内在する

数学において、行列の内在性は、ダドリー・E・リトルウッドとアーチボルド・リード・リチャードソンによって、行列式と永久の概念の一般化として定義されました。

を整数の分割とし、を対称群の対応する既約表現論的指標と する。指標に関連付けられた行列の内在は、式${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots )}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \chi _{\lambda }}$ ${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A=(a_{ij})}$${\displaystyle \chi _{\lambda }}$

${\displaystyle \operatorname {Imm} _{\lambda }(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\chi _{\lambda }(\sigma )a_{1\sigma (1)}a_{2\sigma (2)}\cdots a_{n\sigma (n)}=\sum _{\sigma \in S_{n}}\chi _{\lambda }(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i\sigma (i)}.}$

行列式は内在式の特殊なケースであり、 はS _nの交代特性であり、順列の偶奇によって定義されます。 ${\displaystyle \chi _{\lambda }}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$

永続的とは、 が自明な文字であり、1 と等しく等しい 場合です。${\displaystyle \chi _{\lambda }}$

たとえば、行列の場合、文字表に示すように 、 の既約表現は 3 つあります。${\displaystyle 3\times 3}$${\displaystyle S_{3}}$

上で述べたように、はパーマネントを生成し、行列式を生成しますが、次のようにマップする演算を生成します。 ${\displaystyle \chi_{1}}$${\displaystyle \chi _{2}}$${\displaystyle \chi_{3}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}\rightsquigarrow 2a_{11}a_{22}a_{33}-a_{12}a_{23}a_{31}-a_{13}a_{21}a_{32}}$

内在は、行列式や永久といくつかの特性を共有しています。特に、内在は行列の行と列において多重線型であり、対称群の同じ要素による行または列の同時置換に対して不変です。

リトルウッドとリチャードソンは、対称群の表現論における内在関数とシュア関数の関係を研究した。

グラム行列の内在がとなるための必要十分条件は、ガマスの定理によって与えられます。 ${\displaystyle 0}$

• DE リトルウッド、AR リチャードソン (1934)。「群の指標と代数」。王立協会哲学論文集 A 。233 ( 721–730 ) : 99–124。Bibcode : 1934RSPTA.233 ... 99L。doi :10.1098/rsta.1934.0015。
• DE Littlewood (1950)。群の指標と群の行列表現の理論（第2版）。オックスフォード大学出版局（AMSにより2006年に再版）。p. 81。