ニュートンのゆりかご

ニュートンのゆりかごは、通常金属製の装置で、揺れる球を使って物理学における運動量保存則とエネルギー保存則の原理を示す。端にある球の 1 つが持ち上げられて放されると、静止している球に衝突して圧縮され、静止している球を通して圧力波が伝わり、最後の球を押し上げる力が生じる。最後の球は戻って静止している球に衝突し、反対方向に効果を繰り返す。この装置は 17 世紀のイギリスの科学者サー アイザック ニュートンにちなんで名付けられ、フランスの科学者エドム マリオットによって設計された。ニュートンの振り子、ニュートンのボール、ニュートンのロッカー、またはエグゼクティブ ボール クリッカー(一定のリズムでボールが衝突するたびにクリック音が鳴るため)とも呼ばれる。 ^{[1] [2]}

端のボールの 1 つ (「最初のボール」) を横に引っ張ると、取り付けられた紐によってボールは上向きの弧を描きます。ボールを放すと、2 番目のボールにぶつかり、ほぼ停止します。反対側のボールは最初のボールの速度のほとんどを獲得し、最初のボールがリリースされた高さとほぼ同じ高さの弧を描いてスイングします。これは、最後のボールが最初のボールのエネルギーと運動量のほとんどを受け取ることを示しています。衝撃によって音波が発生し、中間のボールに伝わります。鋼鉄などの効率的に弾性のある材料は、運動エネルギーが熱として失われるのではなく、材料の圧縮時に位置エネルギーとして一時的に蓄えられる限り、これを行います。これは、接触しているコインの列の 1 枚のコインを別のコインで叩いて跳ね返すのに似ており、最初に叩かれたコインが中心を押して動かないように拘束されている場合でも発生します。^{[引用が必要]}

最初の衝突後、すべてのボールにわずかな動きがありますが、最後のボールは最初のボールの衝撃から最初のエネルギーのほとんどを受け取ります。2つ（または3つ）のボールを落とすと、反対側の2つ（または3つ）のボールがスイングアウトします。この動作は弾性衝突における運動量と運動エネルギーの保存を示すと言う人もいます。しかし、衝突するボールが衝突の前後で同じ質量で同じ速度を持ち、上記のように動作する場合、質量と速度の関数はそのようなイベントで保存されます。^[3]したがって、この第1レベルの説明は正しいですが、動きを完全に説明しているわけではありません。

ニュートンのゆりかごは、ボールが常にペアで衝突するという仮定のもと、簡単な数式でかなり正確にモデル化できます。1 つのボールが、すでに接触している 4 つの静止ボールに衝突した場合、これらの簡単な数式では、摩擦損失によるものではない 5 つのボールすべての結果的な動きを説明できません。たとえば、実際のニュートンのゆりかごでは、4 番目のボールがいくらか動き、最初のボールはわずかに逆方向に動きます。この記事のすべてのアニメーションは、ボールが最初は接触しておらず、ペアでのみ衝突する場合にのみ発生する理想的なアクション (簡単なソリューション) を示しています。

運動量保存則（質量×速度）と運動エネルギー保存則（¹ / ₂ ×質量×速度²）は、衝突する2つの完全に弾性のある物体の速度を求めるのに使用できます。これら2つの方程式は、2つの物体の速度を求めるのに使用されます。クレードル内の紐によって直線経路に制限されている2つのボールの場合、速度は3D空間の3Dベクトルではなく単一の数値であるため、2つの未知数を解くのに方程式が2つだけ必要です。2つの物体の質量が同じ場合、解は簡単です。動いている物体は静止している物体に対して停止し、静止している物体はもう一方の物体の初期速度をすべて引き継ぎます。これは完全に弾性のある物体を前提としているため、熱や音のエネルギー損失を考慮する必要はありません。

鋼鉄は圧縮力はそれほど大きくありませんが、弾性が非常に効率的であるため、廃熱をあまり発生しません。直線経路に拘束された 2 つの同じ質量の効率的に弾性のある物体が衝突することによる単純な効果は、クレードルで見られる効果の基礎であり、そのすべての動作に対する近似解を提供します。

