Michaelis–Menten kinetics

In biochemistry, Michaelis–Menten kinetics, named after Leonor Michaelis and Maud Menten, is the simplest case of enzyme kinetics, applied to enzyme-catalysed reactions involving the transformation of one substrate into one product. In 1913, Michaelis and Menten expanded on Victor Henri's fundamental equation of enzyme kinetics, which was established in 1902.^[1][2] It takes the form of a differential equation describing the reaction rate${\displaystyle v}$ (rate of formation of product P, with concentration ${\displaystyle p}$) as a function of ${\displaystyle a}$, the concentration of the substrate A (using the symbols recommended by the IUBMB).^[3][4][5][6] The formula below is given by the Michaelis–Menten equation:

${\displaystyle v={\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} t}}={\frac {Va}{K_{\mathrm {m} }+a}}}$ .

${\displaystyle V}$, which is often written as ${\displaystyle V_{\max }}$,^[a] represents the limiting rate approached by the system at saturating substrate concentration for a given enzyme concentration. The Michaelis constant${\displaystyle K_{\mathrm {m} }}$ has units of concentration, and for a given reaction is equal to the concentration of substrate at which the reaction rate is half of ${\displaystyle V}$.^[7] Biochemical reactions involving a single substrate are often assumed to follow Michaelis–Menten kinetics, without regard to the model's underlying assumptions. Only a small proportion of enzyme-catalysed reactions have just one substrate, but the equation still often applies if only one substrate concentration is varied.

The plot of ${\displaystyle v}$ against ${\displaystyle a}$ has often been called a "Michaelis–Menten plot", even recently,^[8][9][10] but this terminology is historically misleading, as Michaelis and Menten did not use such a plot. Instead, they plotted ${\displaystyle v}$ against ${\displaystyle \log a}$, which has some advantages over the usual ways of plotting Michaelis–Menten data. If ${\displaystyle v}$ is the dependent variable, then it does not distort any experimental errors in ${\displaystyle v}$. Michaelis and Menten did not attempt to estimate ${\displaystyle V}$ directly from the limit approached at high ${\displaystyle \log a}$これは、現代の技術で得られたデータでは正確に行うのが難しく、彼らのデータではほぼ不可能です。代わりに彼らは、曲線が中間範囲でほぼ直線であり、最大傾斜が${\displaystyle 0.576V}$つまり${\displaystyle 0.25\ln 10\cdot V}$正確な値で${\displaystyle V}$判断するのは簡単だった${\displaystyle \log K_{\mathrm {m} }}$曲線上の対応する点から${\displaystyle 0.5V}$。

このグラフは今日では推定にはほとんど使用されていません。${\displaystyle V}$そして${\displaystyle K_{\mathrm {m} }}$しかし、アイソザイムなど、幅広い基質濃度範囲で複数の酵素の特性を比較することは依然として価値があります。たとえば、ヘキソキナーゼの4つの哺乳類アイソザイムは、ヘキソキナーゼA（脳ヘキソキナーゼ）の約0.02 mMからヘキソキナーゼD（「グルコキナーゼ」、肝臓ヘキソキナーゼ）の約50 mMまでの濃度範囲でグルコースによって半分飽和され、その範囲は2500倍に及びます。従来の（線形）プロットでは、高親和性アイソザイムのグラフの読みやすさが損なわれますが、半対数プロットでは、すべてのアイソザイムの速度論的パラメーターを読み取ることができます。^{[ 11 ]}

ミカエリスとメンテンの10年前、ヴィクトル・アンリは、酵素反応は酵素と基質の結合相互作用を仮定することで説明できることを発見した。^{[ 12 ]}彼の研究はミカエリスとメンテンによって引き継がれ、彼らはスクロースをグルコースとフルクトースに加水分解する酵素であるインベルターゼの反応速度論を研究した。^{[ 13 ]} 1913年、彼らはこの反応の数理モデルを提案した。^{[ 14 ]}このモデルでは、酵素Eが基質Aに結合して複合体EAを形成し、生成物Pを放出して酵素の元の形を再生する。^{[ 7 ]}これは模式的に次のように表すことができる。

