ヒルベルトの第19の問題

ヒルベルトの第 19 問題は、 1900 年にデイヴィッド・ヒルベルトがまとめたリストに記載されている23 のヒルベルト問題のうちの 1 つです。 ^{[1]この問題は、}変分法における正則問題の解は常に解析的であるかどうかを問うものです。^[2]非公式には、またおそらく直接的には、ヒルベルトの「正則変分問題」という概念は、オイラー-ラグランジュ方程式が解析係数を持つ楕円型偏微分方程式である変分問題を正確に特定しているため、^[3]ヒルベルトの第 19 問題は、一見技術的な記述であるにもかかわらず、このクラスの偏微分方程式において、任意の解が、それが満たす方程式から、解析関数であるという比較的単純でよく理解されている特性を継承するかどうかを単に問うものです。ヒルベルトの第 19 問題は、1950 年代後半にエンニオ・デ・ジョルジとジョン・フォーブス・ナッシュ・ジュニアによって独立に解決されました。

Eine der begrifflich merkwürdigsten Thatsachen in den Elementen der Theorie der Analytischen Funktionen erblicke ich darin, daß es Partielle Differentialgleichungen giebt, deren Integrale sämtlich notwendig Analytische Funktionen der unabhängigen Variabeln sind, die also, kurz t、分析者 Lösungen fähig sind です。^[4]

— デイヴィッド・ヒルベルト（ヒルベルト 1900、288 ページ）。

デイヴィト・ヒルベルトは、第2回国際数学者会議での講演で、現在では彼の第19の問題と呼ばれている問題を提示した。^[5] (Hilbert 1900, p. 288) で彼は、解析関数の理論における最も注目すべき事実の1つは、解析関数のみを解として許容する偏微分方程式のクラスが存在することであると述べ、その例としてラプラス方程式、リウヴィル方程式、^[6]極小曲面方程式、エミール・ピカールが研究した線型偏微分方程式のクラスを挙げている。^[7]そして、この性質を共有する偏微分方程式のほとんどが、次の3つの性質を満たす、明確に定義された種類の変分問題のオイラー・ラグランジュ方程式であると指摘している。^[8]

（１）     、${\displaystyle {\iint F(p,q,z;x,y)dxdy}={\text{最小値}}\qquad \left[{\frac {\partial z}{\partial x}}=p\quad ;\quad {\frac {\partial z}{\partial y}}=q\right]}$

（２）     、${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}F}{\partial ^{2}p}}\cdot {\frac {\partial ^{2}F}{\partial ^{2}q}}-\left({\frac {\partial ^{2}F}{{\partial p}{\partial q}}}\right)^{2}>0}$

（３）      Fはすべての引数p、q、z、x、yの解析関数である。

ヒルベルトはこれを「正則変分問題」と呼んでいる。^[9]性質(1)は、これらが最小問題であることを意味する。性質(2) は、与えられた関数に関連付けられたオイラー・ラグランジュ方程式の楕円条件であり、性質(3)は関数Fに関する単純な正則性仮定である。^[10]検討対象の問題のクラスを特定した上で、彼は次のような疑問を提起している。「... 正則変分問題のラグランジュ偏微分方程式はすべて、解析積分のみを許容する性質を持っているか？」^{[11]彼はさらに、関数 が境界値を連続的だが解析的ではないと仮定する必要がある場合でも、これが当てはまるかどうかを尋ねている。これは、}ポテンシャル関数のディリクレ問題の場合に起こることである。^[8]

ヒルベルトは、第19の問題を、解析係数を持つ楕円偏微分方程式のクラスの正則性の問題として提起した。 ^{[8]そのため、}この問題を解決しようとした研究者の最初の努力は、このクラスに属する方程式の古典的な解の正則性を研究することに向けられた。C 3 解については、  ヒルベルトの問題は、セルゲイ・ベルンシュタイン (1904) の論文で肯定的に回答された。彼は、2 変数の非線形楕円解析方程式のC 3  解が解析的であることを示した。ベルンシュタインの結果は、ペトロウスキー (1939) など、数人の著者によって長年にわたって改良され、ペトロウスキーは、解が解析的であることを証明するために必要な微分可能性の要件を軽減した。一方、変分法の直接法は、非常に弱い微分可能性特性を持つ解の存在を示した。長年、これらの結果の間にはギャップがあった。構築できる解は2乗積分可能な2次導関数を持つことがわかっていたが、これが解析的であることを証明する仕組みに組み込むには十分ではなく、1次導関数の連続性が必要だった。このギャップは、エンニオ・デ・ジョルジ (1956、1957) とジョン・フォーブス・ナッシュ (1957、1958) によって独立に埋められ、彼らは解がヘルダー連続である1次導関数を持つことを示すことができた。以前の結果から、これは微分方程式が解析係数を持つときはいつでも解が解析的であることを意味し、こうしてヒルベルトの第19問題の解が完成した。その後、ユルゲン・モーザーは、エンニオ・デ・ジョルジ (1956、1957) とジョン・フォーブス・ナッシュ (1957、1958) によって得られた結果の別の証明を与えた。

