最高平均値法

除数法は、除数または選挙割当数を探すことによって議席を配分します。この除数は、政党が議会で1議席を追加で獲得するために必要な票数、または各議員が代表する有権者数と考えることができます（小選挙区制を採用している制度では、これは選挙区の理想的な人口と一致します）。^{[ 1 ]}

各議員が同数の有権者を代表している場合、各政党の議席数は人口を除数で割ることによって求めることができます。^{[ 1 ]}ただし、議席配分は整数でなければならないため、特定の政党の配分を求めるには、割り算の後に（サインポストシーケンスを使用して）四捨五入する必要があります。したがって、各政党の配分は次のように与えられます。^{[ 1 ]}

$${\displaystyle {\text{seats}}=\operatorname {round} \left({\frac {\text{votes}}{\text{divisor}}}\right)}$$

通常、除数は最初はヘアの割り当てに等しくなるように設定されます。しかし、この手順では議席数が多すぎたり少なすぎたりする場合があります。この場合、各政党の割り当ての合計が議会の総数と一致しません。実行可能な除数は試行錯誤によって見つけることができます。^{[ 10 ]}

最高平均アルゴリズムでは、すべての政党は0議席から始まります。そして、各反復で、最高平均得票数を持つ政党、つまり議席あたりの得票数が最も多い政党に議席を割り当てます。この方法は、すべての議席が割り当てられるまで続きます。^{[ 1 ]}

しかし、議席を割り当てる前に投票平均を見るのが良いのか、議席を割り当てた後に平均がどうなるのかを見るのが良いのか、あるいは継続性補正で妥協すべきなのかは不明である。これらのアプローチはそれぞれわずかに異なる配分をもたらす。^{[ 1 ]}多くの選挙法では、議席を割り当てる前に平均を使用する。一般に、平均値は、次の記号シーケンスを使用して定義できる。

$${\displaystyle {\text{平均}}:={\frac {\text{投票数}}{\operatorname {ポスト} ({\text{議席数}})}}}$$

トーマス・ジェファーソンは1792年に除数法を最初に提案しました。^{[ 1 ]}この方法は後にベルギーの政治学者ヴィクトル・ドントによって1878年に独自に発展しました。この方法は、ラウンド終了時に最も過小代表されるリストに代表者を割り当てます。^{[ 1 ]}これは今日でも比例代表制で最も一般的な方法です。 ^{[ 1 ]}

ドント法では次の手順を使用します。${\displaystyle \operatorname {post} (k)=k+1}$つまり、(1, 2, 3, ...) ^{[ 12 ]}となり、これは常に政党の配分を切り捨てることを意味します。^{[ 1 ]}

ドント方式による議席配分は、理想的な枠の下限を下回ることはなく、議会における最悪の過剰代表を最小限に抑える。^{[ 1 ]}しかし、他のほとんどの比例代表制の指標で判断すると、その性能は劣る。^{[ 13 ]}このルールでは、通常、大政党に過剰な議席が与えられ、その議席数はしばしば、切り上げられた本来の議席数を超える。^{[ 3 ]： 81}

この病理は、ドント方式によってニューヨーク州の議席配分40.5を42に「切り上げる」ことができると判明した際に、ドント方式に対する広範な嘲笑を招き、マローン・ディッカーソン上院議員は、余分な議席は「亡くなった議員の亡霊」から来るに違いないと述べた。^{[ 3 ]： 34}

アダムズ方式は、ドント方式では小規模州に割り当てられる議席が少なすぎることに気づいたジョン・クインシー・アダムズによって考案された。 ^{[ 14 ]}これはドント方式の逆と表現でき、新しい議席が追加される前に、議席あたりの得票数が最も多い政党に議席を与える。除数関数はpost( k ) = kであり、これは常に切り上げることと同等である。^{[ 13 ]}

アダムズの配分は理想的な枠の上限を超えることはなく、最悪の場合の過少代表を最小限に抑えます。^{[ 1 ]}しかし、ドントの方法と同様に、アダムズの方法は比例性のほとんどの指標で劣っています。^{[ 13 ]}また、下限議席割り当てにも違反することがよくあります。^{[ 15 ]}

アダムズの方法は、漸減比例性を満たすことを目的として、加盟国への欧州議会議席の配分に関するケンブリッジ妥協の一部として提案された。^{[ 16 ]}

ウェブスター/サント＝ラゲ方式は、1832年にアメリカの政治家で上院議員のダニエル・ウェブスターによって初めて記述され、その後1910年にフランスの数学者アンドレ・サント＝ラゲによって独立して記述された。1980年、当時ドイツ連邦議会のデータ処理グループの責任者であったドイツの物理学者ハンス・シェーパースは、小政党が不利にならないように、ドント方式による議席配分を修正することを提案した。^{[ 17 ]}ドイツのメディアはシェーパース方式という用語を使い始め、その後ドイツの文献では通常サント＝ラゲ/シェーパース方式と呼ばれるようになった。^{[ 17 ]}

