曲線の円錐

数学において、代数多様体の曲線の円錐（クライマン・モリ円錐と呼ばれることもある）は、双有理幾何学にとって重要な組合せ不変量である。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

を真多様体とします。定義により、上の(実) 1-サイクルは、係数 を持つ既約曲線、既約曲線、および真曲線の形式的な線形結合です。1-サイクルの数値的同値性は、交差によって定義されます。つまり、上の任意のカルティエ因子に対して2 つの 1-サイクルと が数値的に同値であるとき、そのようになります。数値的同値性を法とする 1-サイクルの実ベクトル空間を で表します。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C=\sum a_{i}C_{i}}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {R} }$${\displaystyle C}$${\displaystyle C'}$${\displaystyle C\cdot D=C'\cdot D}$ ${\displaystyle D}$${\displaystyle X}$${\displaystyle N_{1}(X)}$

の曲線の円錐を次のように 定義する。${\displaystyle X}$

${\displaystyle NE(X)=\left\{\sum a_{i}[C_{i}],\ 0\leq a_{i}\in \mathbb {R} \right\}}$

ここで、 は上の既約で被約な真曲線であり、におけるそれらの類である。 が凸幾何学の意味で 凸円錐であることは容易にわかる。${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle [C_{i}]}$${\displaystyle N_{1}(X)}$${\displaystyle NE(X)}$

曲線の円錐の概念の便利な応用例の 1 つに、クライマン条件があります。これは、 の任意の非ゼロ元に対して、通常の実位相における曲線の円錐の閉包が成り立つ場合、かつその場合に限り、完備多様体上の(カルティエ) 因子が十分であることを意味しています。(一般に、は閉じている必要はないため、ここで閉包を取ることが重要です。) ${\displaystyle D}$${\displaystyle X}$${\displaystyle D\cdot x>0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\overline {NE(X)}}}$${\displaystyle NE(X)}$

より複雑な例は、代数多様体の極小モデルの理論において曲線の円錐が果たす役割です。簡単に言えば、その理論の目標は次のとおりです。（軽度特異な）射影多様体 が与えられたとき、に対して双有理的で、その標準因子がnef である（軽度特異な）多様体を見つけます。1980 年代初頭の大きな進歩（森らによる）は、 からへの必要な双有理写像を（少なくとも道徳的には）一連のステップとして構築したことでした。各ステップは、の -負の極限線の縮約として考えることができます。ただし、このプロセスは困難に直面し、その解決には反転の導入が必要になります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K_{X'}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle K_{X}}$${\displaystyle NE(X)}$

上記の縮約のプロセスは、円錐定理として知られる曲線の円錐の構造に関する基本的な結果なしには進めません。滑らかな多様体に対するこの定理の最初のバージョンは、森によるものです。その後、川又、コラー、リード、ショクロフ、その他によって、より大きなクラスの多様体に対して一般化されました。森のバージョンの定理は次のとおりです。

円錐定理。 を滑らかな射影多様体とする。すると、 ${\displaystyle X}$

1.を満たす有理曲線は上に可算個 存在し、 ${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle 0<-K_{X}\cdot C_{i}\leq \operatorname {dim} X+1}$

${\displaystyle {\overline {NE(X)}}={\overline {NE(X)}}_{K_{X}\geq 0}+\sum _{i}\mathbf {R} _{\geq 0}[C_{i}].}$

2. 任意の正の実数と任意の十分な約数に対して、 ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle {\overline {NE(X)}}={\overline {NE(X)}}_{K_{X}+\epsilon H\geq 0}+\sum \mathbf {R} _{\geq 0}[C_{i}],}$

ここで最後の項の合計は有限です。

最初の主張は、との交差が非負であるの閉半空間では何も分からないが、相補半空間では、円錐は、非常に特殊な曲線の可算な集合によって張られる、というものです。これらの曲線は有理数であり、それらの「次数」は の次元によって非常に厳密に制限されます。2 番目の主張は、さらに次のことを語っています。超平面 から離れると、円錐の極限線は累積できないということです。 がファノ多様体である場合、 は十分であるためです。したがって、円錐定理は、ファノ多様体の曲線の円錐が有理曲線によって生成されることを示しています。 ${\displaystyle N_{1}(X)}$${\displaystyle K_{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \{C:K_{X}\cdot C=0\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\overline {NE(X)}}_{K_{X}\geq 0}=0}$${\displaystyle -K_{X}}$

さらに、多様体が特性 0 の体上で定義されている場合、次の主張が得られます。これは収縮定理と呼ばれることもあります。 ${\displaystyle X}$

3.が負である曲線の円錐の極値面とします。すると、射影多様体Zへの唯一の射が存在し、 となり、の既約曲線がによって点に写像されるための必要条件は となります。(縮約射も参照してください)。 ${\displaystyle F\subset {\overline {NE(X)}}}$${\displaystyle K_{X}}$ ${\displaystyle \operatorname {cont} _{F}:X\rightarrow Z}$${\displaystyle (\operatorname {cont} _{F})_{*}{\mathcal {O}}_{X}={\mathcal {O}}_{Z}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {cont} _{F}}$${\displaystyle [C]\in F}$

• ラザースフェルド、R.、代数幾何学における正値性 I 、Springer - Verlag、2004年。ISBN 3-540-22533-1 
• Kollár, J. および Mori, S.,代数多様体の双有理幾何学、ケンブリッジ大学出版局、1998 年。ISBN 0-521-63277-3