直線経路に拘束された同じ質量の弾性物体のシーケンスの場合、効果は各後続の物体に継続します。たとえば、2 つのボールを落としてクレードル内の 3 つの静止したボールに当てると、落とされた 2 つのボールの間には気づかれないが決定的な小さな距離があり、動作は次のようになります。最初の静止したボールに当たる最初の動いているボール (3 番目のボールに当たる 2 番目のボール) は、そのすべての運動量を 3 番目のボールに渡して停止します。次に、3 番目のボールは運動量を 4 番目のボールに渡して停止し、次に 4 番目のボールが 5 番目のボールに渡って停止します。

このシーケンスのすぐ後ろで、2 番目の動いているボールが、ちょうど停止した最初の動いているボールにその運動量を伝達しています。このシーケンスは、最初のシーケンスの後ろですぐに、そして気付かないうちに繰り返され、最初の 2 つのボールの間にあったのと同じ小さな間隔で、5 番目のボールのすぐ後ろに 4 番目のボールが発射されます。3 番目のボールに当たるときに単に接触している場合、精度を上げるには、以下のより完全なソリューションが必要です。

最後のボールが最初のボールとほぼ同じ速度で発射される効果は、コインをテーブルの上で滑らせて同じコインの列に並べるときに見ることができます。ただし、当たるコインとその 2 つのターゲットが一直線上にある必要があります。この効果は、ビリヤードのボールでも同様に見ることができます。この効果は、鋭く強い圧力波が、より密度の低い媒体に浸漬された高密度の均質な材料に当たったときにも見られます。高密度の均質な材料の同一の原子、分子、または大規模なサブボリュームが、静電力によって少なくとも部分的に互いに弾性的に接続されている場合、それらは衝突する同一の弾性ボールの列として機能することができます。

圧力波を受ける周囲の原子、分子、またはサブボリュームは、ひもがクレードルのボールを直線に拘束するのと同様に、互いに拘束するように作用します。医療の例として、結石破砕術の衝撃波は、腎臓結石を破裂させるために、皮膚や組織を傷つけることなく送ることができます。結石は、最初に衝撃を受けた側ではなく、圧力波が入射する側と反対側が破裂します。インドのゲーム、キャロムでは、打者は固定された駒を打った後に停止し、その運動量をすべて打たれた駒に移します。

動作を正確に予測する簡単な解決策としては、衝突中のどのペアも 3 番目のボールに触れないようにすることです。3 番目のボールが存在すると、衝突したボールの質量が大きくなるからです。2 つの保存方程式を適用して、1 回の衝突で 3 つ以上のボールが最終的に受ける速度を解くと、多くの可能な解が得られるため、この 2 つの原理だけでは結果の動作を決定するのに十分ではありません。

初期分離が小さい場合でも、初期分離が十分に大きくない場合は、3 番目のボールが衝突に巻き込まれる可能性があります。このような場合は、以下に説明する完全解決方法を使用する必要があります。

小さな鋼球は、強い衝撃を受けても熱損失がほとんどなく、効率的に弾性を保ち、あまり圧縮されないため（小さなニュートンのゆりかごで最大約 30 μm）、うまく機能します。小さくて硬い圧縮は、200 マイクロ秒未満で急速に発生するため、鋼球は近くの 3 番目のボールに触れる前に衝突を完了する可能性が高くなります。より柔らかい弾性ボールの場合、ペアワイズ衝突の効果を最大化するために、より大きな間隔が必要です。

単純な解決法に最もよく従うクレードルは、ボール同士の初期分離が、1 つのボールが圧縮する量の少なくとも 2 倍以上である必要がありますが、ほとんどのクレードルではそうではありません。このセクションでは、初期分離が十分でない場合、および初期分離があっても 2 つ以上のボールが関与する後続の衝突の場合の動作について説明します。衝突中に 2 つのボールだけが接触する場合、この解決法は単純な解決法に簡略化されます。これは、摩擦によるエネルギー損失がなく、鋼、ガラス、プラスチック、ゴムなどの材料で近似できる、完全に弾性のある同一のボールすべてに適用されます。

