座席バイアス

議席偏向は、配分方法を表す特性である。これは、連邦州間または政党間で議会の議席を割り当てるために使用される方法である。小規模政党を大規模政党よりも体系的に優遇する場合、またはその逆の場合、方法は偏向している。偏向の数学的尺度はいくつかあり、わずかに異なる場合があるが、すべての尺度は、ドループのクォータ法またはジェファーソン法に基づくルールは大規模政党に大きく偏向しているのに対し、ウェブスター法、ヒル法、またはヘアのクォータ法に基づくルールは偏向のレベルが低く、^[1]違いが十分に小さいため、偏向の定義が異なると結果も異なる。^[2]

割り当てられる議席の総数を表す正の整数（=議席数）があります。議席が割り当てられる政党の数を表す正の整数があります。 を持つ分数のベクトルがあり、権利、つまり、ある政党が権利を持つ議席の割合（総議席数 のうち）を表します。 これは通常、選挙で政党が獲得した票の割合です。 ${\displaystyle h}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (t_{1},\ldots ,t_{n})}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}t_{i}=1}$${\displaystyle i}$${\displaystyle h}$

目標は、の配分と呼ばれる、を持つ整数のベクトルである配分方法を見つけることです。ここで、 は政党iに割り当てられる議席数です。 ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}=h}$${\displaystyle h}$${\displaystyle a_{i}}$

配分法は多値関数であり、入力として権利のベクトルと家の大きさを受け取り、出力として配分を返します。 ${\displaystyle M(\mathbf {t} ,h)}$${\displaystyle h}$

任意のtおよびhに対して、また任意の および に対して、またはのいずれかを意味する場合、配分方法はよりも小規模政党に有利であると言えます。 ${\displaystyle M'}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbf {a'} \in M'(\mathbf {t} ,h)}$${\displaystyle \mathbf {a} \in M(\mathbf {t} ,h)}$${\displaystyle t_{i}<t_{j}}$${\displaystyle a_{i}'\geq a_{i}}$${\displaystyle a_{j}'\leq a_{j}}$

および が、それぞれ および を持つ2つの除数法である場合、のときはいつでも、 はよりも小さなエージェントに有利です。^{[1] : Thm.5.1}${\displaystyle M}$${\displaystyle M'}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d'}$${\displaystyle d'(a)/d'(b)>d(a)/d(b)}$${\displaystyle a>b}$${\displaystyle M'}$${\displaystyle M}$

この事実は、ベクトルの多数決順序を使って表現できる。ベクトルa が 別のベクトルb を多数決するとは、すべてのkに対して、k番目に大きい政党がaで少なくともbで獲得する議席数と同じ数の議席を獲得する場合である。配分法は、任意の議院規模および権利ベクトルに対して がを多数決する場合、別の方法 を多数決する。および が、それぞれ除数関数およびを持つ2 つの除数法であり、である場合はいつでもがを多数決する。したがって、アダムス法はディーンの方法によって多数決され、ディーンはヒルズ法によって多数決され、ヒルズ法はウェブスター法によって多数決され、ウェブスター法はジェファーソン法によって多数決される。^[3]${\displaystyle M}$${\displaystyle M'}$${\displaystyle M(\mathbf {t} ,h)}$${\displaystyle M'(\mathbf {t} ,h)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M'}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d'}$${\displaystyle d'(a)/d'(b)>d(a)/d(b)}$${\displaystyle a>b}$${\displaystyle M'}$${\displaystyle M}$

クォータ付きのシフトクォータ法（最大剰余法）も、メジャー化の順序で並べられ、より小さいsを持つ方法がより大きなsを持つ方法によってメジャー化される。^[3]${\displaystyle q_{i}=t_{i}\cdot (h+s)}$