ウェブスター/サント・ラゲ方式では、フェンスポスト数列post( k ) = k +.5 (つまり 0.5、1.5、2.5) を使用します。これは標準的な丸め規則に対応します。同様に、奇数 (1、3、5...) を使用して平均値を計算することもできます。奇数表現は選挙法でより一般的です。^{[ 1 ] [ 18 ]}

ウェブスター/サント＝ラゲ方式は、議席配分方法の中で、規模の異なる政党間でより均等な議席対得票比率を示しています^{[ 19 ] 。ほぼすべての不当代表の指標において、ドント方式よりも比例配分が優れています[ 20 ]} 。そのため、少なくとも操作が困難またはあり得ない状況（大規模な議会など）では、政治学者や数学者によってドント方式よりも好まれるのが一般的です^{[ 21 ]} 。また、非常に少数の議席を獲得した政党を扱う場合でも、議席の偏りを最小限に抑える点でも注目に値します^{[ 22 ]} 。ウェブスター/サント＝ラゲ方式は理論的には理想的な枠組みに違反する可能性がありますが、これは中規模議会であっても極めてまれです。米国議会の議席配分において、割り当てに違反したことは一度もありません^{[ 21 ]。}

閾値のない小規模選挙区では、政党はウェブスター/サント＝ラゲ方式を操作して、多くのリストに分割し、各リストがヘアのクォータに満たない票数で議席を獲得することができる。これは、最初の除数をわずかに大きく（多くの場合0.7または1の値）変更することで対処されることが多く、これにより暗黙の閾値が作られる。^{[ 23 ]}

ハンティントン・ヒル方式では、標識数列はpost( k ) = √ k ( k +1)であり、これは隣接する数値の幾何平均です。概念的には、この方式は相対差（パーセント）が最小となる整数に丸めます。たとえば、2.47 と 3 の差は約 19% ですが、2 との差は約 21% なので、2.47 が切り上げられます。この方式は、米国下院の議席を各州に割り当てる際に使用されています。^{[ 1 ]}

ハンティントン＝ヒル方式は、ウェブスター／サント＝ラゲ方式と非常によく似た結果を生み出す傾向があるが、すべての州または政党に少なくとも1議席を保証する点が異なる（「最高平均値方式」§  「ゼロ議席配分」を参照）。米国下院の議席配分に初めて使用された際、両方式は同一の結果を生み出した。2回目の使用では、ミシガン州またはアーカンソー州に1議席を割り当てる点のみが異なっていた。^{[ 3 ]： 58}

ハンティントン・ヒル法、ディーン法、アダムス法はいずれも最初のフェンスポストの値が0であり、平均は∞となる。したがって、閾値がない場合、少なくとも1票を獲得した政党はすべて少なくとも1議席を獲得することになる。^{[ 1 ]}この性質は、（再配分操作で選挙区に議席を割り当てる場合など）望ましい場合もあれば、（選挙で政党リストに議席を割り当てる場合など）望ましくない場合もあり、後者の場合は、最初の除数を調整して自然な閾値を作成することができる。^{[ 24 ]}

議席の偏りには多くの指標がある。ウェブスター/サント・ラゲ法は「唯一無二の」偏りがないと説明されることもあるが、^{[ 21 ]}この唯一無二性は、偏りの技術的な定義に基づいている。偏りとは、州の議席数とその議席割り当て数の平均差として定義される。言い換えれば、ある州が受け取る議席数が、多くの選挙にわたって平均してその州の議席割り当て数と等しい場合、その方法は偏りがないと言われる。^{[ 21 ]}

この定義によれば、ウェブスター/サント・ラゲ法は最も偏りの少ない配分方法であり、^{[ 22 ]}ハンティントン・ヒル法は小政党にやや偏りがある。^{[ 21 ]}しかし、他の研究者は、一般的にパーセント誤差に基づく、わずかに異なる偏りの定義では、逆の結果が得られると指摘している（ハンティントン・ヒル法は偏りがなく、ウェブスター/サント・ラゲ法は大政党にやや偏っている）。^{[ 22 ] [ 25 ]}

実際には、政党や複数の議席を持つ州を扱う場合、これらの定義の差は小さい。^{[ 22 ]}したがって、ハンティントン・ヒル法とウェブスター/サント・ラゲ法はどちらも偏りのない、または偏りの少ない方法とみなすことができる（ドント法やアダムス法とは異なり）。^{[ 22 ] [ 25 ]} 1929年に米国科学アカデミーが米国議会に提出した報告書ではハンティントン・ヒル法が推奨されたが、^{[ 26 ]}米国最高裁判所はこれらのシステムの選択は意見の問題であると判決を下した。^{[ 25 ]}

次の例は、ドント法がウェブスター/サント＝ラゲ法のようなバイアスの少ない方法と大きく異なる場合があることを示しています。この選挙では、最大政党が得票率46%を獲得し、議席の52.5%を獲得しました。これは、他のすべての政党の連合（合計で得票率54%）に対して過半数を獲得するのに十分な数です。さらに、これはクォータに違反しています。最大政党は9.7議席しか認められていませんが、11議席を獲得しています。最大の選挙区は、最小の選挙区のほぼ2倍の大きさです。ウェブスター/サント＝ラゲ法は、これらの特性を一切示さず、最大誤差は22.6%です。