2 つのボールが衝突する場合、結果として生じる 2 つの未知の速度を解くには、運動量とエネルギーの保存に関する 2 つの方程式のみが必要です。3 つ以上の弾性ボールが同時に衝突する場合、衝突面の相対的な圧縮率は、結果を決定する追加の変数です。たとえば、5 つのボールには 4 つの衝突点があり、そのうちの 3 つを 4 番目の点でスケーリング (除算) すると、衝突後の 5 つの速度すべてを解くために必要な 3 つの追加変数が得られます。

ニュートン力学、ラグランジアン、ハミルトン力学、定常作用は、古典力学を数学的に表現するさまざまな方法です。これらは同じ物理現象を記述しますが、異なる方法で解く必要があります。すべてエネルギーと運動量の保存則を強制します。研究論文ではニュートンの法則が使用されています。この法則を各ボールに適用し、力の合計をゼロにします。したがって、各ボールに 1 つずつ、合計 5 つの方程式があり、各速度に 1 つずつ、5 つの未知数があります。ボールが同一であれば、表面の絶対的な圧縮率は無関係になります。これは、5 つの方程式の両辺から圧縮率を割り出すことができ、ゼロになるためです。

1 つのボールが 4 つの最初に接触したボールに衝突する場合の速度^{[4] [5] [6]}を決定するには、ボールを衝突面に非伝統的なバネを備えた重りとしてモデル化します。鋼鉄など、効率的に弾性のあるほとんどの材料は、バネに関するフックの力の法則に近似しますが、力が増加するにつれて球の接触面積が増加するため、衝突する弾性ボールはフックの法則に対するヘルツの調整 に従います。これとニュートンの運動の法則 ( ) を各ボールに適用すると、数値的に解くことができる 5 つの単純だが相互に依存する微分方程式が得られます。 ${\displaystyle F=k\cdot x}$${\displaystyle F=k\cdot x^{1.5}}$${\displaystyle F=m\cdot a}$

5 番目のボールが加速し始めると、圧縮された表面のバネ作用を通じて、3 番目と 4 番目のボールから運動量とエネルギーを受け取ります。最初に接触するボールを持つあらゆる種類の同一の弾性ボールの場合、衝突が完了するまでの時間が柔らかい材料では長くなることを除けば、最初の衝突では動作は同じです。単一のボールの衝突からの最初のボールの運動エネルギーの 40 ～ 50 % は、衝突プロセスのほとんどの間、位置エネルギーとしてボール表面に蓄えられます。初期速度のうち、13 % が 4 番目のボールに与えられ (5 番目のボールが 25 度外側に移動する場合、3.3 度の動きとして見ることができます)、最初の 3 つのボールにはわずかに逆速度があり、最初のボールは初期速度の -7 % で最大になります。これによりボールが離れますが、5 番目のボールが戻る直前にボールは元に戻ります。これは、さまざまな小さな角度の乱れが中心に戻るのにほぼ同じ時間がかかるという振り子現象によるものです。

ヘルツの微分方程式によれば、2 つのボールが 3 つのボールに衝突した場合、5 番目と 4 番目のボールはそれぞれ最初の速度の 1.14 倍と 0.80 倍の速度で衝突する。^[7]これは、5 番目のボールの運動エネルギーが 4 番目のボールの 2.03 倍であることを意味し、つまり、5 番目のボールは 4 番目のボールの 2 倍の高さまで垂直方向に振れることになる。しかし、実際のニュートンのゆりかごでは、4 番目のボールは 5 番目のボールと同じ距離まで振れる。理論と実験の違いを説明すると、衝突する 2 つのボールは少なくとも ≈ 10 μm 離れている必要がある (鋼鉄、100 g、1 m/s の場合)。これは、一般的な鋼鉄ボールの場合、気付かない距離が重要になる可能性があり、ヘルツの微分方程式に含める必要があることを示している。そうしないと、単純な解でより正確な結果が得られる。