${\displaystyle {\ce {E{}+A<=>[{\mathit {k_{\mathrm {+1} }}}][{\mathit {k_{\mathrm {-1} }}}]EA->[k_{\ce {cat}}]E{}+P}}}$

どこ${\displaystyle k_{\mathrm {+1} }}$（順方向速度定数）${\displaystyle k_{\mathrm {-1} }}$（逆反応速度定数）および${\displaystyle k_{\mathrm {cat} }}$（触媒速度定数）は速度定数を表し、^{[ 15 ]} A（基質）とEA（酵素-基質複合体）の間の二重矢印は、酵素-基質結合が可逆的なプロセスであることを示し、単一の順方向矢印はP（生成物）の形成を表します。

酵素濃度が基質濃度よりはるかに低いといった特定の仮定の下では、生成物生成速度は次のように表される。

${\displaystyle v={\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} t}}={\frac {V_{\max }a}{K_{\mathrm {m} }+a}}={\frac {k_{\mathrm {cat} }e_{0}a}{K_{\mathrm {m} }+a}}}$

その中で${\displaystyle e_{0}}$は初期酵素濃度です。反応次数は分母の2つの項の相対的な大きさに依存します。基質濃度が低い場合${\displaystyle a\ll K_{\mathrm {m} }}$レート${\displaystyle v={\frac {k_{\mathrm {cat} }e_{0}a}{K_{\mathrm {m} }}}}$基質濃度に比例して変化する${\displaystyle a}$（一次反応速度論${\displaystyle a}$^{[ 16 ]}しかし、より高い${\displaystyle a}$、 と${\displaystyle a\gg K_{\mathrm {m} }}$反応は独立性に近づく${\displaystyle a}$（ゼロ次反応速度論${\displaystyle a}$）、^{[ 16 ]}漸近的に限界速度に近づく${\displaystyle V_{\mathrm {max} }=k_{\mathrm {cat} }e_{0}}$この速度は実際には達成されないが、すべての酵素分子が基質に結合しているという仮想的な場合を指している。${\displaystyle k_{\mathrm {cat} }}$ターンオーバー数または触媒定数として知られるこの値は、通常 s⁻¹ で表される^、単位時間あたり酵素分子 1 個あたりに生成物に変換される基質分子の限界数である。基質をさらに加えても反応速度は増加せず、酵素は飽和状態にあると言われる。

ミカエリス定数${\displaystyle K_{\mathrm {m} }}$酵素の濃度や純度には影響されない。^{[ 17 ]}その値は、酵素の種類と基質の種類、温度やpHなどの条件の両方に依存する。

このモデルは、酵素と基質の相互作用以外にも、抗原抗体結合、DNA-DNAハイブリダイゼーション、タンパク質間相互作用など、さまざまな生化学的状況で使用されています。^{[ 18 ] [ 19 ]}ラングミュア方程式が一般的な生体分子種の吸着をモデル化するために使用できるのと同様に、一般的な生化学反応を特徴付けるために使用できます。^{[ 19 ]}このような形式の経験式が微生物の増殖に適用される場合、モノ方程式と呼ばれることもあります。

ミカエリス・メンテン速度論は、生化学反応以外にも、さまざまなトピックに適用されています。^{[ 15 ]}これには、粉塵の肺胞クリアランス、 ^{[ 20 ]}種プールの多様性、[ ^{21 ]血}中アルコールのクリアランス、^{[ 22 ]}光合成と光照射の関係、および細菌ファージ感染が含まれます。^{[ 23 ]}

この方程式は、イオンチャネル伝導率とリガンド濃度の関係を記述するためにも使用でき、 ^{[ 24 ]}また、例えば、世界の海洋における栄養素と植物プランクトンの成長を制限するためにも使用できます。^{[ 25 ]}

特異性

特異性定数${\displaystyle k_{\text{cat}}/K_{\mathrm {m} }}$（触媒効率とも呼ばれる）は、酵素が基質を生成物にどれだけ効率的に変換するかを示す指標です。${\displaystyle k_{\text{cat}}}$そして${\displaystyle K_{\mathrm {m} }}$それはそれ自体がパラメータであり、より根本的なものです${\displaystyle K_{\mathrm {m} }}$フマラーゼなどの拡散律速酵素は、基質が活性部位に拡散することによって制限され、理論上の上限である10 ⁸ – 10 ¹⁰ M ⁻¹ s ⁻¹で機能します。^{[ 26 ]} 

