{i=1}^{k}(t-x_{i})=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{k-i}e_{k-i}(x_{1},\ldots ,x_{k})t^{i}}$

以下のように表される 。tにx _jを代入すると、

${\displaystyle 0=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{k-i}e_{k-i}(x_{1},\ldots ,x_{k}){x_{j}}^{i}\quad {\text{for }}1\leq j\leq k}$

j全体を合計すると

${\displaystyle 0=(-1)^{k}ke_{k}(x_{1},\ldots ,x_{k})+\sum _{i=1}^{k}(-1)^{k-i}e_{k-i}(x_{1},\ldots ,x_{k})p_{i}(x_{1},\ldots ,x_{k}),}$

ここで、 i = 0の項は、 p ₀が（通常）定義されていない ため、合計から取り除かれています。この式は、 k変数のk番目のニュートン恒等式を直ちに与えます。これは、次数kの対称多項式（同次）の恒等式であるため、任意の数の変数に対する有効性は、k変数に対する有効性から生じます。具体的には、n  <  k変数の恒等式は、 k  −  n変数をゼロに設定することによって演繹できます。 n  >  k変数のk番目のニュートン恒等式は、 k変数の場合よりも方程式の両辺に多くの項を含みますが、単項式の係数が一致すれば、その有効性が保証されます。個々の単項式はkを超える変数を含まないため、単項式は、n  −  k個の（他の）変数のセットをゼロに置き換えても存続し、その後、係数の等式は、k 個の（適切に選択された）変数のk番目のニュートン恒等式で生じる等式になります。

_別の導出は、形式冪級数環 R [[ t ]]の計算によって得ることができる。ここで、 RはZ [ x1 ,..., xn]、つまり整数上のn変数x1 , _... , xnの多項式の環である_。

基本的な関係からもう一度始める

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}(t-x_{i})=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}a_{k}t^{n-k}}$

そして、 tに1/ tを代入して両辺にt ^nを掛けてtの負の累乗を取り除いて「多項式を逆にする」と、次の式が得られます。

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}(1-x_{i}t)=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}a_{k}t^{k}.}$

（上記の計算はR [[ t ]]の分数の体で実行する必要があります。または、左辺の積を評価するだけで恒等式を得ることができます）

辺を入れ替えてa _{i を}それらが表す基本対称多項式として表すと、次の式が得られます。

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}e_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})t^{k}=\prod _{i=1}^{n}(1-x_{i}t).}$

両辺をtに関して正式に微分し、（便宜上）tを掛けると、

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}ke_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})t^{k}&=t\sum _{i=1}^{n}\left[(-x_{i})\prod \nolimits _{j\neq i}(1-x_{j}t)\right]\\&=-\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}t}{1-x_{i}t}}\right)\prod \nolimits _{j=1}^{n}(1-x_{j}t)\\&=-\left[\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{\infty }(x_{i}t)^{j}\right]\left[\sum _{\ell =0}^{n}(-1)^{\ell }e_{\ell }(x_{1},\ldots ,x_{n})t^{\ell }\right]\\&=\left[\sum _{j=1}^{\infty }p_{j}(x_{1},\ldots ,x_{n})t^{j}\right]\left[\sum _{\ell =0}^{n}(-1)^{\ell -1}e_{\ell }(x_{1},\ldots ,x_{n})t^{\ell }\right],\\\end{aligned}}}$

ここで、右辺の多項式は、まず、和から積を因数分解できるように有理関数として書き直され、次に、加数の分数が、次の式を使用して tの級数として展開される。

${\displaystyle {\frac {X}{1-X}}=X+X^{2}+X^{3}+X^{4}+X^{5}+\cdots ,}$

そして最後に各t  ^jの係数を集めてべき乗和を求めた。（tの級数は正式なべき級数だが、t が0 に十分近い場合の級数展開と考えることもできる。実際、ここで興味があるのは関数ではなく、級数の係数だけである。）t ^kの係数を両辺で比較すると、次のようになる 。

${\displaystyle (-1)^{k}ke_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{j=1}^{k}(-1)^{k-j-1}p_{j}(x_{1},\ldots ,x_{n})e_{k-j}(x_{1},\ldots ,x_{n}),}$

これはk番目のニュートン恒等式を与えます。

基本的に (Mead, 1992) に示されている次の導出は、明確化のために対称関数の環で定式化されている(すべての恒等式は変数の数に依存しない)。あるk > 0 を固定し、 2 ≤  i  ≤  kに対する 対称関数r ( i ) を、1 つの変数のi乗にk  −  i個の異なる他の変数を乗じて得られる k次すべての異なる単項式の和として定義する(これは単項式対称関数m _γであり、γ はフック形状 ( i ,1,1,...,1) である)。特にr ( k ) =  p _kである。r (1)の場合、記述はe _kの記述に等しいが、この場合は除外されている。なぜなら、ここでは単項式に区別される変数がもはや存在しないからである。すべての積p _i e _{k − i は}r ( j )で表すことができるが、最初と最後の場合はやや特殊である。

${\displaystyle p_{i}e_{k-i}=r(i)+r(i+1)\quad {\text{for }}1<i<k}$

なぜなら、異なる変数を含む左辺の各項の積はr ( i )に寄与し、一方、p _iの変数がe _{k − i}の項の変数の中に既に含まれていればr ( i + 1 )に寄与し 、右辺のすべての項はちょうど1回だけ得られるからである。i  =  kの場合、 e ₀ = 1を掛けると 、次の式が得られる 。

${\displaystyle p_{k}e_{0}=p_{k}=r(k).}$

最後に、 i  = 1のときの積p ₁ e _{k −1は、他の}i  <  kの値の場合と同様にr ( i  + 1) =  r (2) に寄​​与しますが、残りの寄与はe _kの各単項式のk倍になります。これは、変数のいずれかが因子p ₁から来る可能性があるためです。

${\displaystyle p_{1}e_{k-1}=ke_{k}+r(2).}$

これらの方程式を交互に和をとることで、 k番目のニュートン恒等式が得られます。このとき、 r ( i )形式の項はすべて打ち消されます。

ニュートンの等式の組み合わせ論的証明は（ Zeilberger, 1984） ^{[5]に示されている。}

• べき乗和対称多項式
• 基本的な対称多項式
• ニュートンの不等式
• 対称関数
• 流体解、ニュートンの恒等式を完全流体の場合のアインシュタインテンソルの特性多項式の計算に適用した記事、および一般相対性理論における他の種類の正確な解に関する同様の記事。

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• MathWorld のニュートン-ジラール公式
• 数学雑誌におけるニュートンの等式に関する行列証明
• 実根の数への応用
• ニュートンの等式の組み合わせ的証明 (Doron Zeilberger 著)