上記のヘルツの解法では、力がボール内で即座に伝播すると想定されていましたが、実際はそうではありません。物質の原子間の力の突然の変化が蓄積して圧力波を形成します。鋼鉄内の圧力波 (音) は 10 マイクロ秒で約 5 cm 伝わりますが、これは最初のボールが当たってから最後のボールが発射されるまでの時間よりも約 10 倍速いです。圧力波は 5 つのボールすべてを約 10 回反射しますが、反射が増えるにつれて波面が小さく分散します。これはヘルツの解法にとって十分に速いため、ボールを介した力の伝播の遅延を調整するために大幅な修正を行う必要はありません。ゴムなどの剛性は低いが非常に弾力性のあるボールでは、伝播速度は遅くなりますが、衝突の持続時間は長くなるため、ヘルツの解法が依然として適用されます。力の伝播速度が制限されることで生じる誤差により、ヘルツ解は単純な解に偏ります。これは、衝突は遠くにあるボールの慣性によってそれほど影響を受けないためです。

同じ形のボールは、圧力波が最後のボールとの接触点に集中するのに役立ちます。最初の衝突点で、1 つの圧力波が他のボールに向かって前進し、別の圧力波が後進して最初のボールの反対側で反射します。その後、最初の波をたどり、ボール 1 個分の直径だけ後ろに進みます。2 つの波が最後の接触点で出会うのは、最初の波が最後のボールの反対側で反射し、最後の接触点で 2 番目の波と出会うためです。次に、最初のボールが 2 番目のボールと接触しなくなるまで、2 つの波はこのように 10 回ほど前後に反響します。次に、反響は 2 番目と 3 番目のボールの接触点で反射しますが、最後のボールが発射されるまで、最後の接触点で依然として収束します。ただし、反射するたびに波面は小さくなります。

異なるタイプの材料を使用しても、材料が効率的に弾性である限り、動作は変わりません。球体のサイズは、増加した重量が材料の弾性限界を超えない限り、結果を変えません。固体球が大きすぎると、弾性限界は半径の 1.5 乗に伴って増加するため、エネルギーは熱として失われますが、吸収および放出されるエネルギーは半径の 3 乗に伴って増加します。接触面を平らにすると、圧縮が大量の材料に分散されるため、この問題をある程度克服できますが、位置合わせの問題が発生する可能性があります。鋼鉄は、最初の衝突後の衝突で単純な解決策をより頻繁に適用できるため、ほとんどの材料よりも優れており、重量によってエネルギーが高くなるにもかかわらず、エネルギーを貯蔵するための弾性範囲は良好であり、重量が重いため空気抵抗の影響が減少するからです。

最も一般的な用途は、デスクトップのエグゼクティブ トイです。別の用途としては、運動量保存則とエネルギー保存則の例として、教育用物理学のデモンストレーションとして使用されます。

この装置で実証された原理、すなわち物体間の衝突の法則は、17世紀にフランスの物理学者 アベ・マリオットによって初めて実証された。 ^{[1] [8]このテーマに関する彼の研究は、1671年に}フランス科学アカデミーで初めて発表され、1673年に「物体の打撃または衝撃に関する論文」として出版された。^[9]

ニュートンは著書『プリンキピア』の中で、マリオットの研究を、レン、ウォリス、ホイヘンスとともに振り子球の衝突実験の先駆者として認めている。

クリスティアーン・ホイヘンスは、衝突を研究するために振り子を使用しました。彼の死後 1703 年に出版された著書「衝突による物体の運動について」には、ニュートンの第 1 法則のバージョンが含まれており、等質量の 2 つの物体を含む吊り下げられた物体の衝突について、動いている物体の運動が静止している物体に伝わるという説明がなされています。

現代のニュートンのゆりかごの起源については多くの混乱がある。マリウス・J・モーリンが、この人気の役員用玩具に初めて名前を付けて作った人物とされている。^{[引用が必要]}しかし、1967年初頭、イギリスの俳優サイモン・プレブルが、彼の会社であるサイエンティフィック・デモンストレーションズ社が製造した木製バージョンに「ニュートンのゆりかご」（現在では一般的な意味で使用されている）という名前をつけた。 ^[10]小売業者から当初は抵抗があったものの、ロンドンのハロッズが最初に販売し、役員用玩具の永続的な市場の始まりとなった。^{[引用が必要]その後、カーナビー・ストリートのギア店のために、彫刻家で後に映画監督となる}リチャード・ロンクレインが、非常に成功したクロームデザインを制作した。^{[引用が必要]}