特定の基質Aに対する特異性定数を次のように表すとします。${\displaystyle k_{\mathrm {A} }=k_{\text{cat}}/K_{\mathrm {m} }}$ミカエリス・メンテン式は次のように表すことができる。${\displaystyle k_{\mathrm {A} }}$そして${\displaystyle K_{\mathrm {m} }}$次のように：

${\displaystyle v={\dfrac {k_{\mathrm {A} }e_{0}a}{1+{\dfrac {a}{K_{\mathrm {m} }}}}}}$

基質濃度が小さい場合、反応速度は基質濃度に対して一次依存性を示す。

${\displaystyle v\approx k_{\mathrm {A} }e_{0}a{\text{ when }}a\rightarrow 0}$

逆に、ゼロ次依存性に近づく${\displaystyle a}$基質濃度が高い場合：

${\displaystyle v\rightarrow k_{\mathrm {cat} }e_{0}{\text{ when }}a\rightarrow \infty }$

酵素がミカエリス・メンテン速度論に従う2つの競合基質を識別する能力は、特異性定数のみに依存し、${\displaystyle k_{\text{cat}}}$または${\displaystyle K_{\mathrm {m} }}$一人で。${\displaystyle k_{\mathrm {A} }}$基板用${\displaystyle \mathrm {A} }$そして${\displaystyle k_{\mathrm {A'} }}$競合基質の場合${\displaystyle \mathrm {A'} }$すると、両方が同時に存在する場合の2つのレートは次のようになります。

${\displaystyle v_{\mathrm {A} }={\frac {k_{\mathrm {A} }e_{0}a}{1+{\dfrac {a}{K_{\mathrm {m} }^{\mathrm {A} }}}+{\dfrac {a'}{K_{\mathrm {m} }^{\mathrm {A'} }}}}},\;\;\;v_{\mathrm {A'} }={\frac {k_{\mathrm {A'} }e_{0}a'}{1+{\dfrac {a}{K_{\mathrm {m} }^{\mathrm {A} }}}+{\dfrac {a'}{K_{\mathrm {m} }^{\mathrm {A'} }}}}}}$

両方の分母にはミカエリス定数が含まれていますが、それらは同じ値であるため、一方の式をもう一方の式で割ると相殺されます。

${\displaystyle {\frac {v_{\mathrm {A} }}{v_{\mathrm {A'} }}}={\frac {k_{\mathrm {A} }\cdot a}{k_{\mathrm {A'} }\cdot a'}}}$

したがって、反応速度の比率は、2つの基質の濃度とそれらの特異性定数のみに依存する。

パラメーター値は酵素によって大きく異なります。いくつかの例を以下に示します。^{[ 28 ]}

酵素触媒反応のうち基質が1つだけのものはごく少数であり、基質の1つが水である2基質反応を1基質反応として扱うことで数を増やしたとしても、その数は依然として少ない。したがって、通常は基質が1つだけの場合に用いられるミカエリス・メンテン式は、有用性が限られていると考えるかもしれない。しかし、この考えは誤解を招く。2基質反応の一般的な式は、次のように表すことができる。${\displaystyle v}$2つの基質濃度に関して${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$:

${\displaystyle v={\frac {Vab}{K_{\mathrm {iA} }K_{\mathrm {mB} }+K_{\mathrm {mB} }a+K_{\mathrm {mA} }b+ab}}}$

その他の記号は運動定数を表します。ここで、${\displaystyle a}$は多様で${\displaystyle b}$一定とみなす。すると、方程式を次のように整理するのが便利である。

${\displaystyle v={\frac {Vb\cdot a}{K_{\mathrm {iA} }K_{\mathrm {mB} }+K_{\mathrm {mA} }b+(K_{\mathrm {mB} }+b)a}}={\dfrac {{\dfrac {Vb}{K_{\mathrm {mB} }+b}}\cdot a}{{\dfrac {K_{\mathrm {iA} }K_{\mathrm {mB} }+K_{\mathrm {mA} }b}{K_{\mathrm {mB} }+b}}+a}}}$