ある配分法 M の偏りを測定するには、各権利のペアについて、M によって生成されるすべての可能な配分の集合を、すべての可能な家のサイズについて調べることができます。 理論的には、可能な家のサイズの数は無限ですが、 は通常有理数なので、その分母の積まで家のサイズを調べれば十分です。各家のサイズについて、または かどうかを調べることができます。 となる家のサイズの数がとなる家のサイズの数と等しい場合、その方法は偏りがありません。 この定義によれば、偏りのない唯一の方法は、ウェブスター法です。^{[1] : Prop.5.2}${\displaystyle t_{1},t_{2}}$${\displaystyle t_{1},t_{2}}$${\displaystyle a_{1}/t_{1}>a_{2}/t_{2}}$${\displaystyle a_{1}/t_{1}<a_{2}/t_{2}}$${\displaystyle a_{1}/t_{1}>a_{2}/t_{2}}$${\displaystyle a_{1}/t_{1}<a_{2}/t_{2}}$

また、各可能な割り当てペアについて、方法M が割り当て( について) をもたらすすべての権利ペアの集合を確認することもできます。権利が一様にランダムに分配されていると仮定すると、M が状態 1 を支持する確率と状態 2 を支持する確率を計算できます。たとえば、2 議席を獲得する州が 4 議席を獲得する州よりも支持される確率は、アダムズでは 75%、ディーンでは 63.5%、ヒルでは 57%、ウェブスターでは 50%、ジェファーソンでは 25% です。^{[1] : Prop.5.2}この確率が常に 50% となる唯一の比例除数法はウェブスターです。^{[1] : Thm.5.2}確率が 50% となる除数法は他にもありますが、上記の「基本要件」のセクションで定義されている比例性の基準を満たしません。エージェントのペアをチェックする代わりに、エージェントのグループのペアをチェックした場合も同じ結果になります。^{[1] : Thm.5.3}${\displaystyle a_{1},a_{2}}$${\displaystyle t_{1},t_{2}}$${\displaystyle a_{1},a_{2}}$${\displaystyle h=a_{1}+a_{2}}$

また、権利の各ベクトル（標準単体の各点）について、 k番目に高い権利を持つエージェントの議席バイアスが何であるかを確認することもできます。この数値を標準単体全体で平均すると、議席バイアスの式が得られます。

定常 除数法、すなわち議席が除数に対応する方法と選挙区の閾値ごとに：^{[4] ：Sub.7.10}${\displaystyle a}$${\displaystyle d(a)=a+r}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\text{MeanBias}}(r,k,t)=(r-1/2)\cdot \left(\sum _{i=k}^{n}(1/i)-1\right)\cdot (1-nt)}$

特に、ウェブスター法はこのファミリーの中で唯一の偏りのない方法です。この式は、家の大きさが十分に大きい場合、特に の場合に適用できます。しきい値が無視できる場合は、3 番目の項を無視できます。この場合、平均バイアスの合計は次のようになります。 ${\displaystyle h\geq 2n}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\text{MeanBias}}(r,k,0)\approx (r-1/2)\cdot (n/e-1)}$、近似が に対して有効である場合。 ${\displaystyle n\geq 5}$

のとき、平均バイアスは大政党に有利となるため、小政党には政党連合（＝連立）を形成するインセンティブがある。このような連合はバイアスを有利に傾ける可能性がある。議席バイアスの公式は、このような連合がある設定に拡張することができる。^{[4] : Sub.7.11}${\displaystyle r>1/2}$

割当量を伴うシフト割当量法（最大剰余法）ごとに、権利ベクトルが標準単体から一様にランダムに抽出されると、 ${\displaystyle q_{i}=t_{i}\cdot (h+s)}$

${\displaystyle {\text{MeanBias}}(s,k,t)={\frac {s}{n}}\cdot \left(\sum _{i=k}^{n}(1/i)-1\right)\cdot (1-nt)}$

特に、ハミルトン法はこのファミリーの中で唯一偏りのない方法です。^[4]

バリンスキーとヤングは、米国の国勢調査データを使用して、ウェブスター法が州のペアを比較するための最も中央値の偏りの少ない推定法であり、ハンティントン・ヒル法がそれに続くと主張しました。^[1]しかし、研究者は、偏りの他の定義や測定基準では、ハンティントン・ヒル法も最も偏りが少ないと言えることを発見しました。^[2]