エンニオ・デ・ジョルジとジョン・フォーブス・ナッシュがヒルベルトの第19問題に肯定的な答えを与えたことで、より一般的な関数のオイラー・ラグランジュ方程式にも同じ結論が成り立つかどうかという疑問が生じました。1960年代の終わりに、マズヤ(1968) ^[12]、デ・ジョルジ(1968)、ジュスティとミランダ(1968)はそれぞれ独立にいくつかの反例を構築し、^[13]一般にさらなる仮説を加えずにそのような正則性の結果を証明できる見込みはないことを示しました。

正確には、マズヤ（1968）は、解析係数を持つ2以上の次数の単一の楕円方程式を含むいくつかの反例を示した。^[14]専門家にとって、そのような方程式が非解析的解、さらには非滑らかな解を持つ可能性があるという事実はセンセーションを巻き起こした。^[15]

De Giorgi (1968) と Giusti & Miranda (1968) は、解がスカラー値ではなくベクトル値である場合、解析的である必要がないことを示す反例を示した。De Giorgi の例は有界係数を持つ楕円システムで構成され、Giusti と Miranda の例は解析的係数を持つ。^[16]その後、Nečas (1977) は、ベクトル値問題に対するより洗練された他の例を示した。^[17]

デ・ジョルジによって証明された重要な定理は、uが次の形式の適切な線形2次厳密楕円偏微分方程式の解である 場合、

${\displaystyle D_{i}(a^{ij}(x)\,D_{j}u)=0}$

かつ、2乗積分可能な1次導関数を持つ場合、ヘルダー連続である。 ${\displaystyle u}$${\displaystyle u}$

ヒルベルトの問題は、次のようなエネルギー関数の 最小化が${\displaystyle w}$

${\displaystyle \int _{U}L(Dw)\,\mathrm {d} x}$

は解析的です。ここではR ⁿのコンパクト集合上の関数、はその勾配ベクトル、はラグランジアン、つまり特定の成長条件、滑らかさ条件、凸性条件を満たすの導関数です。 の滑らかさは、次のように De Giorgi の定理を使用して示されます。この変分問題に対するオイラー・ラグランジュ方程式は、非線形方程式です。 ${\displaystyle w}$${\displaystyle U}$${\displaystyle Dw}$${\displaystyle L}$${\displaystyle w}$${\displaystyle w}$

${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}(L_{p_{i}}(Dw))_{x_{i}}=0}$

これを微分する と${\displaystyle x_{k}}$

${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}(L_{p_{i}p_{j}}(Dw)w_{x_{j}x_{k}})_{x_{i}}=0}$

これは、線形方程式を満たす ことを意味する。${\displaystyle u=w_{x_{k}}}$

${\displaystyle D_{i}(a^{ij}(x)D_{j}u)=0}$

と

${\displaystyle a^{ij}=L_{p_{i}p_{j}}(Dw)}$

したがって、De Giorgi の結果によれば、行列が有界であれば、解w はHölder 連続な 1 次導関数を持ちます。 そうでない場合は、さらに次のステップが必要です。つまり、解がLipschitz 連続であること、つまり勾配が関数であることを証明する必要があります。 ${\displaystyle L_{p_{i}p_{j}}}$${\displaystyle w}$${\displaystyle Dw}$${\displaystyle L^{\infty }}$

w がn ≥ 1に対して( n +1) 次ヘルダー連続導関数を持つことがわかれば、係数a ^ijはn次ヘルダー連続導関数を持つことになり、Schauder の定理により ( n +2) 次導関数もヘルダー連続であることが示され、これを無限に繰り返すと解wが滑らかであることがしばしば示されます。

ジョン・ナッシュは放物線方程式の解の連続性推定を与えた。

${\displaystyle D_{i}(a^{ij}(x)D_{j}u)=D_{t}(u)}$

ここでuはt ≥ 0で定義されるx ₁ ,..., x _n , tの有界関数である。ナッシュは彼の推定から楕円方程式の解の連続性推定を導き出すことができた。

${\displaystyle D_{i}(a^{ij}(x)D_{j}u)=0}$u がtに依存しない特殊なケースを考慮することによって。

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