これはまさにミカエリス・メンテン式と同じ形式である。

${\displaystyle v={\frac {V^{\mathrm {app} }a}{K_{\mathrm {m} }^{\mathrm {app} }+a}}}$

見かけ上の値${\displaystyle V^{\mathrm {app} }}$そして${\displaystyle K_{\mathrm {m} }^{\mathrm {app} }}$以下のように定義される。

${\displaystyle V^{\mathrm {app} }={\dfrac {Vb}{K_{\mathrm {mB} }+b}}}$

${\displaystyle K_{\mathrm {m} }^{\mathrm {app} }={\dfrac {K_{\mathrm {iA} }K_{\mathrm {mB} }+K_{\mathrm {mA} }b}{K_{\mathrm {mB} }+b}}}$

線形（単純）型の阻害は、阻害剤濃度における混合阻害の一般式に基づいて分類することができる。${\displaystyle i}$:

${\displaystyle v={\dfrac {Va}{K_{\mathrm {m} }\left(1+{\dfrac {i}{K_{\mathrm {ic} }}}\right)+a\left(1+{\dfrac {i}{K_{\mathrm {iu} }}}\right)}}}$

その中で${\displaystyle K_{\mathrm {ic} }}$は競合阻害定数であり、${\displaystyle K_{\mathrm {iu} }}$は非競合阻害定数です。この式には、他の種類の阻害も特殊な場合として含まれています。

• もし${\displaystyle K_{\mathrm {iu} }\rightarrow \infty }$分母の2番目の括弧は${\displaystyle 1}$そして結果として生じる挙動^{[ 57 ]}は競合阻害である。
• もし${\displaystyle K_{\mathrm {ic} }\rightarrow \infty }$分母の最初の括弧は${\displaystyle 1}$そしてその結果として生じるのが、非競合的阻害である。
• 両方${\displaystyle K_{\mathrm {ic} }}$そして${\displaystyle K_{\mathrm {iu} }}$有限である場合、その挙動は混合抑制である。
• もし${\displaystyle K_{\mathrm {ic} }=K_{\mathrm {iu} }}$その結果生じる特殊なケースは、純粋な非競合阻害である。

純粋な非競合阻害は非常にまれで、主にプロトンと一部の金属イオンの影響に限られます。クレランドはこのことを認識し、非競合を混合型と再定義しました。^{[ 58 ]}一部の著者はこの点において彼に倣っていますが、すべてではありません。そのため、出版物を読む際には、著者がどの定義を使用しているかを確認する必要があります。

いずれの場合も、反応速度式は見かけの定数を含むミカエリス・メンテン式の形式をとる。これは上記の式を次のように書き表すことで確認できる。

${\displaystyle v={\dfrac {{\dfrac {V}{1+i/K_{\mathrm {iu} }}}\cdot a}{{\dfrac {K_{\mathrm {m} }(1+i/K_{\mathrm {ic} })}{1+i/K_{\mathrm {iu} }}}+a}}={\frac {V^{\mathrm {app} }a}{K_{\mathrm {m} }^{\mathrm {app} }+a}}}$

見かけ上の値${\displaystyle V^{\mathrm {app} }}$そして${\displaystyle K_{\mathrm {m} }^{\mathrm {app} }}$以下のように定義される。

${\displaystyle V^{\mathrm {app} }={\dfrac {V}{1+i/K_{\mathrm {iu} }}}}$

${\displaystyle K_{\mathrm {m} }^{\mathrm {app} }={\dfrac {K_{\mathrm {m} }(1+i/K_{\mathrm {ic} })}{1+i/K_{\mathrm {iu} }}}}$

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• オンライン${\displaystyle K_{\mathrm {M} }}$${\displaystyle V_{\max }}$C言語とgnuplotの非線形最小二乗法であるレーベンバーグ・マルカート法に基づいたVmax計算機（ic50.tk/kmvmax.html）
• 代替オンライン${\displaystyle K_{\mathrm {M} }}$${\displaystyle V_{\max }}$Python、NumPy、Matplotlib 、およびSciPyの非線形最小二乗法であるレーベンバーグ・マルカート法に基づく計算機（ic50.org/kmvmax.html）

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