世界最大のクレードル装置は、MythBustersによって設計され、鉄筋で満たされた 1 トンのコンクリート製ブイ 5 個を鋼鉄製トラスから吊り下げて構成されていました。^[要出典]また、ブイの 2 つの半分の間には、エネルギーを伝達するための「接触点」として機能する鋼板が挿入されていました。コンクリートは弾性がないため、このクレードル装置はうまく機能せず、エネルギーのほとんどがコンクリートの熱蓄積によって失われました。彼らが構築した小規模バージョンは、15 センチメートル (6 インチ) のクロム鋼製ボール ベアリング 5 個で構成され、各重量は 15 キログラム (33 ポンド) で、デスクトップ モデルとほぼ同等の効率です。

公開展示された最も直径の大きい衝突ボールを備えたクレードル装置は、ウィスコンシン州ミルウォーキーの小売店アメリカンサイエンスアンドサープラスで 1 年以上にわたって目にすることができた(写真参照)。各ボールは直径 66 cm (26 インチ) の膨らませるエクササイズボール (スチールリングで覆われている) で、非常に強力な磁石を使用して天井から支えられていた。メンテナンス上の懸念から、2010 年 8 月初旬に解体された。^[要出典]

ニュートンのゆりかごは、いくつかの映画に登場し、主に悪役の机の上の比喩として使われた。例えば、映画「ハドサッカー・プロキシー」のポール・ニューマン役や、 「X-メン」のマグニートー役、「スーパーマン2」のクリプトン人役などである。また、「コンカッション」では、頭部外傷に対するNFLの強硬姿勢を表すために使われた。 ^{[11]また、「}ナイト・シフト」のヘンリー・ウィンクラー役、「わらの犬」のダスティン・ホフマン役、映画「アイアンマン2」のグウィネス・パルトロウ役など、知性があり不安感や感受性が強い主人公の机の上で、リラックスできる気晴らしとして使われた。 「ローゼンクランツとギルデンスターンは死んだ」では粘土の壺の列として、また「ゲーマー」では肌を露出した女性が座る1968年製のエーロ・アールニオ製バブルチェアの列として、より目立つ形で登場した。^[12]コウノトリの中で、コーナーストアのCEOハンターはボールではなく小鳥のついたゆりかごを持っている。ニュートンのゆりかごは任天堂のどうぶつの森のアイテムであり、そこでは「エグゼクティブ・トイ」と呼ばれている。^{[13] 2017年、}オムニバスポッドキャストのエピソードでは、ジェパディ！チャンピオンのケン・ジェニングスとミュージシャンのジョン・ロデリックが出演し、ニュートンのゆりかごの歴史に焦点を当てた。^{[14]ニュートンのゆりかごは、}ザ・ホワイトハウスの副広報部長サム・シーボーンの机の上にも登場している。フューチュラマのエピソード「地球が愚かになった日」では、ヒューバート・ファーンズワース教授がニュートンのゆりかごに頭を突っ込み、フィリップ・J・フライが通り過ぎると自分は天才だと言っているところが描かれている。

プログレッシブ ロック バンドのドリーム シアターは、 2005 年にリリースされたアルバム『オクタヴァリウム』のアートワークでゆりかごをイメージとして使用しています。ロック バンドのジェファーソン エアプレインは、1968 年のアルバム『クラウン オブ クリエイション』で、インストゥルメンタル トラックでポリリズムを作成するためのリズム デバイスとしてゆりかごを使用しました。 ^{[引用が必要]}

• ガリレオ砲
• 振り子波– 振り子が衝突することなく平行に揺れる別のデモンストレーション

ウィキメディア・コモンズには、ニュートンのゆりかごに関連するメディアがあります。

• シマネク、ドナルド (2020) [2001]. 「ニュートンのゆりかご」.ロックヘブン大学. 2004年10月9日時点のオリジナルよりアーカイブ。
• 単調に増加する長さの非連結単純振り子 (2010 年 6 月 9 日)。YouTube のハーバード自然科学講義のデモンストレーション