推定補題

数学では、推定補題（ML不等式とも呼ばれる）は、輪郭積分の上限を与える。f が輪郭Γ 上の複素数値連続関数であり、その絶対値| f  ( z ) |がΓ上のすべてのzに対して定数Mで制限される場合、

${\displaystyle \left|\int _{\Gamma }f(z)\,dz\right|\leq M\,l(\Gamma ),}$

ここでl (Γ)はΓの弧の長さである。特に、最大値をとることができる。

${\displaystyle M:=\sup _{z\in \Gamma }|f(z)|}$

上限として。直感的には、この補題は非常に簡単に理解できます。輪郭を多数の小さな輪郭線が接続されたものと考えると、各線分に最大値| f  ( z ) |が存在します。線分のすべての最大値| f  ( z ) |の中で、全体で最大のものが存在します。したがって、全体で最大の| f  ( z ) | をパス全体で合計すると、パス全体のf  ( z )の積分はそれ以下でなければなりません。

正式には、次のように、 輪郭積分の定義、積分の絶対値不等式、および曲線の長さの公式を使用して、不等式が成り立つことが示されます。

${\displaystyle \left|\int _{\Gamma }f(z)\,dz\right|=\left|\int _{\alpha }^{\beta }f(\gamma (t))\gamma '(t)\,dt\right|\leq \int _{\alpha }^{\beta }\left|f(\gamma (t))\right|\left|\gamma '(t)\right|\,dt\leq M\int _{\alpha }^{\beta }\left|\gamma '(t)\right|\,dt=M\,l(\Gamma )}$

推定補題は、輪郭積分法の一部として最も一般的に使用され、輪郭の一部に対する積分が、 | z | が無限大に近づくにつれてゼロになることを示すことを目的としています。このような場合の例を以下に示します。

問題。 上限を求めよ。

${\displaystyle \left|\int _{\Gamma }{\frac {1}{(z^{2}+1)^{2}}}\,dz\right|,}$

ここで、Γは、半径a > 1の上半円| z | = aを反時計回りに1回通過したもの です。

解答。 まず積分経路の長さは半径aの円の円周の半分であることに注目してください。したがって

${\displaystyle l(\Gamma )={\tfrac {1}{2}}(2\pi a)=\pi a.}$

次に、 | z | = aのときの被積分関数の上限M を求めます。三角不等式により、次の式が得られます。

${\displaystyle |z|^{2}=\left|z^{2}\right|=\left|z^{2}+1-1\right|\leq \left|z^{2}+1\right|+1,}$

したがって

${\displaystyle \left|z^{2}+1\right|\geq |z|^{2}-1=a^{2}-1>0}$

Γ上で| z | = a > 1 となるため、

${\displaystyle \left|{\frac {1}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}}\right|\leq {\frac {1}{\left(a^{2}-1\right)^{2}}}.}$

したがって、推定補題をM = ⁠に適用すると、1/（２−１）^２​⁠ . 結果として得られる境界は

${\displaystyle \left|\int _{\Gamma }{\frac {1}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}}\,dz\right|\leq {\frac {\pi a}{\left(a^{2}-1\right)^{2}}}.}$

• ジョーダンの補題

• サフ、EB; スナイダー、AD (1993)、数学、科学、工学のための複素解析の基礎(第 2 版)、プレンティス ホール、ISBN 978-0133274615。
• Howie, JM (2003)、複素解析、Springer。