次の例は、アダムスの手法では、得票率55％を獲得した政党に過半数を与えることができず、その政党の議席割り当ての権利を侵害するケースを示している。

以下に、すべての投票制度における具体的な例を示します。ハンティントン＝ヒル方式とアダムズ方式では、ウェブスター／サン＝ラゲ方式やドント方式とは異なり、各政党に1議席ずつ割り当ててから次の議席を割り当てる点、またマカオのドント方式では議席配分において漸減比例制が採用されている点に注目してください。

以下の表は、任意の固定標識機能に対する配分を計算します。つまり、投票平均が選択された基準値を上回っている場合は、配分を四捨五入します。

除数法は、一般的に最大剰余法よりも数学者によって好まれています^{[ 27 ]。}これは、除数法が議席配分のパラドックスの影響を受けにくいためです^{[ 5 ]} 。特に、除数法は人口単調性を満たします。つまり、政党に投票しても、その政党が議席を失うことはありません^{[ 5 ]} 。このような人口パラドックスは、選挙割当数を増やすことによって発生し、異なる州の剰余数が不規則に反応する可能性があります^{[ 3 ]：表A7.2。}除数法は、資源単調性または議席単調性も満たします。これは、議会の議席数を増やしても、州が議席を失うことはないというものです^{[ 5 ] [ 3 ]： Cor.4.3.1}

すべての除数法は、最小最大不等式を用いて定義できます。括弧を配列のインデックスとすると、割り当ては、次の条件を満たす場合に限り有効です。^{[ 1 ] : 78–81}

最大⁠政党の投票数/ポスト(政党の議席数) ⁠ ≤ 最小⁠政党の投票数/ポスト(政党の議席数 + 1) ⁠

言い換えれば、ある政党から別の政党へ議席を再配分しても、最高得票率を下げることは不可能である。この範囲のすべての数値は約数となり得る。不等式が厳密であれば解は一意であり、そうでなければ最終配分段階で同数票となる。^{[ 1 ]： 83}

マイナス面としては、除数方式は割り当てルールに違反する可能性がある。つまり、一部のエージェントに下限割り当てよりも少ない割り当て（割り当てが切り捨てられる）や、上限割り当てよりも多い割り当て（割り当てが切り上げられる）を与えてしまう可能性がある。これは、割り当て上限付き除数方式を使用することで解決できるが、その代償として人口の単調性が失われる。

シミュレーション実験によると、異なる除数方式では、（投票数が指数分布によって選択される場合）割り当て違反の確率が大きく異なることが示されている。

• アダムスとドントが一致する確率は98%です。
• 最低要件が1であるドント法の確率は78%です。
• ディーン校の確率は約9％、ハンティントン・ヒル校の確率は約4％です。
• ウェブスター/サント＝ラゲの確率は最も低く、わずか0.16%です。

一般に、任意の一般化平均関数から配分方法を構築することは可能であり、そのためには、標識関数をpost( k ) = avg( k , k +1)と定義する。^{[ 1 ]}

多くの国では、議席獲得のための選挙基準が設けられており、政党は議席を獲得するために一定の得票率を得なければならず、基準を下回る得票率の政党は排除される。^{[ 23 ]}他の国では、自然な基準を導入するために最初の除数を変更している。ウェブスター/サント・ラゲ方式を使用する場合、最初の除数は0.7または1.0に設定されることが多い（後者は全議席修正と呼ばれる）。^{[ 23 ]}

多数派維持条項は、投票で過半数を獲得した政党が議会の議席の少なくとも半分を獲得することを保証する。^{[ 23 ]}このような条項がない場合、投票の半分をわずかに上回る政党が、議席の半分をわずかに下回る議席を獲得する可能性がある（ドント方式以外の方法を使用する場合）。^{[ 23 ]}これは通常、議会の多数派を維持する配分が見つかるまで議会の議席を増やすことによって達成される。^{[ 23 ]}

逆に、多数派阻止条項は、どの政党も過半数の票を獲得しない限り、議会の議席の半分以上を獲得できないことを保証する。これは、議席の前半部分のみをカバーする「不完全な」フェンスポストシーケンスを計算することによって実現され、後半部分のフェンスポストは過半数の票を獲得した政党についてのみ計算される。この条項はイスラエルの選挙法に見られる。^{[ 33 ]}

スイスやイスラエルの国会選挙、デンマークの欧州議会選挙など、一部の選挙制度では、余剰票協定が認められており、2つ以上の政党が議席配分の目的で単一のブロックとみなされます。このブロック内では、協定を結んだ政党間で2回目の議席配分が行われます。

割当上限除数法とは、まず各州に下限議席数を割り当てることから始める議席配分方法である。次に、議席当たりの平均得票数が最も高い州に、議席を1つずつ追加していく。ただし、議席を追加しても、その州の上限議席数を超えないようにする。^{[ 34 ]}しかし、割当上限除数法は参加基準（人口単調性とも呼ばれる）に違反する。つまり、政党が得票数を増やした結果、議席を失う可能性がある。^{[ 3 ] :表A7.2}